DISCUSIN Y RESOLUCIN DE SISTEMAS U D 3

DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS U. D. 3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 1

EJERCICIOS Y PROBLEMAS U. D. 3. 7 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 2

Ejercicio 1 • Comprueba sin resolverlos la equivalencia de estos sistemas: • • • x+ y –z =7 2. x – y + z = 5 3. x + y + 2. z = 4 • RESOLUCIÓN • Operando: • • • x+y – z = 7 3. x = 12 x + 2. y + z = - 1 • • Vemos que el primer sistema queda idéntico al segundo. Luego son equivalentes. x+y–z =7 3. x = 12 x + 2. y + z = - 1 F 3=F 3 – F 2 y F 2=F 2 + F 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 3

Ejemplo_2 • Resuelve de forma simultánea los siguientes sistemas: • 3. x + y – 4. z = 5 • 2. x + 3. y + 5. z = - 2 • 3. x + 2. y + 4. z = - 2 3. x + y – 4. z = 14 2. x + 3. y + 5. z = 1 3. x + 2. y + 4. z = 1 • RESOLUCIÓN • Divido entre 3 la ecuación (1) de ambos: • x + 0, 33. y – 1, 33. z = 1, 66 • 2. x + 3. y + 5. z = - 2 • 3. x + 2. y + 4. z = - 2 • Operando en ambas: @ Angel Prieto Benito x + 0, 33. y – 1, 33. z = 4, 66 2. x + 3. y + 5. z = 1 3. x + 2. y + 4. z = 1 F 2 = F 2 – 2. F 1 y F 3 = F 3 – 3. F 1 Matemáticas 2º Bach. C. T. 4

• x + 0, 33. y – 1, 33. z = 1, 66 • 2, 33. y + 7, 66. z = - 5, 33 • y + 8. z =-7 x + 0, 33. y – 1, 33. z = 4, 66 2, 33. y + 7, 66. z = - 8, 33 y + 8. z = -13 • Divido F 2 entre 2, 33 • x + 0, 33. y – 1, 33. z = 1, 66 • y + 3, 2875. z = - 2, 2875 • y + 8. z = - 7 x + 0, 33. y – 1, 33. z = 4, 66 y + 3, 2875. z = - 3, 5751 y + 8. z = -13 • Opero F 3 – F 2 • x + 0, 33. y – 1, 33. z = 1, 66 • y + 3, 2875. z = - 2, 2875 • 4, 7125. z = - 4, 7125 x + 0, 33. y – 1, 33. z = 4, 66 y + 3, 2875. z = - 3, 5751 4, 7125. z = -9, 4250 • Soluciones: • z = - 1, y = 1 , x = 0 z = - 2, y = 4 , x = 0, 66 = 2/3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 5

Ejercicio_3 • Halla el valor de a para que el siguiente sistema sea incompatible: • x + 2. y + 4. z + 10 = 0 • – 2. x – 3. y + z = 6 • 4. x + 5. y + a. z = 8 • RESOLUCIÓN • Normalizo el sistema que me dan: • x + 2. y + 4. z = - 10 • -2. x – 3. y + z = 6 • 4. x + 5. y + a. z = 8 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 6

• Aplico el métodos de Gauss: • F 2=F 2 + 2. F 1 y F 3 = F 3 – 4. F 1 • x + 2. y + 4. z = - 10 • + y + 9. z = - 14 • - 3. y + (a – 16). z = - 32 • F 3 = F 3 + 3. F 2 • x + 2. y + 4. z = - 10 • + y + 9. z = - 14 • (a +11). z = - 74 • Si (a+11)=0 Sistema incompatible • Luego a = - 11 para que el sistema sea incompatible. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 7

Ejercicio_4 • • Resuelve por el método de Gauss-Jordan: 3 x – 3 y + 12 z = 4 – 3 x – 6 y + 10 z = – 2 9 x + 4 y – 2 z = 6 • RESOLUCIÓN • • Operaciones: F 2=F 2+F 1 y F 3=F 3 - 3. F 1 3 x – 3 y + 12 z = 4 – 9 y + 22 z = 2 13 y – 38 z = - 6 • • Operaciones: F 2=F 2: 9 y F 3=F 3: 13 3 x – 3 y + 12 z = 4 – y + 2, 44 z = 0, 22 y – 2, 9230 z = - 0, 4615 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 8

• Sumando F 3=F 3+F 2 • • 3 x – 3 y + 12 z = 4 x – y + 4. z = 4/3 – y + 2, 44 z = 0, 22 - y +2, 44. z =0, 22 – 0, 4830 z = - 0, 2415 z = 0, 5 Operaciones: F 2=F 2 – 2, 44. F 3 y F 1=F 1 – 4. F 3 • • • x – y + 4. z = 4/3 –y =-1 z = 0, 5 • Sumando F 1=F 1 – F 2 – 4. F 3 • • • x –y = 1/3 =-1 z = 0, 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. x = 1/3 y=1 z = 1/2 9

