Dipartimento di Ingegneria Chimica dei Materiali e della

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” MACROMECCANICA DELLA LAMINA Obiettivi • Quante sono le costanti necessarie per descrivere il comportamento elastico di una lamina, e come possono essere misurate ? • Quante sono le resistenze necessarie per calcolare il comportamento a rottura di una lamina, e come possono essere misurate ? Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 1

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Equazione costitutiva per un materiale anisotropo z • Tensioni: x, y, z, xy, xz, yz y x • Deformazioni: x, y, z, xy, xz, yz • Ipotesi: comportamento hookeano Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 2

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Forma estesa x = C*11 x+ C*12 y+ C*13 z+ C*14 yz+ C*15 zx+ C*16 xy y = C*21 x+ C*22 y+ C*23 z+ C*24 yz+ C*25 zx+ C*26 xy z = C*31 x+ C*32 y+ C*33 z+ C*34 yz+ C*35 zx+ C*36 xy yz = C*41 x+ C*42 y+ C*43 z+ C*44 yz+ C*45 zx+ C*46 xy zx = C*51 x+ C*52 y+ C*53 z+ C*54 yz+ C*55 zx+ C*56 xy xy = C*61 x+ C*62 y+ C*63 z+ C*64 yz+ C*65 zx+ C*66 xy Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 3

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Forma matriciale x C*11 C*12 C*13 C*14 C*15 C*16 x y C*21 C*22 C*23 C*24 C*25 C*26 y z C*31 C*32 C*33 C*34 C*35 C*36 z C*41 C*42 C*43 C*44 C*45 C*46 yz zx C*51 C*52 C*53 C*54 C*55 C*56 zx xy C*61 C*62 C*63 C*64 C*65 C*66 xy yz = Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 4

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Forme contratte x x y y z yz = C* z zx xy = C* x Forma inversa yz zx Matrice di rigidità x x = S* x Matrice di cedevolezza Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 5

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” x S*11 S*12 S*13 S*14 S*15 S*16 x y S*21 S*22 S*23 S*24 S*25 S*26 y z S*31 S*32 S*33 S*34 S*35 S*36 z S*41 S*42 S*43 S*44 S*45 S*46 yz zx S*51 S*52 S*53 S*54 S*55 S*56 zx xy S*61 S*62 S*63 S*64 S*65 S*66 xy yz = 36 costanti? Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 6

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Hp semplificative Matrice simmetrica: Cij = Cji da 36 a 21 componenti 3. Lastra sottile: direzione 3 trascurabile da 21 a 6 componenti

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” x S*11 S*12 S*13 S*14 S*15 S*16 x y S*12 S*23 S*24 S*25 S*26 y z S*13 S*23 S*34 S*35 S*36 z S*14 S*24 S*34 S*45 S*46 yz zx S*15 S*25 S*35 S*45 S*56 zx xy S*16 S*26 S*36 S*46 S*56 S*66 xy yz = 21 costanti! Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 8

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Equazione costitutiva della lamina Struttura di una lamina unidirezionale in boro-resina 3 z 2 3 23 2 y 1 x S 11 1 = S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 S 33 S 34 S 35 S 36 3 S 44 S 45 S 46 23 S 55 S 56 31 12 S 66 1 2 12 Materiale ortotropo (tre assi principali, tre piani di simmetria) Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 9

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” 3 2 1 1 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 2 S 12 S 23 S 24 S 25 S 26 3 S 13 S 23 S 34 S 35 S 36 3 S 14 S 24 S 34 S 45 S 46 23 S 15 S 25 S 35 S 45 S 56 31 S 16 S 26 S 36 S 46 S 56 S 66 12 1 23 31 12 = 1 2 Assenza di deformazioni taglianti Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 10

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” 3 2 1 31 23 = 12 = 0 S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 2 S 12 S 23 S 24 S 25 S 26 3 S 13 S 23 S 34 S 35 S 36 3 S 14 S 24 S 34 S 45 S 46 23 S 15 S 25 S 35 S 45 S 56 31 S 16 S 26 S 36 S 46 S 56 S 66 12 1 23 31 12 = 1 2 Materiale ortotropo: 9 costanti elastiche Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 11

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Misura delle costanti elastiche: costanti ingegneristiche 3 2 1 1 2 3 23 31 12 = S 11 S 12 S 13 S 22 S 23 S 33 0 0 0 S 44 0 0 S 55 0 0 0 S 66 1 2 3 23 31 12 E = x/ x Sollecitazione monoassiale = - y/ x G = xy/ xy Sollecitazione monoassiale Taglio puro Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 12

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” 3 2 1 Ex = x/ x E 1 = 1/S 11 1 2 3 23 31 12 = S 11 S 12 S 13 S 22 S 23 S 33 0 0 0 S 44 0 0 S 55 0 0 0 S 66 1 2 3 23 31 12 Sollecitazione monoassiale E 2 = 1/S 22 E 3 = 1/S 33 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 13

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” 1 2 3 23 31 12 Gxy = xy/ xy G 12 = 1/S 66 = S 11 S 12 S 13 S 22 S 23 S 33 0 0 0 S 44 0 0 S 55 0 0 0 S 66 1 2 3 23 31 12 Taglio puro G 23 = 1/S 44 G 31 = 1/S 55 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 14

