Dinamika reetke III deo Bojana Vasiljevi VII as

Dinamika rešetke III deo Bojana Vasiljević – VII čas Hook and Hall knjiga glava 2

Anharmonijski doprinosi Sve do sada što je pokazano – • oscilacije rešetke, • uvođenje fonona, • uvođenje teorija koje objašnjavaju toplotni kapacitet, uvedeno na osnovu pretpostavke da su oscilacije HARMONIJSKE i da smo u oblasti važenja HUKOVOG zakona. Da se vratimo na početak. Pogledajmo opet jednodimenzioni niz atoma na međusobnom rastojanju a kada su u ravnotežnom položaju. Potencijal njihove međusobne interakcije kada se atomi sasvim malo udalje od tog ravnotežnog položaja (udaljili su se za rastojanje r, pri čemu je r mnogo manje od a) može da se napiše u obliku Tejlorovog reda: Ovde nema prvog izvoda potencijala po r, jer taj izvod mora biti nula kada je r=a, tada smo u ravnoteži.

Može se pokazati da je ovaj razvoj potencijala zapravo identičan Hukovom zakonu, i to znači da smo u oblasti harmonijske aproksimacije. Kriva potencijala je parabola, simetrična u odnosu na ravnotežni položaj (r=a). Ove sve aproksimacije su neophodne da bi se dobilo razdvajanje vibracija u normalne modove. Kada se pogleda realan kristal, vidi se da se kristal manje skuplja kada se primeni sila nego što se širi. A kada bi važila harmonijska aproksimacija i kada bi potencijal bio u obliku simetrične paraboli, toliko koliko se širi morao bi i da se skuplja. Ovo je prvi primer koji harmonijska aproksimacija nije mogla da objasni. Anharmonijski efekti Toplotno širenje Toplotna provodljivost Kada imamo harmonijsku aproksimaciju, fononi ne interaguju jedan sa drugim, i kada nema krajeva zrna, defekata i nečistoća, toplotna provodljivost je beskonačna Fononi ovde mogu da se rasejavaju Kada imamo anharmonijske efekte, fononi se sudaraju jedan sa drugim i ti sudari utiču da toplotna provodljivost bude konačna zbog protoka fonona.

Toplotno širenje kristala Zapreminski koeficijent toplotnog širenja definiše se na sledeći način: Ovaj koeficijent može da se napiše i na sledeći način: gde smo sa B obeležili ukupni moduo elastičnosti, odnosno moduo koji pokazuje koliko se zapremina menja pod pritiskom. Pritisak možemo izračunati na osnovu Helmholcove slobodne energije

Kada uvedemo i anharmonijske članove, dolazimo do zaključka da frekfencije modova zavise od ukupne zapremine. Zanemarićemo međusobno sprezanje vibracionih modova i iskoristićemo jednačinu sa prethodnog slajda, samo ćemo uzeti u obzir da postoji zavisnost frekfencije od zapremine:

Samo još malo da preuredimo rezultat: Najjednostavnija pretpostavka je da je ova zavisnost ista za sve modove, i uvedimo da ta zavisnost izgleda ovako: Ovo je Grinajzerov parametar i uzima se da je on pokazatelj veličine anharmonijskih efekata u kristalu. Bezdimenziona je veličina.

Energija jednog moda Tražimo sada izvod pritiska po temperaturi, i setimo se da potencijalna energija ne zavisi od temperature

I sada konačno možemo da izrazimo koeficijent toplotnog širenja: Kako B baš malo zavisi od temperature, dobijamo da je temperaturska zavisnost toplotnog širenja ista kao i temperaturska zavisnost toplotnog kapaciteta. To je prvi primetio empirijski Grinajzer i po njemu ova jednačina se naziva Grinajzerov zakon. Ako izrazimo Grinajzerovu konstantu Dobijamo vrednost koja je negde između 1 i 3 i ima vrlo blagu temperatursku zavisnost.