Potencia eléctrica • • • • Una fabrica tiene cuatro máquinas de consumo eléctrico, A, B, C y D. La intensidad que demandan son de 6, 9, 12 y 15 A. respectivamente. La resistencia eléctrica de cada máquina es de 20 , 30, 10 y 40 KΩ respectivamente. El número horas mensuales que está, operativas es de 2000, 1500, 1000 y 500 respectivamente. Hallar la energía eléctrica (real) mensual consumida por las cuatro máquinas de la fábrica. Resolución: E = P·t , donde P = R·I 2 Las matrices características son: Intensidad Resistencia 6 0 0 0 20 0 0 9 0 0 0 30 0 0 12 0 0 0 10 0 0 15 0 0 0 40 @ Angel Prieto Benito Tiempos 2000 Matemáticas 2º Bach. C. T. 1500 1000 500 10

• … Resolución: • E = R·I 2·t = t·R·I 2 para poder operar con las matrices. • • • • 2000 1500 1000 500 20. 0 0 0 = 2000 1500 1000 500 0 30 0 0 0 10 0 0 40 20 0 0 30 0 0 . 6 0 0 0 0 10 0 0 40 0 2 9 0 0 = 0 12 0 0 0 15. 36 0 0 81 0 0 = 0 0 144 0 0 225 2430 0 = 2000 1500 1000 500 0 720 0 0 = 0 0 1440 0 0 9000 Total de energía real consumida: = (1 440 000 + 3 645 000 + 144 000 + 4 500 000 ) = 9 729 000 Kwh @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 11

Resistencia eléctrica • • • • Una fabrica tiene tres máquinas de consumo eléctrico. Queremos saber la resistencia eléctrica de cada una de ellas, que es un valor constante. Para ello medimos en cinco momentos diferentes la intensidad real que las atraviesa y la potencia eléctrica real acumulada: I 211 = 6, I 221 = 9, I 231 = 12 A 2. respectivamente en la 1ª medida. I 212 = 9, I 222 = 12, I 232 = 15 A 2. respectivamente en la 2ª medida. I 213 = 15, I 223 = 18, I 233 = 21 A 2. respectivamente en la 3ª medida. I 214 = 15, I 224 = 21, I 234 = 27 A 2. respectivamente en la 4ª medida. I 215 = 6, I 225 = 6, I 235 = 6 A 2. respectivamente en la 5ª medida. W 1 = 60, W 2 = 90, W 3 = 120, W 4 = 120 e W 5 = 30 Kw respectivamente. Resolución: P = R. I 2 P = R 1·I 2 x 1 + R 2·I 2 x 2 + R 3·I 2 x 3 Elaboramos el sistema y resolvemos @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C. T. 12

Resistencia eléctrica • Resolución • Dividiendo todo entre 6: • • • 6·R 1 + 9·R 2 + 12·R 3 = 60 9·R 1 + 12·R 2 + 15·R 3 = 78 15·R 1 + 18·R 2 + 18·R 3 = 105 15·R 1 + 21·R 2 + 27·R 3 = 138 6·R 1 + 6·R 2 + 3·R 3 = 27 • • • 1 1, 5 2, 5 1 • • Por Gauss-Jordan, utilizando matrices: • • F 2=F 2 – 1, 5·F 1, F 3=F 3 – F 4 F 5=F 5 – F 1, y F 4=F 4 – 2, 5·F 1 • • • 6 9 15 15 6 • • • 1 0 0 9 12 18 21 6 @ Angel Prieto Benito 12 15 18 27 3 60 78 105 138 27 1, 5 2 3 3, 5 1 1, 5 -0, 25 -0, 5 Matemáticas 2º Bach. C. T. 2 2, 5 3 4, 5 0, 5 2 -0, 5 -1, 5 10 13 17, 5 23 4, 5 10 -2 -5, 5 13

• … Resolución • F 4=F 4 – F 2 y F 5=F 5 – F 3 • • 1 0 0 • • • 1 0 0 • Al quedar tantas ecuaciones válidas que incógnitas, el sistema es compatible y determinado. 1, 5 -0, 25 -0, 5 0 0 2 -0, 5 -1, 5 0 0 10 -2 -5, 5 0 0 F 3 = F 3 – 2·F 2 1, 5 -0, 25 0 0 0 @ Angel Prieto Benito 2 -0, 5 0 0 10 -2 -1, 5 0 0 • F 2=F 2·(-4) y F 3=F 3·(-2) • • • 1 0 0 • F 1=F 1 – F 2 y F 2 = F 2 – 2·F 3 • • • 1 0 0 • Por último: F 1=F 1 – 0, 5·F 2 • R 1=1 KΩ, R 2 = 2 KΩ y R 3=3 KΩ 1, 5 1 0 0, 5 1 0 0 0 Matemáticas 2º Bach. C. T. 2 2 1 0 0 10 8 3 0 0 2 2 3 0 0 14