Digitalgeometrie mit Anwendungen zur Bildanalyse und Computergrafik W

Digitalgeometrie mit Anwendungen zur Bildanalyse und Computergrafik W. Kovalevski University of Applied Sciences Berlin www. kovalevsky. de

Inhalt Einführung in die Topologie der lokal endlichen Räume 1. Warum ist Topologie wichtig für die Bildanalyse? 2. Warum können wir nicht die klassische allgemeine Topologie nutzen? 3. Nachbarschaftsstrukturen als Behelfslösung. 4. Lokal endliche Räume. 5. Dimension der Raumelemente. 6. Zellenkomplexe. 7. Zusammenhang und Begrenzungen von Regionen. 8. Kartesische Komplexe und kombinatorische Koordinaten. 9. Datenstrukturen. Einige einfache Algorithmen 1. Verfolgung von Begrenzungen. Verallgemeinerung für den n. D-Raum 2. Füllen des Inneren einer geschlossenen Kurve. 3. Markierung der Komponenten.

Inhalt 2 Geraden in einem 2 D-Raum (digitale Strecken) 1. Halbräume und konvexe Mengen. 2. Definition einer digitalen Strecke (digital straight segment, DSS). 3. Digitale Strecken und Kollinearität. 4. Erkennung der DSS während der Verfolgung einer Kurve. 5. Sparsame Codierung von DSS-Folgen. 6. Dünne und dicke DSS. 7. Anwendungen der DSS. Fortgeschrittene Algorithmen der Digitalgeometrie 1. Digitale Kreisbögen; Definition und Erkennung. 2. Digitale Ebenenstücke im 3 D-Raum. 3. Erzeugung der konvexen Hülle eines 3 D-Objekts. 4. Methoden der Verfolgung und Codierung von Oberflächen im 3 D-Raum. 5. Füllen des Inneren von Oberflächen im 3 D-Raum. 6. Rekonstruktion von "farbigen" Bildern im n. D-Raum. 7. Skelette in 2 D und 3 D.

Inhalt 3 Anwendungen der Zellenkomlexe in der Computergrafik 1. Klassifikation der digitalen Kurven. 2. Zeichnen einer Kurve durch die Verfolgung ihrer Gleichung. 3. Subpixel-Daten und Antialiasing vom Standpunkt der Komplexe. Resümee 1. Einige offene Probleme. 2. Schlussfolgerung.

Vorlesung 1: Einführung in die Topologie der lokal endlichen Räume

Warum ist Topologie wichtig für die Bildanalyse? Man braucht folgende Begriffe: - zusammenhängende Mengen - Begrenzung einer Teilmenge - benachbarte Teilmengen - das Innere und das Äußere, usw. All das sind topologische Begriffe.

Warum ist Topologie wichtig für die Bildanalyse? (Fortsetzung) Man braucht in der Bildanalyse und in der Computergrafik die Begriffe der zusammenhängenden Mengen, der Begrenzung einer Teilmenge, der benachbarte Teilmengen, des Inneren und des Äußeren, usw. All das sind topologische Begriffe. Topologie kann als die Geometrie auf einer Gummischicht betrachtet werden: Alle genannten Eigenschaften von Zeichnungen auf einer Gummischicht bleiben erhalten, wenn man die Schicht verzieht, ohne sie zu zerreißen. Genauer gesagt, topologische Eigenschaften sind invariant unter stetigen Transformationen des Raumes.

Warum kann man die klassische allgemeine Topologie nicht benutzen? Die allgemeine Topologie betrachtet Räume, in welchen selbst die kleinste Umgebung eines Punktes unendlich viele andere Punkte enthält. Dies wird im Folgenden bewiesen. Es ist offensichtlich, dass solch ein Raum (und sogar sein kleinster Teil) nicht im Computer dargestellt werden kann. Deswegen braucht man die Topologie der sogenannten lokal endlichen Räume, in welchen die Umgebung eines Elements auch endlich viele andere Elemente enthalten kann.

