DIGITLN UEBN MATERIL slo projektu CZ 1 071
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0969 Název školy Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64 Název materiálu Důkazy matematických vět, které mají tvar implikace. Autor Michala Pfefrčková Tematický okruh Základní poznatky z matematiky Ročník První Datum tvorby 12. 11. 2012 Anotace Prezentace slouží k osvojení a procvičení dokazování vět ve tvaru implikace. Metodický pokyn Prezentace je určena jako výklad do hodiny i jako materiál k samostudiu. Možnosti využití: promítání, práce jednotlivců nebo dvojic u PC Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora
Základní poznatky z matematiky Důkazy matematických vět, které mají tvar implikace
Důkazy matematických vět, které mají tvar implikace A. přímý důkaz B. důkaz sporem C. nepřímý důkaz
A. Přímý důkaz � Dokazujeme výrok ve tvaru p ⇒ q. že platí výrok p , vystavím od výroku řetězec implikací (cestu) k výroku q. � Předpokládáme, � Schéma: Øpředpokládáme: platí p Ødokážeme: platí (p ⇒ p 1)∧ (p 1 ⇒ q) Øzávěr: platí p ⇒ q
Úkol - dokažte, že platí: ∀n ∈ N: 2|n ⇒ 2|n 2 � Přímý důkaz: � předpokládáme, že n je dělitelné 2, tedy lze ho zapsat ve tvaru n = 2 k � dokazujeme: pokud je n = 2 k, potom n 2 = (2 k)2 = 4 k 2 = 2‧(2 k 2) n 2 je dělitelné 2 □
B. Důkaz sporem výrok ve tvaru p ⇒ q. � Vytvořím negaci požadovaného výroku ¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q. � Pravdivě z negace výroku dokazuji, až dojdu k nesmyslnému výroku z. � Dokazujeme � Schéma: Øpředpokládáme: platí p ∧ ¬q Ødokážeme: platí (p ∧ ¬q) ⇒z Øzávěr: neplatí z (SPOR) ↯
� Úkol - dokažte, že platí: ∀n ∈ N: 2∤n 3 ⇒ 4∤n � Důkaz sporem: � místo výroku ∀n ∈ N: 2∤n 3 ⇒ 4∤n dokazujeme jeho negaci, tedy ∃n ∈ N: 2∤n 3 ∧ 4|n � 2∤n 3 → n 3 ≠ 2 k � 4|n → n = 4 l � tedy n 3 = (4 l)3 = 64 l 3 = 2‧(32 l 3) ↯
C. Nepřímý důkaz výrok ve tvaru p ⇒ q. � Vytvořím obměněnou implikaci požadovaného výroku (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p). � Předpokládáme, že platí výrok ¬q , vystavím od výroku řetězec implikací (cestu) k výroku ¬p. � Dokazujeme � Schéma: Øpředpokládáme: platí ¬q Ødokážeme: platí (¬q ⇒ ¬q 1)∧ (¬q 1 ⇒ ¬p) Øzávěr: platí ¬q ⇒ ¬p, tj. platí p ⇒ q
� Úkol - dokažte, že platí: ∀n ∈ N: 2∤n 3 ⇒ 4∤n � Nepřímý důkaz: � místo výroku ∀n ∈ N: 2∤n 3 ⇒ 4∤n dokazujeme jeho obměněnou implikaci, tedy ∀n ∈ N: 4|n ⇒ 2|n 3 � 4|n → n = 4 k � tedy n 3 = (4 k)3 = 64 k 3 = 2‧(32 k 3) □
� Dokažte následující tvrzení: Nápověda – přímý důkaz. Nápověda – nepřímý důkaz.
� Řešení: � Přímý důkaz: □ Má-li Dělitelnost být výraz 3 dělitelný → 3 k(k-1) 6, musíme Dělitelnost nalézt 2 dělitelnost → je-li k sudé, 2 je celý výraz a 3. dělitelný 2; je-li k liché, potom je člen (3 k – 1) sudý a tedy celý výraz 3 k(k-1) je dělitelný 2.
� Řešení: � Nepřímý důkaz: dokazujeme výrok ve tvaru: ∀n ∈ N: 5∤n ⇒ 5∤n 2 � platí-li 5∤n, potom n nabývají tvaru: □
Zdroje: Josef. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 608 s. ISBN 80 -85849 -78 -x. � POLÁK, � BUŠEK, Ivan, Leo BOČEK a Emil CALDA. Matematika pro gymnázia: základní poznatky z matematiky. Dot. 2. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 165 s. ISBN 80 -85849 -34 -8.
- Slides: 14