DISEQUAZIONI Si dice disequazione una disuguaglianza tra due

DISEQUAZIONI • Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare: f(x) > g(x) f(x) g(x) f(x) < g(x) f(x) g(x)

SOLUZIONI • Le soluzioni vanno cercate nell’insieme: I = D(f) D(g) • Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x < 1) • Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme I verificano la disequazione (ex: x 2 +1 > 0) • Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x 2 + 2 < 0)

PRINCIPI DI EQUIVALENZA • Due disequazioni si dicono equivalenti se ogni soluzione della prima è soluzione della seconda e viceversa. 1) f(x) > g(x) f(x) + h(x) > g(x) + h(x) con h(x) espressione qualsiasi nella variabile x. 2) f(x) > g(x) m · f(x) > m · g(x) m · f(x) < m · g(x) ( m > 0 ) ( m < 0 )

ESEMPIO -2 x > 24 x < -12

INTERVALLI DELLA RETTA • Siano a e b due ascisse a < b: • [ a , b ] = {x R: a x b} • ] a , b ] = {x R: a < x b} = ( a , b] • [ a , b [ = {x R: a x < b} = [ a , b ) • ] a , b [ = {x R: a < x < b} = ( a , b )

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO a x > b a e b reali, a 0 Soluzione x > b/a Esempio: 2 x > 2 x > 1

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO • a x 2 + b x + c > 0 a, b, c reali, a 0 Supponiamo a > 0 1) D > 0 a · (x - x 1) · (x - x 2) 2) D = 0 a · (x - x 1)2 3) D < 0 -------

D > 0 Studio il segno di: 1) (x - x 1) > 0 2) (x – x 2) > 0 Applico la regola dei segni: x 1 x 2 (x - x 1) - + + (x – x 2) - - + + - +

D > 0 caso a > 0 • P(X) > 0 x {x R: x < x 1} {x R: x > x 2} • P(X) < 0 x {x R: x 1 < x 2} • P(X) = 0 x { x 1, x 2}

D = 0 caso a >0 • a · (x - x 1)2 • P(X) > 0 x R {x 1} • P(X) < 0 mai • P(X) = 0 x = x 1

D < 0 caso a >0 • P(X) > 0 x R • P(X) < 0 mai • P(X) = 0 mai

ESEMPIO • 4 x 2 + 12 x + 9 > 0 D = 36 - 36 = 0 • S = x R {-3/2}

ESEMPIO -3 x 2 - 5 x + 2 > 0 3 x 2 + 5 x - 2 < 0 D = 25 +24 = 49 > 0 x 1 = -2 x 2= 1/3 S = x {x R: -2 < x < 1/3}

ESEMPIO 3 x 2 - x + 2 < 0 D = 1 – 24 < 0 S={ }

DISEQUAZIONI FRATTE • 1) 2) 3) 4) I = D(f) D(g) {x R: g(x) 0} Studio segno numeratore Studio segno denominatore Applico regola segni Vedo dove la disequazione è verificata

Continuazione ESEMPIO S = x {x R: x < -3} {x R: x > 4} N. B. I = {x R: x 3}

SISTEMI DI DISEQUAZIONI • Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni • S = S 1 S 2 … Sn • S = { } allora il sistema è impossibile

ESEMPIO -1/2 3 (2 x + 1) (x – 3) S = x {x R: (-½) < x 3}