Drei Versionen der Trennungseigenschaften von Räumen T 0 T 1 T 2 Symbolische Darstellung der Trennungsaxiome In einem zusammenhängenden T 2 -Raum muss jede Umgebung eines Punktes andere Punkte enthalten. Dabei soll es für beliebige zwei Punkte Umgebungen geben, die sich nicht überschneiden. Wenn eine Umgebung U(a) des Punktes a den Punkt b enthält, dann soll es auch eine kleinere Umgebung von a geben, die b nicht enthält. Sie enthält aber andere als a Punkte. Um diese von a zu trennen, wird eine kleinere Umgebung benötigt usw. ohne Ende. Daraus folgt, dass eine beliebig kleine Umgebung eines Punktes in T 2 und in T 1 unendlich viele Punkte enthalten muss. Weder ein T 1 - noch ein T 2 -Raum (oder die kleinste Teilmenge eines solchen Raumes) kann im Computer explizit dargestellt werden. Es bleiben nur die T 0 -Räume

Eine Behelfslösung In den Jahren nach 1970 hat Azriel Rosenfeld die 4 - und die 8 Nachbarschaft der Pixel in einem digitalisierten Bild vorgeschlagen. Er hat den Begriff eines m-Wegs als eine Folge von m-benachbarten Pixeln definiert, wobei m gleich 4 oder 8 ist. Er hat auch den m-Zusammenhang eingeführt: Eine Teilmenge S von Pixeln ist m-zusammenhängend, wenn sie für beliebige zwei Pixels aus S einen m-Weg von einem Pixel zum anderen enthält.

Die m-Nachbarschaft in 2 D digitalen Bildern Die allgemein bekannte Jordansche Eigenschaft einer einfachen geschlossenen Kurve: Die Kurve unterteilt den Rest der Ebene in genau zwei Komponenten. Eine einfache 4 -Kurve macht drei Komponenten Eine einfache 8 -Kurve macht eine Komponente Die “gemischte” (8, 4)-Nachbarschaft ist nur für binäre Bilder anwendbar.

Das Zusammenhangs-Paradoxon der m-Nachbarschaft Unter der 4 -Nachbarschaft sind sowohl die grüne als auch die rote Teilmenge nicht zusammenhängend. Unter der 8 -Nachbarschaft sind beide zusammenhängend und das ist paradox. Ein widerspruchsfreier Zusammenhang kann definiert werden, wenn man die Zugehörigkeit des Punktes zu einer der Teilmengen angibt.

Das Zusammenhangs-Paradoxon der m-Nachbarschaft (Fortsetzung) Der Begriff des m-Zusammenhangs hat sich als widerspruchsvoll erwiesen: Es ist bekannt (als das Jordansche Theorem), dass eine einfache geschlossene Kurve den Rest der Ebene in genau zwei zusammenhängende Teile (Komponenten) unterteilt. Eine einfache geschlossene Kurve unter der m-Nachbarschaft ist eine Folge von Pixeln, wobei jedes Pixel mit genau zwei Pixeln m-benachbart ist. Es existieren aber unter der 4 -Nachbarschaft einfache geschlossene Kurven, welche den Rest der Ebene in mehr als zwei Komponenten zerlegen. Unter der 8 -Nachbarschaft unterteilt eine einfache geschlossene Kurve die Ebene gar nicht. Wenn man vier Pixel betrachtet, die alle eine gemeinsame Ecke haben, sieht man das Zusammenhangs-Paradoxon wieder: Unter der 4 -Nachbarschaft ist keines der “Diagonal-Paare” der Pixel zusammenhängend; unter der 8 -Nachbarschaft sind sie beide zusammenhängend. Dabei schneidet ein 8 -Weg den anderen solchen Weg ohne dass sie gemeinsame Elemente haben, und das ist ein topologisches Paradoxon.

Das Zusammenhangs-Paradoxon der m-Nachbarschaft (Fortsetzung 2) Rosenfeld hat vorgeschlagen, “gemischte” Nachbarschaften zu betrachten: Die 8 Nachbarschaft für den Vordergrund des Bildes und die 4 -Nachbarschaft für den Hintergrund oder umgekehrt. Dieser Vorschlag hat das Zusammenhangs. Paradoxon für Binärbilder beseitigt, aber es bleibt für Bilder mit mehr als zwei Werten (Farbbilder). Außerdem definiert die (m, n)-Nachbarschaft keine Topologie des Raumes, sondern eine “Topologie” von konkreten Teilmengen des Raumes: Sie ändert sich, wenn die Teilmengen sich ändern. Die Lösung des Paradoxons besteht darin, dass man außer Pixel auch Raumelemente anderer Arten betrachtet, nämlich die Punkte und die Cracks. (Ein Crack ist eine kurze Strecke zwischen zwei benachbarten Pixeln). Die Zugehörigkeit des Punktes zu einer der Teilmengen in dem Beispiel mit zwei diagonalen Pixelpaaren bestimmt den Zusammenhang der Paare widerspruchsfrei.

