Dinamikus hlmodellek Gulys Lszl ELTE TTK Tudomnytrtnet s

Dinamikus hálómodellek Gulyás László ELTE TTK Tudománytörténet és Tudományfilozófia Tanszék gulya@hps. elte. hu

Napirend w Ismétlés n n Centralitás-fogalmak Robusztus hálók generálása w Dinamikus hálók és modelljeik n n Statikus modellek Folyamatok és algoritmusok l n n Növekvés és endogén dinamika Jin-Girvan-Newman modellje(i) Egy véletlen bolyongáson alapuló modell 2021. 03. 11. 2

Ismétlés 2021. 03. 11. 3

Fok-centralitás (degree ~, Freeman, `79) w Kapcsolatok száma: di w Normalizálva: di/(N-1) w „Népszerűség”, „társaságkedvelés”. n Indikátora lehet a hálózatban terjedő információ / betegség megszerzési valószínűségének. 2021. 03. 11. 4

Közelség-centralitás (closeness ~, Freeman, `79) w A többi csúcshoz vezető min. utak összege: n A centralitás inverz mértéke: ~„távolság”. w Normalizálva: n 0 és 1 közötti érték + „invertálva” w Az információ megszerzésének / a betegség elkapásának „gyorsasága”. 2021. 03. 11. 5

Köztesség-centralitás (betweenness ~, `79) w Az áthaladó utak száma: w Normalizálva (max-szal osztva): w Információ kontrollálásának képessége / „brókerség”, távoli régiók összekötése / az összefüggőség fenntartásának képessége. 2021. 03. 11. 6

Sajátérték-centralitás (eigenvector ~, Bonacich `72) w A(z esetleg súlyozott) szomszédsági mátrix fő sajátvektora. w Rekurzívan: n n Minden csúcshoz 1 centralitást rendelünk. A centralitásokat újraszámoljuk a szomszédok centralitásának súlyozott összegeként: Normalizálunk (végigosztunk max(ci)-vel). Addig ismételjük, amíg változás van. w A „centrális csúcsokhoz való kapcsoltság mértéke”. n Járvány esetén növeli a fertőzés valószínűségét. 2021. 03. 11. 7

Az AJB-eredmények egy másfajta formalizálása w Várható köztesség-centralitás: n Várhatóan hány utat vág ketté egy hibázó csúcs. w ER – Erdős-Rényi w SF – Scale-Free (Albert-Barabási) (10 minta átlaga, SF-hez relatívan. ) 2021. 03. 11. 8

Generáljunk robusztus hálókat! (Egy lokális megközelítés) w A BA-féle (robusztus) háló-generálási modell globális információkat feltételez: n n Minden újonnan érkező csúcsnak teljes és tökéletes információval kell rendelkeznie az addig létező háló fokszám-eloszlásáról. Ez nem mindig reális feltételezés. 2021. 03. 11. 9

Eredmények 2/3 (10 minta átlaga, SF-hez relatívan. ) 2021. 03. 11. 10

Dinamikus hálók 2021. 03. 11. 11

Statikus kontra Dinamikus w Az eddigi tárgyalt hálómodellek jobbára statikusak voltak. n n Csúcsok száma fix. Növekvő hálózatok. w Folyamatok kontra Algoritmusok n n n A növekvő modelljeink is csak algoritmust adtak a megfelelő hálózat generálására. A valóságban azonban valamely folyamat melléktermékeként jönnek létre ezek a hálók. A megfigyelt / vizsgált háló ennek a folyamatnak a pillanatnyi (egyensúlyi? ) állapota. 2021. 03. 11. 12

Jin, Girvan és Newman modellje(i) 2021. 03. 11. 13

Emlékeztető w Három alapvető hálótulajdonság és –modell: Erdős-Rényi n Kisvilág (uniform) n Klaszterezettség (uniform) Watts-Strogatz n Skálamentesség (? ? ) 2021. 03. 11. Barabási-Albert 14

Mikor és miért nem skálamentesek a hálózatok? w Nem minden háló skálamentes. n n Jin-Gir-New amellett érvel, hogy ez sokszor természetellenes is lenne. Javasolnak egy modellt, amivel vizsgálható A hálókat létrehozó folyamat, l Illetve a felvetéseiknek megfelelő hálók. l 2021. 03. 11. 15