Međusobni sudari fonona Harmonijska aproksimacija je omogućila da se vibracije rešetke razdvoje u međusobno nezavisne vibracije odnosno normalne modove. U toj aproksimaciji, fononi koji su pridruženi svakom od modova ne interaguju međusobno. Međutim, kada uvedemo anharmonijske članove u potencijalu interakcija, to možemo razumeti kao da dolazi do međusobnih interakcija fonona odnosno da dolazi do sudara. Fonon 1 Posle sudara nastao je treći fonon i Fonon 2 Održanje energije Održanje impulsa

Fonone prikazujemo u opsegu I Briluenove zone: U fonon N fonon Longitudinalni Transferzalni Umklapp PROCES (U fonon) (zbog anharmonijskih efekata) NORMALNI PROCES (N fonon) Fonon 3 ima

Toplotna provodljivost Protok toplote se dešava sa toplijeg kraja ka hladnijem kraju kada u čvrstom telu postoji gradijent toplote. Najvažniji doprinos toplotnoj provodljivosti potiče od protoka fonona u čvrstom telu koje je električni izolator. ◦ Toplotna provodljivost je primer transportne osobine. ◦ Transportna osobina je termin koji se koristi za bilo koji proces gde se dešava protok nekefizičke veličine. ◦ Koeficijent kao što je koeficijent toplotne provodljivosti koji se koristi da bi se opisao protok zove se još i transportni koeficijent. ◦ Na osnovu elementarne kinetičke teorije transportnih koeficijenata gasova, možemo izračunati toplotnu provodljivost fononskog gasa u čvrstim telima.

Kinetička teorija Kada se uspostavi ravnoteža, odnosno stacionarno stanje kinetička teorija gasova kaže da će protok (fluks) neke veličine P duž pravca z biti: ◦

Toplotna provodljivost u fononskom i pravom gasu. Glavne razlike Fononski gas Realni gas • Brzina je u aproksimaciji konstantna. • Nema protoka čestica • I brojčana gustina i gustina energije su veće na toplijem kraju. • Srednja brzina i kinetička energija su veće na toplijem kraju ali je brojčana gustina veća na hladnijem kraju, dok je gustina energije uniformna jer je uniforman i pritisak. • Protok toplote nastaje primarno od protoka fonona koji nastaju na toplijem kraju i nestaju na hladnijem. Toplo Hladno Toplo • Protok toplote nastaje isključivo zbog prenosa kinetičke energije sa jedne na drugu česticu u sudarima, što je u slučaju fonona zanemarljiv efekat. Hladno

Temperaturska zavisnost koeficijenta toplotne provodljivosti Toplotni kapacitet – teži konstantnoj vrednosti na visokim temperaturama i eksponencijalno opada na niskim Srednju brzinu možemo da apsoksimiramo sa brzinom zvuka, znači ne zavisi od temperature. Šta se dešava sa srednjim slobodnim putem? • Temperaturska zavisnost srednjeg slobodnog puta je određena fononskim sudarima na niskim temperaturama. • Pošto je protok toplote povezan sa protokom fonona, za ograničenje protoka su najefikasniji oni sudari gde će grupna brzina fonona promeniti smer. To su oni pomenuti U fononi i zato su oni važni za toplotnu provodljivost.

Toplotna provodljivost na visokim temperaturama ◦

◦ Eksperimentalni rezultati se slažu sa ovim predikcijama 10 0 10 -1 5 10 20 50 100 (a)Toplotna provodljivost kristala kvarca 2 5 10 20 50 100 (b)Toplotna provodljivost kristala safira sa različitim dijametrima

Toplotna provodljivost na srednjim temperaturama ◦

Toplotna provodljivost na niskim temperaturama ◦

Furijeov zakon toplotne provodljivosti Q (protok toplote) Hladni kraj Tc Topli kraj Th L Koeficijent toplotne provodljivosti