DISEQUAZIONI Segno di un trinomio e disequazioni di

DISEQUAZIONI • Segno di un trinomio e disequazioni di 2° grado • Disequazioni di grado superiore al 2° ad esse riconducibili • Disequazioni con valori assoluti • Disequazioni irrazionali Classe III a. s. 2012/2013 Prof. ssa Rita Schettino

Disequazioni PREMESSA • Le slides seguenti danno appunti operativi per risolvere i vari tipi di disequazioni esplicitate nella copertina • Non ripetiamo i concetti di base e l’operatività delle disequazioni lineari o delle disequazioni fratte o dei sistemi di disequazioni che sono reperibili in altre presentazioni sulla medesima pagina prof. ssa R. Schettino 2

Disequazioni Segno di un trinomio di 2° grado • Studiare il segno di un trinomio significa determinare quali valori di , sostituiti alla variabile, danno un risultato nullo o positivo o negativo • Si può anche dire che si vogliono determinare i valori o gli intervalli di per cui il trinomio risulti nullo o positivo o negativo • Si comprende quindi che questa problematica rientra nel determinare valori di una incognita per cui si verifichi la uguaglianza a zero di un trinomio o la sua positività o la sua negatività • Si comprende altresì che si tratta di risolvere equazioni o disequazioni (nel caso della positività o della negatività) prof. ssa R. Schettino 3

Disequazioni Segno di un trinomio di 2° grado • Dato quindi un trinomio di 2° grado (scritto ovviamente in forma normale) si tratta di determinare i valori reali di x per cui: a) Il trinomio sia uguale a zero (equazione di 2° grado) b) Il trinomio sia positivo (disequazione di 2° grado) c) Il trinomio sia negativo (disequazione di 2° grado) N. B. Quelle indicate sono disequazioni strette ma può richiedersi anche o il cui significato è noto. prof. ssa R. Schettino 4

Disequazioni DISEQUAZIONI DI 2° GRADO • Forma normale : con a > 0 • Si risolvono seguendo due passi: a) Risoluzione dell’equazione associata b) Determinazione degli intervalli delle soluzioni prof. ssa R. Schettino 5

Disequazioni DISEQUAZIONI DI 2° GRADO • La dimostrazione di quanto segue fa parte del corso in aula, qui ricordiamo le regole: • L’equazione associata può ammettere 1) Due soluzioni reali e distinte x 1 x 2 2) Due soluzioni reali e coincidenti x 1 = x 2 3) Soluzioni non reali (o complesse) x 1, x 2 C prof. ssa R. Schettino 6

Disequazioni DISEQUAZIONI DI 2° GRADO a>0 • >0 x 1 x 2 x 1 = x 2 x 1 e x 2 complesse • <0 x 1 x 2 x 1 = x 2 x 1 e x 2 complesse • Soluzioni: valori esterni all’intervallo delle radici x 1 e x 2 • Soluzioni: tutti i numeri reali tranne x 1 • Soluzioni: tutti i numeri reali • Soluzioni: valori interni all’intervallo delle radici x 1 e x 2 • Nessuna soluzione N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO prof. ssa R. Schettino 7

Disequazioni DISEQUAZIONI DI 2° GRADO • Le regole precedenti valgono nel caso a>0 • Se a<0 si può cambiare il segno di tutti i coefficienti e il verso della disequazione e riportarsi al caso precedente • Oppure si determinano comunque le radici dell’equazioni associata e le regole per gli intervalli delle soluzioni della disequazione sono all’incontrario delle precedenti prof. ssa R. Schettino 8

Disequazioni DISEQUAZIONI DI 2° GRADO a<0 • >0 x 1 x 2 • Soluzioni: valori interni all’intervallo delle radici: x 1<x<x 2 x 1 = x 2 • Nessun valore reale x 1 e x 2 complesse • Nessun valore reale • Soluzioni: valori esterni all’intervallo delle radici: x<x 1, x>x 2 • <0 x 1 x 2 x 1 = x 2 • Soluzioni: tutti i valori reali tranne x 1=x 2 x 1 e x 2 complesse • Tutti i numeri reali prof. ssa R. Schettino 9

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO • Notiamo che (da memorizzare benissimo!): Per DETERMINARE L’INTERVALLO DELLE SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONE ü Bisogna guardare sia il segno del primo coefficiente (a) sia il segno del trinomio ü Bisogna guardare la natura delle radici della equazione associata: a seconda se sono distinte, coincidenti o complesse si ha un diverso intervallo di soluzioni prof. ssa R. Schettino 10