Ki győzi? w A jelenlegi magyarázat szerint (BA) a skálamentesség mögött n n Folyamatos növekedés és Preferenciális kapcsolódás w áll. DE! n n A fák nem nőnek az égig. Mindenki ideje/energiája korlátos. 2021. 03. 11. 16

Korlátok w Számos esetben nem plauzibilis annak feltételezése, hogy a rendszer korlátlanul nőhet. w A kapcsolatok ápolására / fenntartására energiát kell fordítani, ami véges. n Empirikus vizsgálatok (telefonhálózat): akinek sok kapcsolata van, az egyesével kevés időt fordít rájuk. w Egyenként is elég a skálamentesség „tönkretételéhez”. 2021. 03. 11. 17

Jin, Girvan és Newman alapfeltevései w A csúcsok száma változatlan n n A születés és a halálozás ritkább, mint a kapcsolatok keletkezése és felbomlása. Más időskála elhanyagolható. w A fokszám-eloszlásnak van átlaga. n Megj. : ahol csak egyszeri költség van, ott reális lehet a skálamentesség. (cf. nemi kapcsolatok). w A preferenciális kapcsolódás nem fontos. w A klaszterezettség viszont alapvető. 2021. 03. 11. 18

Jin, Girvan és Newman alapmodellje w w Rögzített számú csúcs: egy rögzített méretű zárt populációt tételezünk föl. Korlátozott fokszám: annak valószínűsége, hogy egy személy új kapcsolatot építsen ki, csökkenjen meredeken miután a jelenlegi barátainak száma elért egy bizonyos szintet. Klasztereződés: a valószínűsége, hogy két egyén megbarátkozik, jelentősen magasabb kell hogy legyen, ha van egy vagy több közös barátjuk. Barátságok elmúlása: Mivel a csúcsok száma rögzített és a fokszám limitált, barátságoknak kell felbomlaniuk és kialakulniuk, ha a hálózat nem stagnál. 2021. 03. 11. 19

Jin, Girvan és Newman két modellje w I. modell n n n Általános. Tetszés szerint reprezentáljuk az emberek hajlamait új kapcsolatok kialakítására. Meglehetősen valósághűen reprezentálja a hálózati evolúciót, de nehézkes szimulálni, és analitikusan feldolgozhatatlan. w II. modell n n n Az első egyszerűsített változata. Reprodukálja az első jellemző tulajdonságait, noha stilizált formában. Hatékonyabban szimulálható. 2021. 03. 11. 20

Jin, Girvan és Newman I. modellje w Kapcsolatok találkozásokkor alakulnak ki. n Találkozó főleg olyan párok közt történik, akiknek van közös barátjuk. w Egy személy kapcsolatainak a száma korlátozott. w A barátság elmúlik, ha a két barát nem találkozik rendszeresen. 2021. 03. 11. 21

Jin, Girvan és Newman I. modellje w Két ember, i és j, találkozásának pij valószínűsége egy időegységben, két tényezőn múlik: n n A két személy már meglevő barátainak zi és zj számán, és a közös barátaik mij számán. w Ezeket a tényezőket az f és g függvényekkel reprezentáljuk: pij = f(zi)f(zj)g(mij): 2021. 03. 11. 22

Jin, Girvan és Newman f() függvénye w Felesszük, hogy az f(z) függvény értéke magas és megközelítőleg konstans kis z-kre. n Azonban z*-nál hirtelen zuhan az értéke. w Egy lehetséges függvény a Fermi függvény: 2021. 03. 11. 23

Jin, Girvan és Newman f() függvénye 2021. 03. 11. 24

Jin, Girvan és Newman g() függvénye w Empirius vizsgálatok alapján az exponenciális forma jól illik rá. g(m) = 1 - (1 – p 0)·e-αm n n ahol p 0 annak valószínűsége, hogy két ember találkozik, akiknek nincsen közös barátjuk, És a α paraméter szabályozza a g() növekedésének ütemét. 2021. 03. 11. 25

Jin, Girvan és Newman g() függvénye 2021. 03. 11. 26

Megjegyzések az f() és g() függvényekről w Valamennyire esetlegesek. w Az eredmények azonban kvalitatíve jobbára függetlenek a konkrét függvényformától. 2021. 03. 11. 27

