Digitlis tananyag A trigonometrikus fggvnyek inverzei A sinus

Digitális tananyag A trigonometrikus függvények inverzei

A sinus függvény inverze Emlékezzünk, hogy csak a kölcsönösen egyértelmű függvényeknek van inverzük – amelyek eleget tesznek a „vízszintes vonal” tesztnek. f(x) = sin x nem elégíti ki a vízszintes vonal tesztet egyik leszűkítésének tudunk inverzét találni. y y = sin x x sin x csak ezen a tartományon invertálható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada 2

A sinus inverze: y = arcsin x akkor és csak akkor, ha sin y = x. a szög, melynek sinusa x Értelmezési tartománya: Df = [– 1, 1]. Értékkészlete: [– /2 , /2]. Példa: az a szög, melynek sinusa Ez az arcsin x másik írásmódja Tóth István – Műszaki Iskola Ada 3

A cosinus függvény inverze f(x) = cos x függvény egyik leszűkítésének kereshetjük meg az inverzét. y y = cos x x A cos x ezen az intervallumon invertálható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada 4

A cosinus függvény inverze y = arccos x akkor és csak akkor, ha cos y = x. Az a szög, melynek cosinusa x Értelmezési tartománya: Df = [– 1, 1]. Értékkészlete: [0 , ]. Példa: mert Az arccos x másik írásmódja. Tóth István – Műszaki Iskola Ada 5

A tangens függvény inverze f(x) = tan x egyik leszűkítésének kereshetjük meg az y inverzét. y = tan x x A tg x csak ezen a tartományon invertálható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada 6

A tangens függvény inverze y = arctg x akkor és csak akkor, ha tg y = x. A szög, melynek tangense x Értelmezési tartománya: Df = . Értékkészlete: [– /2 , /2]. Például: a) b) Ez az arctg x másik írásmódja. Tóth István – Műszaki Iskola Ada 7

Az inverz függvény tulajdonságai: f(f – 1(x)) = x és (f – 1(f(x)) = x. A trigonometrikus függvények inverzei: Ha – 1 x 1 és – /2 y /2, akkor sin(arcsin x) = x és arcsin(sin y) = y. Ha – 1 x 1 és 0 y , akkor cos(arccos x) = x és arccos(cos y) = y. Ha x egy valós szám, és – /2 < y < /2, akkor tg(arctg x) = x és arctg(tg y) = y. Például: tg(arctg 4) = 4 Tóth István – Műszaki Iskola Ada 8

További példák: a. arcsin(sin (– /2)) = – /2 b. nem tartozik a függvény értelmezési tartományához, – /2 x /2. y Azonban a szög szárának pozíciója ugyanaz, mint a x Tóth István – Műszaki Iskola Ada szög száráé, ezért: 9

Példa: Keressük meg a kifejezés pontos értékét: Legyen ekkor y 3 u 2 Tóth István – Műszaki Iskola Ada x 10