Beispiele der Begrenzung unter der (m, n)-Nachbarschaft Die m-Begrenzung einer Teilmenge T ist die Menge der Elemente (von T ), welche m-Nachbarn im Komplement von T haben Die 4 -Begrenzung ist nicht Die 8 -Begrenzung ist keine 4 -zusammenhängend einfache Kurve Die 4 -Begrenzung einer Teilmenge unterscheidet sich von der ihres Komplements! Wenn man "von T" in der obigen Definition löscht, dann wird die Begrenzung dick.

Begrenzungen unter der (m, n)-Nachbarschaft Die Begrenzung ist einer der für die Anwendungen wichtigsten topologischen Begriffe. Die Begrenzung (oder Frontier) einer Teilmenge T des Raumes S ist die Menge aller Raumelemente, deren jede Umgebung sowohl Elemente von T als auch von ihrem Komplement S–T enthält. In der Topologie der stetigen Räume besteht die Begrenzung einer Teilmenge der Ebene aus einer oder mehreren geschlossenen Kurven. Sie ist dünn, d. h. ihr Flächeninhalt ist gleich Null. Die Begrenzung ist die gleiche für die Teilmenge T und für ihr Komplement S–T, weil die obige Definition symmetrisch bezüglich T und S–T ist Wenn man die Umgebung eines Pixels P als die Menge der mit P m-benachbarter Pixel (einschließlich P) betrachtet, dann wird die Begrenzung zu einem dicken Streifen zwei Pixel breit. Wenn man aber die Definition so ändert, dass die Begrenzung von T nur Pixel von T enthält, dann bekommt man zwei verschiedene Begrenzungen: Die Begrenzung von T unterscheidet sich von der Begrenzung des Komplements S–T. Dies ist auch ein topologisches Paradoxon.

Widerspruchsfreie Begrenzungen Die Lösung dieses Problems besteht darin, dass man Umgebungen benutzt, welche auf einer antisymmetrischen binären Relation basieren: Wenn das Raumelement a zu der kleinsten Umgebung des Elements b gehört, dann gehört b nicht zu der kleinsten Umgebung von a. Es folgt aus dieser Antisymmetrie, dass ein solcher topologischer Raum Elemente mit verschiedenen kleinsten Umgebungen enthalten soll. Es sind dann Raumelemente verschiedener Arten.

Lokal endliche Räume

Lokal endliche Räume (LER) Definition: Eine nicht leere Menge S heißt ein lokal endlicher Raum, wenn jedem Element e von S bestimmte endliche Mengen von S als die Umgebungen von e zugewiesen sind. Der Autor hat in "Axiomatic Digital Topology", JMIV, v. 26, 2006, bewiesen, dass ein LER genau dann bestimmte für die Anwendungen wichtige Eigenschaften hat, wenn die Umgebungen folgende Bedingungen erfüllen: 1. Jedes Element a eines LER hat seine kleinste Umgebung SON(a). 2. Wenn a SON(b), dann b SON(a). 3. Die Relation a SON(b) ist transitiv. Ein LER ist ein klassischer T 0 -Raum. Ein LER versehen mit Dimensionen seiner Elemente heißt ein abstrakter Zellenkomplex. b a

Weitere Definitionen Definition AC: Ein abstrakter Zellenkomplex C=(E, B, dim) ist eine Menge E abstrakter Elemente (Zellen) versehen mit einer antisymmetrischen, irreflexiven und transitiven binären Relation B E E, genannt Berandungsrelation, und mit einer Dimensionsfunktion dim: E I aus E in die Menge I der nicht negativen ganzen Zahlen, so dass dim(e')<dim(e") für alle Paare (e', e") B. Wenn (a, b) B dann schreibt man a<b oder man sagt, die Zelle a berandet die Zelle b. Solche Zellen heißen inzident zu einander. Beispiele von AC-Komplexen: 2 -dimensional nicht kartesisch 2 -dimensional kartesisch 3 -dimensional

Offene Teilmengen Ein digitalisiertes Bild wird als ein 2 -dimensionaler Komplex betrachtet. Er enthält Zellen von drei Arten: Es sind Zellen der Dimensionen von 0 bis 2. Die 2 dimensionalen Zellen, oder 2 -Zellen, sind die Pixel, die 1 -Zellen nennt man Cracks und die 0 -Zellen sind die Punkte. Ein Crack kann ein Pixel beranden, aber nicht umgekehrt. Ein Punkt kann sowohl einen Crack als auch ein Pixel beranden Definition OP: Eine Teilmenge OT von Zellen eines Teilkomplexes T eines Komplexes K heißt offen in T, wenn sie alle Zellen von T enthält, die von Zellen aus OT berandet werden. Eine n-Zelle zn eines n-dimensionalen Komplexes K n, auch Grundzelle genannt, ist eine offene Teilmenge von K n, weil zn keine Zellen von K n berandet. Definition SON: Die kleinste Teilmenge der Menge S , welche eine vorgegebene Zelle z von S enthält und offen in S ist, heißt die kleinste Umgebung (smallest (open) neighborhood) von z relativ zu S und wird mit SON(z, S) bezeichnet. Die SON eines Pixels ist das Pixel selbst. SONs von anderen Zellen sind auf einer der folgenden Folien dargestellt.

