DIMENZIONALNA ANALIZA Fizikalne veliine mogu imati dimenzije ili

DIMENZIONALNA ANALIZA Fizikalne veličine mogu imati dimenzije ili mogu biti bezdimenzionalne. - Veličina ima dimenziju ako njena brojna vrijednost ovisi od izbora jedinica. (Npr. interval vremena od izlaska do izlaska sunca možemo izraziti kao 1 dan, kao 24 h, kao 1 440 minuta ili kao 86 400 s) - Fizikalna veličina je bezdimenzionalna ako joj vrijednost ne ovisi o izboru sistema jedinica. (Npr. visina Mont Everesta (h= 8, 848 km) i polumjer Zemlje (R= 6370 km) su očigledno veličine sa dimenzijama, ali njihov odnos h/R= 0, 0014 je bezdimenzionalna veličina, i prema tome, nezavisna od sistema jedinica) - Osnovne fizikalne veličine su duljina [L], masa [M] i vrijeme [T] 1

DIMENZIONALNA ANALIZA - Izvedene fizikalne veličine su npr. brzina [L/T], ubrzanje [L/T 2] - Sila F ML/T 2=N u SI sustavu kgm/s 2=N. - Fizikalni zakoni i jednadžbe kojima su opisani, ne smiju ovisiti od sistema jedinica (zakoni prirode uspostavljaju vezu između veličina koje su postojale do sada a postojat će i poslije nas, dok je sistem jedinica stvar dogovora ljudi) - Zaključak: Obadvije strane bilo koje jednadžbe moraju imati iste dimenzije Npr. v=k·I v [ m/s] k [ m/s] I [ 1] 2

Primjer: Odredi jednadžbu koja povezuje put s kojeg je prešao automobil za vreme t, krečući iz stanja mirovanja konstantnim ubrzanjem a. Pretpostavit ćemo da su ove tri veličine povezane relacijom oblika: odnosno pređeni put je proporcionalan ubrzanju na α i vremenu kretanja na β (C je bezdimenzionalna konstanta). Ovdje su α i β nepoznati koeficijenti koje ćemo odrediti iz uvjeta da su dimenzije lijeve i desne strane jednake. Lijeva strana jednadžbe je u pogledu dimenzije dužina, tako da i dimenzija desne mora biti dužina, odnosno: 3

Kako je dimenzija ubrzanja L/T 2 a vremena T, dobija se Da bi obadvije strane jednadžbe imale iste dimenzije, eksponenti moraju biti isti. Na desnoj strani se pojavljuje samo L a ne i T, ali to u stvari znači da ga možemo dopisati dignuto na nulu, što znači da su odgovarajuće jednadžbe za eksponente: β- 2α = 0 i α = 1, te je β = 2. Time je određena funkcionalna zavisnost pređenog puta s, ubrzanja a i vremena t kao s = Cat 2. Točan rezultat za ovaj tip kretanja je 4

FIZIKALNI MODELI Fizikalni model je maketa stvarnog sustava izložena djelovanju tekućine izrađena tako da se dominantne sile koje djeluju na sistem reproduciraju na modelu u odgovarajućem odnosu (u odnosu na stvarni sustav). Opčenitije: Pod pojmom fizikalni model podrazumijevamo proces kojim se eksperimentalno proučava neka pojava (u vremenu i prostoru), a dobiveni rezultati se mogu prenijeti na svaki sličan proces, Fizikalni model je pomagalo koje služi da bi se predvidjelo (sagledalo) ponašanje nekog fizikalnog procesa u prirodi. Vjetrobrani na A 1 5

FIZIKALNI MODELI Ne postoji ništa jednostavnije od eksperimenta isto kao što nema zamjene za pažljivo eksperimentiranje u mnogim područjima bazičnih istraživanja kao i projektiranja nekih objekata. U Hrvatskoj postoji bogato iskustvo u izradi fizikalnih modela. Prvi modeli su izgrađeni prije sedamdesetak godina (1947. god) pod vodstvom prof. dr. Mladena Žugaja. Na osnovu rezultata eksperimenata se definiraju odnosi među pojedinim fizikalnim veličinama te se po potrebi mijenja ili dopunjava teorija. Prvi model u Hrvatskoj -Slapište brane Bajer u sklopu HE Nikola Tesla (sadašnji HE Vinodol) 1947 6