Barátságok fenntartása w Minden barátsághoz erősséget rendelünk. w Amikor i és j, találkozik, a kapcsolatuk sij erősségét 1 -re állítjuk. w Ahogy az idő múlik, az erősség exponenciálisan csökken (találkozás nélkül). n n ahol Δt az utolsó találkozásuk óta eltelt idő és κ paraméter. w Azokat a kapcsolatokat tekintjük aktívnak, ahol az erősség egy küszöb (pl. 0. 3) feletti. 2021. 03. 11. 28

Szimulációs eredmények w Inicializálás: n n Véletlen hálózattal Üres hálózat Növesztési fázis (új élek, alacsony κ) l Adatgyűjtés (realisztikus κ). l 2021. 03. 11. 29

Szimulációs eredmények 2021. 03. 11. 30

Szimulációs eredmények w A modell reprodukálja a valódi társadalmi kapcsolathálók n n Erős klasztereződési-együtthatóját. Nem meglepő, hiszen a hálózat evolúciójának klaszterezett. w A modell kevésbé triviális eredménye n a tisztán definiált közösségek kialakulása. w Ahálózaton belül csúcs-csoportosulások vannak, melyeken belül nagyon sűrűk a kapcsolatok, de a csoportosulások közt kevés a kapcsolat. n n A legtöbb ilyen közösség összekapcsolódik egy nagy összefüggő komponensben, de egy kevés közösségnek nincs kapcsolata a gráf fő komponensével (az ilyen szigetek léte a modell paramétereinek megválasztásán múlik). 2021. 03. 11. 31

Tisztán definiált közösségek (dendogram) 2021. 03. 11. 32

Jin, Girvan és Newman II. modellje w Az I. modellnek sok paramétere van. n Köztük függvények. w Az elemzése (és szimulációja) bonyolult. n Eredményeinek (kvalitatív) robusztussága azt sugallja, hogy egyszerűbb modell is elegendő lehet. 2021. 03. 11. 33

Jin, Girvan és Newman II. modellje w Bináris kapcsolatok (nincs él-erősség). w Az élek megszűnését konstans valószínűség szabályozza. n n t idő múlva a kapcsolatok -ed része marad meg. 2021. 03. 11. 34

Jin, Girvan és Newman II. modellje w A „találkozások” gyakorisága w Ha nincs még kapcsolat, akkor kialakul, hacsak egyiküknek nincs már z* kapcsolata. n Azaz, szigorú felső korlátja van a lehetséges kapcsolatok számának. 2021. 03. 11. 35

Szimulációs eredmények 2021. 03. 11. 36

Egy véletlen bolyongáson alapuló modell 2021. 03. 11. 37

Egy véletlen bolyongáson alapuló modell w Jin, Girvan és Newman motivációi alapján. w Térbeli bolyongás (cf. hasonlósági tér). w Törekvés az egyszerűsítésre. 2021. 03. 11. 38

Egy lokális információ-alapú modell (véletlen bolyongással) w Az ágensek véletlen bolyonganak egy ritkán „lakott” (stilizált, hasonlósági) térben. w Kapcsolatba lépnek a közelükben levőkkel. w Az ágensek felejtenek, n de az ismételt találkozások megerősítik a kapcsolatot. 2021. 03. 11. 39

Egy lokális információ-alapú modell (véletlen bolyongással) w Látótávolság. w Aki benne van, azzal találkozunk. n Új link, vagy megerősítés. w Memória-erősség n X idő után „kiesik” a barát a memóriából. 2021. 03. 11. 40

Egy lokális információ-alapú modell (véletlen bolyongással) w Dinamikus, folyamat-jellegű modell, amely n n Produkálja a klaszterezettséget. A kisvilág tulajdonság nincs meg De ld. shortcut-ok l Pl. a heterogén látótávolság. l n A fokszám-eloszlás viszont egyenletes. l 2021. 03. 11. Azonban talán a „látótávolság” heterogénné tételével ez is megváltoztatható. 41

Összefoglalás w Dinamikus hálózatok n Algoritmus kontra folyamat. w Jin, Girvan és Newman modelljei n n n Mi nem skálamentes? Korlátok Két modell w Egy egyszerű, térbeli bolyongáson alapuló modell. 2021. 03. 11. 42