Dimension von Zellen Die Dimension der Zellen stellt die Halbordnung dar, welche der Berandungsrelation entspricht. Man bezeichne die Folge a<b<. . . <m von Zellen eines Komplexes K, wobei jede Zelle der Folge die nächste berandet, als Berandungsweg von a nach m in K. Die Anzahl der Zellen in der Folge minus eins heißt die Länge des Berandungswegs. Definition DZ: (Dimension einer Zelle) Die Dimension dim(z) einer Zelle z eines Komplexes K ist die Länge des längsten Berandungswegs in K, der mit z endet. e Die Zeichnung zeigt einen Komplex und die Berandungsrelation seiner Zellen. Es gibt keinen Berandungsweg, der zur Zelle p führt; also ist ihre Dimension 0. Einer der längsten Wege, der zur Zelle v führt, ist (p, e, f, v). Seine Länge ist 3; demzufolge ist dim(v)=3. f p v Die Dimension des Raumes ist die größte Dimension seiner Zellen.

Die Dimension der Zellen ist wichtig Nichtbeachtung der Dimension kann zu Fehlern führen. Es ist z. B. möglich, eine Topologie auf der Menge Zn so zu definieren, dass ein Punkt mit einem ungeraden Wert von x 1+. . . +xn (Quadrate in der Zeichnung) als offen und ein mit einem geraden Wert von x 1+. . . +xn (Kreise) als abgeschlossen betrachtet wird. Das ist aber ein-dimensionaler Raum, der nicht zu der ndimensionalen Menge Zn passt. Die Begrenzung einer Teilmenge (grau) ist eine nicht zusammenhängende Menge abgeschlossener Punkte , was nur für einen ein-dimensionalen Raum charakteristisch ist. 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Abschlüsse und kleinste Umgebungen von Zellen Abschlüsse

Zusammenhang Die rote Menge ist zusammenhängend, die blaue - nicht. Ein Inzidenzweg ist eine Folge von paarweise inzidenten Zellen. Eine Menge M ist zusammenhängend genau dann, wenn für beliebige zwei ihrer Zellen ein Inzidenzweg in M existiert, der diese Zellen enthält. Die Zugehörigkeit der Zellen niederer Dimensionen wird entweder explizit oder mit Hilfe einer pauschalen Regel angegeben. So kann man z. B. sagen, "alle 0 -Zellen gehören zu der roten Menge".

Topologische Begrenzung einer Teilmenge Rote Linien zeigen die topologische Begrenzung (Frontier) des grauschwarzen Komplexes. Definition: Die Begrenzung Fr(T, K) einer Teilmenge T K ist die Menge aller Zellen z K, deren kleinste Umgebungen SON(z, K) Zellen sowohl aus T, als auch aus dem Komplement K–T enthält. Die Begrenzung enthält keine Grundzellen (d. h. keine n-Zellen in einem n. Raum; keine Pixels in dem 2 D-Raum).

Offene Begrenzung einer Teilmenge Blaue Linien und Quadrate zeigen die offene Begrenzung des grau-schwarzen Komplexes. Sie enthält keine 0 -Zellen. Definition: Die offene Begrenzung Op(T, K) einer Teilmenge T von K ist die Menge aller Zellen z K, deren Abschlüsse Cl(z, K) Zellen sowohl aus T als auch aus dem Komplement K–T enthalten

Kartesische Komplexe und kombinatorische Koordinaten Ein kartesischer (a) und ein allgemeiner (b) Komplex. P ist eine 0 -Zelle (ein Punkt), C 1 und C 2 sind 1 -Zellen (ein horizontaler und ein vertikaler Crack), F ist eine 2 -Zelle (ein Pixel).