Disequazioni DISEQUAZIONI DI 2° GRADO • Le regole precedenti si possono riassumere così: • Dopo aver determinato le radici dell’equazione associata si ha: Ø Se le radici sono distinte Concordanza tra a e il segno della disequazione: valori esterni Discordanza tra a e il segno : valori interni Ø Se le radici sono coincidenti Concordanza tra a e il segno: sempre verificato tranne x 1 Discordanza tra a e il segno: mai verificato Ø Se le radici sono complesse Concordanza tra a e il segno: sempre verificato Discordanza tra a e il segno: mai verificato • N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO prof. ssa R. Schettino 11

Disequazioni DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO • Le disequazioni algebriche di grado superiore al secondo si risolvono riconducendole a disequazioni di 2° grado • Quindi vanno applicate sia le regole delle equazioni di grado superiore al 2°, che ad esse si riconducono, sia quelle ora esposte delle disequazioni di 2° grado. • Es. Si può scomporre in fattori ed applicare il falso sistema È trinomia quindi si svolge come le disequazioni di 2° grado e poi, in seconda battuta, come quelle di 1°grado È biquadratica quindi si svolge con le regole delle disequazioni di 2° grado, per due volte prof. ssa R. Schettino 12

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Disequazioni • Ricordiamo la definizione di VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO REALE (v. a. ) a se a 0 • a = - a se a < 0 vale a dire: è il numero stesso se questo è 0, è il suo opposto se è < 0. Da ciò discende che per risolvere equazioni o disequazioni con il valore assoluto bisogna contemplare il segno del suo argomento (a) e quindi eliminare il v. a. a seconda se a è 0 o < 0. Ricordiamo inoltre che prof. ssa R. Schettino 13

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Disequazioni • Poiché in un’equazione o disequazione non si conosce il valore dell’incognita, come si fa a sciogliere (eliminare) il v. a. non sapendo il segno dell’argomento contenente l’incognita? • Ebbene si considerano i vari casi utilizzando la rappresentazione grafica degli intervalli di positività o negatività (molto utile se non addirittura necessaria nel caso vi siano più valori assoluti all’interno dell’esercizio) • Es. prof. ssa R. Schettino 14

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Disequazioni • I termini all’interno dei v. a. sono gli argomenti dei v. a. che, come si vede nel 3°e 4° es. , sono più di uno per cui bisogna considerare vari casi. • Nel 1° esempio vanno risolte due disequazioni: l’una se 5 x+6 0, l’altra se 5 x+6<0. Ciò perché nel 1° caso il v. a. va sciolto con il suo segno così com’è, nel secondo caso il v. a. va sciolto cambiato di segno perché l’argomento è negativo. prof. ssa R. Schettino 15

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Disequazioni • Nel 2° es. per contemplare i quattro casi che si possono presentare per i due v. a. (a voi la risposta del perché i casi possibili sono quattro), utilizziamo la rappresentazione grafica sulla retta dei numeri reali nel seguente modo. • Poniamo i due argomenti entrambi positivi e usiamo la linea continua per indicare la positività dell’argomento, la linea tratteggiata per indicare la negatività, per cui sulla retta si ha: -3 0 prof. ssa R. Schettino 16

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Disequazioni • Quindi si risolvono in questo esempio tre casi: • Nell’intervallo x < -3 in cui entrambi gli argomenti sono negativi e i v. a. vanno sciolti cambiando ad entrambi i segni • Nell’intervallo -3 x < 0 in cui il 1° va sciolto cambiato di segno e il 2° va sciolto con il suo segno • Nell’intervallo x 0 in cui entrambi gli argomenti sono positivi e quindi i due v. a. vanno sciolti con il loro segno prof. ssa R. Schettino 17

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI Disequazioni • Nel 3° es. va applicata la stessa procedura del 1° es. • N. B. gli esempi presentano disequazioni; è implicito che per le equazioni valgono le stesse identiche procedure • Per vedere questi ed altri esempi risolti clicca la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI prof. ssa R. Schettino 18

RIASSUMIAMO Disequazioni 1. Si pongono tutti gli argomenti dei v. a. 0 2. Si rappresentano gli intervalli ottenuti sulla retta reale, indicando con linea continua le soluzioni e con linea discontinua le parti rimanenti 3. Si procede con il primo caso relativo al primo intervallo sulla retta, sciogliendo i v. a. a seconda del loro segno (con il medesimo segno se la linea è continua, con il segno cambiato se la linea è discontinua) 4. Si arriva quindi ad una equazione o disequazione senza v. a. che si risolve secondo le regole consuete ottenendo le soluzioni prof. ssa R. Schettino 19