Ciljevi fizikalnog modela Osnovni ciljevi fizikalnih modela su: definiranje kvantitavnih odnosa među pojedinim fizikalnim veličinama u strujanju tekućina (npr. Darcy-ev, Chezy-ev, . . zakon) - provođenje mjerenja kako bi se potvrdili opovrgli teoretski dobiveni rezultati - provedba mjerenja za strujanja koja su previše složena da bi se mogla opisati teoretskim jednadžbama ( npr. stabilnost lukobrana) Prednosti fizikalnih modela Osnovne prednosti fizikalnih modela su: u fizikalnom modelu se odvijaju isti procesi kao i u prirodi te ih nije potrebno zapisivati u matematičkoj notaciji te tako zapisane jednadžbe rješavati analitičkim ili numeričkim putem. mjerilo modela (mala veličina modela) omogućuje jednostavno i relativno jeftino prikupljanje podataka (fizikalnih veličina) u odnosu na prikupljanje u prirodi na fizikalnim modelima je moguće ponavljati pokuse i kontrolirani uvjete prikladni su za prikupljanje eksperimentalnih podataka za kalibraciju i verifikaciju numeričkih modela. - mogućnost obuhvaćanja složenih procesa koji se ne mogu istraživati ostalim metodama 7

REALNI SUSTAV (Priroda) KONCEPTUALNI MODEL FIZIKALNI MODEL MATEMATIČKI MODEL (VLADAJUĆE JEDNADŽBE, POČETNI I RUBNI UVJETI) ANALITIČKO RJEŠENJE NUMERIČKO RJEŠENJE VERIFIKACIJA MODELA MODELIRANJE (Prognoza budućeg stanja) 8 MONITORING

MODEL – opis pojave u prirodi na nama prihvatljiv način II Newton-ov aksiom: brzina promjene količine gibanja jednaka je sumi svih vanjskih sila na promatranu masu m = masene sile + sila tlaka + sila površinskih naprezanja + sila viskoznosti + sila površinske napetosti + sila elastičnosti Kao derivat Newtonowog II aksioma sa razradom članova sila prilagođenom za nestišljive tekućine uz zanemarenje utjecaja sila površinske napetosti dobiva se Navier – Stokes-ova jednadžba: Problem: -diferencijalna jednadžba drugog reda koja i u slučaju usvajanja predpostvke bezviskoznog tečenja – Eulerova jednadžba ( = 0) ostaje nelinearna - složeni rubni uvjeti u općem prostornom slučaju tečenja Rješenje problema: - formiranje modela kojim će ostvariti zadovoljavajuća sličnost sa procesom u prirodi (matematički modeli sa numeričkim ili analitičkim približnim rješenjima, fizikalni modeli, hibridni modeli) 9

FIZIKALNI MODELI Izgradnja fizičke cjeline (modela) na kojoj se zbog geometrijske, kinematske i dinamičke sličnosti sa oponašanim prototipom (prirodom) mogu provesti mjerenja i analize a dobiveni rezultati se mogu ekstrapolirati na prototip. Kako bi se ostvarila željena mehanička sličnost procesa na modelu i u prirodi-prototipu, model se izrađuje u određenim mjerilima uz zadovoljenje uvjeta sličnosti. Geometrijska sličnost Uvjet geometrijske sličnosti dvaju tokova je opisan jednakošću duljina, površina i volumena sa karakterističnim omjerima: indeks «p» označava mjerilo prirode-prototipa a «m» modela ! Geometrijska sličnost je osnova za kinematičku i dinamičku sličnost. Dvije pojave bit će geometrijski slične ako između njihovih odgovarajućih dimenzija postoji stalan odnos 10

FIZIKALNI MODELI Kretanje pojedinih čestica tekućina na modelu i u prirodi također mora biti kinematički slična (npr. u vodotoku), a u tom slučaju bit će geometrijski slične i linije toka (strujne linije). Kinematska sličnost dvaju tokova biti će ostvarena ako su zadovoljeni omjeri vremena, brzina i ubrzanja : 11

Dinamička sličnost Osim kinematske i geometrijske sličnosti također nužan uvjet za postizanje sličnosti tečenja u prirodi i na modelu. Ostvarena ukoliko se pojedine sile nalaze u omjeru: F=ma=ρVa Omjeri svojstva tekućina (gustoće, kinematske viskoznosti) i tlakova su: 12

