Dinmica de um Sistema de Muitas Partculas Centro

Dinâmica de um Sistema de Muitas Partículas Centro de Massa e Momentum Linear xm d/dt

z Uma partícula r 2 r 1 r 3 r 5 Várias partículas rcm r 4 r 6 y O r 7 r 8 x

É por isso que recipientes cheios de gás não saem andando espontaneamente! cm

Campo gravitacional uniforme: Resultante nula:

Momentum Angular do Sistema ri rij rj O Forças centrais

Princípio de Conservação do Momentum Angular

Galáxias Espirais --- disco de estrelas em rotação M 74 NGC 2841 M 81 NGC 3115

Energia Cinética do Sistema de Partículas ri d/dt ri rcm O d/dt

Movimento de Dois Corpos que Interagem—Massa Reduzida dois corpos (tomados como partículas) que interagem através de força central m 2 r 2 cm r 1 R m 1 massa reduzida

m 1, r 1 R F 2 F 1 v 2 m 2 , r 2 v 1

m 1, r 1 R F 2 F 1 v 2 m 2 , r 2 v 1

m 1, r 1 R m 2 , r 2

Colisões Conservação do momento linear Conservação da energia cinética Q =0 : energia cinética conservada colisão elástica Q : ganho (<0) ou perda (>0) de energia cinética pelas partículas

Colisões frontais de duas partículas Coeficiente de restituição: totalmente inelástica 0<e <1 elástica (exceto para colisões explosivas) Massa reduzida Velocidade relativa

Movimento de um Corpo com Massa Variável — Movimento de um Foguete m m+Dm

Mecânica dos Corpos Rígidos - Movimento no Plano z r 2 r 1 r 3 r 5 rcm r 4 r 6 y O r 7 r 8 x

Considerações de Simetria z Hemisfério Sólido

Alguns Teoremas sobre o Equilíbrio Estático de um Corpo Rígido equilíbrio completo de um corpo rígido. Equilíbrio em um Campo Gravitacional Uniforme

Rotação de um Corpo Rígido em Torno de um Eixo Fixo — Momento de Inércia y mi Ri yi f xi x onde

H TORQUE PROVOCADO PELA REAÇ O (FORÇA) AO AR EJETADO TORQUE SOBRE A HÉLICE TORQUE SOBRE O HELICÓPTERO AR EJETADO PELO ROTOR TRASEIRO ATRITO DO TREM DE POUSO COM A PLATAFORMA GERA TORQUE IMPEDE A ROTAÇ O DO HELICÒPTERO

Uma partícula: y mi Ri yi eixo fixo: f xi x

Calculo do Momento de Inércia corpo composto: Exemplo: Barra fina

Aro ou Casca Cilındrica Disco Circular ou Cilindro a r dr eixo

Esfera eixo z dz y a 2

Casca Esférica d/da eixo z eixo d/da z

Teorema dos Eixos Perpendiculares y z x

Disco circular fino no plano xy.

Teorema dos Eixos Paralelos y ri ri rcm x

Disco circular fino no plano xy. z’ z y x a CM

Disco circular fino no plano xy. y’ z y x a CM

Raio de Giração Exemplo: o raio de giração de uma barra fina, relativo a um eixo perpendicular que passa por uma extremidade

O Pêndulo Físico O l cm

O Pêndulo Físico O Usando o teorema dos eixos paralelos, podemos expressar o raio de giração k em termos do raio de giração relativo ao centro de massa km l q cm

Centro de Oscilação O l q cm O’ l’ cm

ponto O’ : centro de oscilação do ponto O’ l’ cm

Ex: Barra fina oscilando da extremidade:

Teorema Geral Relativo ao Momentum Angular

Este resultado estabelece que a taxa de variação temporal do momentum angular relativo ao centro de massa de qualquer sistema é igual ao momento total das forças externas relativo ao centro de massa. Isto é verdadeiro mesmo que o centro de massa esteja se acelerando.

Movimento Laminar de um Corpo Rígido O movimento do corpo ocorre de modo que todas as suas partículas se deslocam paralelamente a um determinado plano fixo, então este movimento é denominado laminar. No movimento laminar, o eixo de rotação pode mudar de posição mas não muda de direção.

Movimento laminar CM em translação + rotação em torno do CM Eixo de rotação com direção constante Movimento em um plano Translação: Rotação:

Cilindro Rolando em um Plano Inclinado y COM ATRITO gc osq FN cm mg sen q cos q mm mg x mg a q

Movimento sem deslizamento

Considerações sobre energia Derivando:

Ocorrência de Deslizamento x Supondo: FN osq cm mg sen q cos mg COM ATRITO gc q mm y mg a q

Rolamento sem deslizamento Exs: Esfera rola em plano inclinado com θ=45° se o coeficiente de atrito for, no mínimo: r vcm P

F 2 F F 1

Ex: colisão de uma barra metálica sobre gelo com disco de hóquei.

Esta apresentação foi desenvolvida pelo Prof. Gustavo de Almeida Magalhães Sáfar e corrigida, conferida e ampliada pelo Prof. João Francisco C. Santos Jr. no Departamento de Física do Instituto de Ciências Exatas da Universidade Federal de Minas Gerais.