Disequazioni 5. Queste soluzioni ottenute al punto 4 vanno intersecate con l’intervallo che si sta considerando nel presente 1° caso e così termina la risoluzione del 1° caso 6. Si passa poi al 2° caso considerando il 2° intervallo della retta fatta al punto 2 e si sciolgono i v. a. tenendo presenti le linee continue (stesso segno) e quelle discontinue (segno opposto), ottenendo una seconda equazione o disequazione 7. Le soluzioni del punto 6 si intersecano con l’intervallo che si sta considerando e così via fino all’esaurimento degli intervalli della retta del punto 2 8. Le soluzioni dell’equazione o disequazione data sono l’UNIONE delle soluzioni ottenute nei punti precedenti prof. ssa R. Schettino 20

Disequazioni ULTERIORI CONSIDERAZIONI • Quando si devono risolvere disequazioni del tipo si può procedere più rapidamente risolvendo il sistema di disequazioni (perché é un sistema? ) • Quando si devono risolvere disequazioni del tipo si può procedere risolvendo e unire le soluzioni delle due disequazioni • Le regole precedenti sono generali, queste ultime valgono solo in questi casi prof. ssa R. Schettino 21

Disequazioni DISEQUAZIONI IRRAZIONALI • Una disequazione si dice IRRAZIONALE se l’incognita compare nel radicando di un radicale • È quindi del tipo • Può anche contenere più di un radicale, può anche avere un numero reale al 2° membro • Ricordiamo innanzitutto i Domini dei radicali: prof. ssa R. Schettino 22

Disequazioni DISEQUAZIONI IRRAZIONALI • Vediamo come si risolvono le disequazioni con radicali con indice dispari (le più semplici) • Dopo aver isolato il/i radicali al 1° membro, si elevano ad n (indice) entrambi i membri della disequazione finché i radicali non vengono eliminati e si risolve l’ultima disequazione le cui soluzioni sono quelle della disequazione data • Ciò perché si conserva, cioè, il verso della disuguaglianza, se n è dispari, con l’elevamento a potenza • Ricordiamo che • Vale a dire che, con l’elevamento a potenza pari, si conserva il verso della disequazione solo se le basi sono positive prof. ssa R. Schettino 23

Disequazioni DISEQUAZIONI IRRAZIONALI • Molto diversa è la procedura per le disequazioni se l’indice è pari • Cominciamo col tipo • È equivalente al sistema • Esaminiamo il sistema: • per l’esistenza del radicale (Dominio) • perché, dovendo essere maggiore del radicale(positivo), deve essere anch’esso positivo • elevando al quadrato entrambi i membri della disequazione (che sono positivi per le condizioni precedenti) • Per gli esempi svolti vedere la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI prof. ssa R. Schettino 24

Disequazioni DISEQUAZIONI IRRAZIONALI • Esaminiamo il tipo • È equivalente all’unione dei due sistemi • Esaminiamo il 1° : per l’esistenza del radicale (Dominio) • perché, dovendo essere, dal tipo di disequazione, minore di un radicale positivo, B(x) può essere <0 • Le soluzioni di questo sistema soddisfano sicuramente la disequazione data perché A(x) ha significato ed è positivo, B(x)è negativo, quindi il 1° membro è maggiore del 2° come è nella disequazione data prof. ssa R. Schettino 25

Disequazioni DISEQUAZIONI IRRAZIONALI • Esaminiamo il 2°: perché B(x) può essere anche positivo o nullo, pur dovendo essere minore del radicale • perché, essendo per le condizioni poste, entrambi i membri positivi, si possono elevare al quadrato i due membri della disequazione data e non cambia ilverso della disequazione • Nel 2° sistema non compare la condizione del dominio perché viene ad essere implicita nella seconda condizione, dove è > di una quantità positiva e quindi anch’essa positiva • Vedere gli esercizi svolti la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI prof. ssa R. Schettino 26

Disequazioni ESEMPI È di indice dispari (si elevano i due membri alla terza potenza) È di indice dispari e contiene una disequazione fratta È dello steso tipo del primo esempio È dello stesso tipo del secondo esempio È di indice pari: si isola il radicale al 1° membro ed è del tipo È di indice pari ed è del tipo Sono di indice pari e contengono due radicali: si imposta il sistema formato dalle condizioni dei domini e dall’elevamento alla seconda dei due membri prof. ssa R. Schettino 27

Disequazioni CONCLUSIONI • Per risolvere equazioni e disequazioni algebriche di qualunque tipo, è bene inquadrarle prima nella tipologia giusta • La risoluzione deve essere logica, secondo le regole di ciascuna tipologia • Le equazioni e disequazioni possono essere miste, cioè presentare più tipologie insieme e quindi vanno risolte con estrema attenzione procedendo per gradi • Studiare gli esempi svolti e …. . Buon lavoro prof. ssa R. Schettino 28