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” 1 2 3 23 31 12 xy = - 2 y/ 1 x 12 = - S 12 /S 11 = S 11 S 12 S 13 S 22 S 23 S 33 0 0 0 S 44 0 0 S 55 0 0 0 S 66 1 2 3 23 31 12 Tensione secondo monoassiale 1 S 12 = - 12/E 1 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 15

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” 1 2 3 23 31 12 23 = - 3/ 2 23 = - S 23 /S 22 = S 11 S 12 S 13 S 22 S 23 S 33 0 0 0 S 44 0 0 S 55 0 0 0 S 66 1 2 3 23 31 12 Tensione secondo 2 S 23 = - 23/E 2 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 16

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” 1 2 3 23 31 12 31 = - 1/ 3 31 = - S 13 /S 33 = S 11 S 12 S 13 S 22 S 23 S 33 0 0 0 S 44 0 0 S 55 0 0 0 S 66 1 2 3 23 31 12 Tensione secondo 3 S 13 = - 31/E 3 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 17

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Costanti ingegneristiche nell’equazione costitutiva 1/E 1 1 1/E 2 2 3 23 31 - 12/E 1 - 31/E 3 = 0 0 0 1 - 23/E 2 0 0 0 2 1/E 3 0 0 0 3 0 0 23 1/G 13 0 31 1/G 12 1/G 23 12 Matrice di cedevolezza Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 18

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Legami fra costanti ingegneristiche 1 2 3 23 31 12 13 = - 3/ 1 13 = - S 13 /S 11 = S 11 S 12 S 13 S 22 S 23 S 33 0 0 0 S 44 0 0 S 55 0 0 0 S 66 1 2 3 23 31 12 Tensione secondo 1 S 13 = - 13/E 1 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 19

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” S 13 = - 31/E 3 S 13 = - 13/E 1 S 23 = - 23/E 2 S 23 = - 32/E 3 S 12 = - 12/E 1 S 12 = - 21/E 2 Importanza pratica ij/Ei = ji/Ej Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 20

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Ortotropo Trasversalmente isotropo Asse 2 = Asse 3 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 21

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Materiale trasversalmente isotropo 3 2 1 5 costanti elastiche 1 2 3 23 31 12 = S 11 S 12 S 13 S 22 S 23 S 33 0 0 0 S 44 0 0 S 55 0 0 0 S 66 1 2 3 23 31 12 S 44 = 2 (S 22 - S 23) Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 22

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Materiale isotropo 3 2 1 1 2 3 23 31 12 = S 11 S 12 S 13 S 22 S 23 S 33 0 0 0 S 44 0 0 S 55 0 0 0 S 66 1 2 3 23 31 12 2 costanti elastiche G = E/ [2 (1 + )] S 44 = 2 (S 22 - S 23) Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 23

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Restrizioni sulle costanti elastiche Materiali isotropi G > 0, E > 0 Materiali ortotropi Gij > 0, Ei > 0 G = E/ [2 (1 + )] Importanza pratica -1 < < 0. 5 delle restrizioni Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 24

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Stato piano di tensione: 3 = 23 = 31 = 0 1/E 1 1 1/E 2 2 3 23 31 12 = 0 0 0 1 - 23/E 2 0 0 0 2 1/E 3 0 0 0 3 0 0 23 1/G 13 0 31 1/G 12 - 12/E 1 - 31/E 3 1/G 23 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 25

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” 1/E 1 1 2 = - 12/E 1 0 1 1/E 2 0 2 1/G 12 Q 12 0 1 Q 22 0 2 Q 66 12 Q 11 1 2 12 = 3 = - 31 1/E 3 - 23 2/E 2 = - 13 1/E 1 - 32 2/E 3 23 = 31 = 0 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 26

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Q 11 1 2 = Q 12 0 1 Q 22 0 2 Q 66 12 Q 11 = Q 22 = E 1 1 - 12 21 E 2 1 - 12 21 Q 12 = 4 costanti elastiche 12 E 2 1 - 12 21 = 21 E 1 1 - 12 21 Q 66 = G 12 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 27

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Valori tipici delle costanti elastiche Materiale E 1 (GPa) E 2 (GPa) G 12 (GPa) 12 Vetro-resina 45 13 8 0. 25 Carbo-resina 140 8 5 0. 25 Kevlar-resina 75 5 3 0. 30 Boro-resina 200 21 7 0. 30 Compositi unidirezionali, Vf ≈ 60% Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 28

Dipartimento di Ingegneria Chimica, dei Materiali e della Produzione Industriale Università di Napoli “Federico II” Valori tipici delle costanti elastiche Compositi in tessuto, Vf ≈ 50 - 55% Materiale E 1 (GPa) E 2 (GPa) G 12 (GPa) 12 Vetro-resina 23 23 8 0. 10 Carbo-resina 72 72 5 0. 08 Kevlar-resina 32 32 3 0. 10 Mat di vetro-resina: E = 8 GPa, = 0. 15 Tecnologie dei materiali compositi - Introduzione 29