Apsolutna mehanička sličnost Navier-Stokesova jednadžba u mjerilu prirode i mjerilu modela: PRIRODA MODEL Za apsolutnu sličnost je potrebno istovremeno zadovoljenje omjera: što je moguće samo uz odabir mjerila duljina Lr = 1 Strujanja (tokovi) koji istovremeno zadovoljavaju geometrijske, kinematičke i dinamičke uvjete sličnosti zovu se hidrodinamički slična strujanja 13

Newtonov uvjet dinamičke sličnosti Ovisnost inercionih sila naspram mjerila duljine i vremena te mjerila gustoća naziva se Newton-ov uvjet sličnosti. Newtonov kriterij može biti zadovoljen samo za jedan par nezavisnih sila 14

Parcijalne dinamičke sličnosti Ovisno o analiziranom problemu potrebno je definirati dominantne sile u analiziranom procesu odnosno dominantne članove sa desne strane Navier-Stokes-ove jednadžbe: 100% = 98% + 1% (masene sile imaju dominantni doprinos inercionoj sili) Za takav slučaj uvjet apsolutne sličnosti prelazi u uvjet parcijalne sličnosti 15

Froude-ov kriterij sličnosti Parcijalna dinamička sličnost izražena kroz dominaciju masene (gravitacione) sile (gornji hipotetski primjer postotnog doprinosa u inercionoj sili): odnosno ili Frp = Frm a kinematske izvedenice (mjerilo brzina i vremena) su: 16

Reynolds-ov kriterij sličnosti Parcijalna dinamička sličnost izražena kroz dominaciju viskoznih djelovanja. Za takav slučaj uvjet apsolutne sličnosti prelazi u uvjet parcijalne sličnosti: odnosno ili Rep = Rem a kinematske izvedenice (mjerilo brzina i vremena) su: Odabir Froude-ov ili Reynolds-ov kriterij sličnosti ? ? ? (ili neki treći? ) PRIMJER: Sila otpora oblika Froude-ova sličnost 17

Sličnost koeficijenta otpora oblika CD pri opstrujavanju valjka sa relativno velikim Reynols-ovim brojevima u prirodi (npr Rep= 105) Koeficijent otpora CD nije toliko ovisan o Re pa se može odabrati i Froude-ov kriterij sličnosti do određenog mjerila pri kojem se neće napustiti područje neovisnosti CD o Re. (Remin=2*104) Sličnost otpora pri opstrujavanja oštrobridnih profila poput ploče Širok raspon vrijednosti Rep u kojem CD ostaje konstantan zbog odvajanja graničnog sloja na oštrom rubu profila, 18 moguć je odabir relativno velikih mjerila duljina za model kao i odabir Froude-ove sličnosti (nužan ukoliko se modeliraju otpori na uronjene stupove mostova na kojima se formira i stojni val)

FIZIKALNI MODEL RASTERETNOG PRELJEVA 19

PRELJEVNI KANAL NIZVODNI UTOK “BLIZNEC” KANAL ODVODA NA UREĐAJ ZA PROČIŠĆAVANJE VANJSKI ZID RAZDJELNE GRAĐEVINE PRELJEVNI ZID Fizikalni model razdjelne građevine sa preljevom “U” oblika na GOK-u Zagreb (izvedenog prema Froude-ovom kriteriju sličnosti, GFZ-2003) Lr =16, 7 20

Preljev (GOK-Radnička) Smanjenje širine lijevog preljeva da bi se povećale brzine i smanjilo taloženje 21

22

AKUMULACIJA PREGRADA NIZVODNO KORITO Fizikalni model širenja poplavnog vala uslijed djelomičnog loma brane (izvedenog prema Froude-ovom kriteriju sličnosti, GFZ-1998) 23

Poplavni val u slučaju loma brane 24

Fizikalni model ulazne građevine na retencijama grada Zagreba (izvedenog prema Froude-ovom kriteriju sličnosti, GFZ-2001) Lr = 5 FINA REŠETKA I ULAZ U TEMELJNI ISPUST TALOŽNICA GRUBA REŠETKA 25

26

FIZIKALNI MODEL PRELJEVA 27

28

FIZIKALNI MODEL KAJAKAŠKE STAZE 29

30

GRADSKA LUKA SPLIT 31

32

33

Generator valova ACI 34

35

36

PRIKAZ PROTOTIPA (LIJEVO) I FIZIKALNOG MODELA (DESNO) DIONICE DOVODNOG KANALA PREDREŠETKE, TALOŽNICE I REŠETKE NA ULAZU U TEMELJNI ISPUST RETENCIJE „KUNIŠČAK“ U ZAGREBU 37

38

39