Kartesische Komplexe (Fortsetzung) Definition: Ein n-dimensionaler kartesischer Komplex K ist ein abstrakter Zellenkomplex, wobei die Menge seiner Zellen ein kartesisches Produkt der Mengen der Zellen von n eindimensionalen Komplexen Xi, i=1, 2, . . . , n; ist. Die Dimension einer Zelle A=(a 1, a 2, . . . , an) ist gleich der Summe der Dimensionen ihrer Komponenten a 1, a 2, . . . , an. Die Berandungsrelation von K wird wie folgt definiert: Die Zelle A=(a 1, a 2, . . . , an) berandet die Zelle B=(b 1, b 2, . . . , bn) genau dann, wenn für alle i, i=1, 2, . . . , n; die Komponente ai die Komponente bi entgweder berandet oder mit ihr identisch ist. Dabei muss die Dimension von A kleiner als die von B sein. Diese Definition wird einfacher, wenn man die Relation „Seite von“ benutzt: Eine Zelle A heißt Seite der Zelle B genau dann, wenn A entweder die Zelle B berandet oder mit B identisch ist. Im letzteren Fall heißt A eine uneigentliche Seite der Zelle B. In dem kartesischen Komplex K ist die Zelle A=(a 1, a 2, . . . , an) eine Seite der Zelle B=(b 1, b 2, . . . , bn) genau dann, wenn jedes ai für i=1, 2, . . . , n; eine Seite von bi ist.

Datenstrukturen

Datenstrukturen Kombinatorisches Gitter geeignet für geometrische Berechnungen Beide Gitter sollen gleichzeitig benutzt werden; der Übergang vom einem zum anderen ist einfach: Standard-Gitter geeignet zum Speichern von Bildern xs=int(xk /2); ys=int(yk /2).

Bekannte Datenstrukturen • • Run-length code Crack code n-G-map Boundary representation Körper S F 1 Körper K 2 P 1 F 2 K 3 P 2 F 3 F 4 K 5 P 3 P 4 Boundary representation K 6

Geometrische 2 D-Blockzellenliste M 1 P 1 M 4 L 4 R 2 L 3 R 1 L 6 P 4 L 5 P 3 R 3 P 2 R 0 M 5 M 2 M 3 L 2 Liste der Linien (1 -Blöcke) Ind Pst Pend Rr Rl L 1 L 2 L 3 L 4 L 5 L 6 P 1 P 2 P 3 P 1 P 4 P 3 P 2 P 3 P 1 P 4 P 2 P 4 R 0 R 0 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 3 Liste der Verzweigungspunkte (0 -Blöcke) R 0 Marke P 1 P 2 P 3 P 4 N SON 3 3 Linien - L 1, + L 3, - L 4 + L 1, - L 2, + L 5 +L 2 , - L 3 , - L 6 +L 4 , - L 5 , + L 6 Liste derder Regionen: Liste Regionen (2 -Blöcke): Metrik Start Ende M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 -

Theorie der 3 D-Blockzellenliste Theorem: Die Umgebung SON*(ck, M n) einer k-Zelle ck mit 0 k n 1 einer n-Mannigfaltigkeit M n ist В-isomorph zu einer (n k 1)-dimensionalen Sphäre, wenn ck nicht zum Rand M n von M n gehört. Die Menge Cl*(ck, M n) ist dann В-isomorph zu einer (k 1)-dimensionalen Sphäre. Die Umgebung SON* einer 0 -Zelle und die zu ihr B-isomorphe topologische Sphäre

Planare Darstellung einer 2 -Sphäre Für jeden zu einer 2 -Sphäre B-isomorphen Komplex existiert eine planare Darstellung, d. h. er kann in der Ebene gezeichnet werden. Eine der Zellen soll dabei als die äußere Region dargestellt werden. Beispiel: Die Oberfläche eines Oktaeders kann als eine planare Karte gezeichnet werden

3 D-Zellenliste 2 Körper V 2 P 1 F 5 L 1 L 2 P 2 F 1 P 5 L 2 V 1 F 2 F 5 F 1 Entlang L 2 P 4 P 3 Liste der Körper (ähnlich der Liste der Punkte)

Vorlesung 2: Einige einfache Algorithmen

Regel für die Koordinatenzuweisung (4, 7) yk=6 (5, 7) 5 4 (4, 6) 3 2 xk = 2 3 4 5 6 7 8 Die Benutzung dieser Regel ermöglicht die Arbeit mit Zellen niederer Dimensionen im Standardgitter. xs=xk/2; ys=yk/2;

Verfolgung einer Begrenzung in binären 2 D-Bildern X Start 3 Neg= (x+1, y-1) 2 0 dir P=(x, y) Y 1 Pos= (x+1, y+1) Vordergrund Vier Richtungen von Cracks und die zwei Pixel Pos und Neg, die getestet werden sollen (Koordinatensystem der Computergrafik) positive für Pseudo-code Computergrafik P. X=Start. X; P. Y=Start. Y; direction=1; // ”P” ist der laufende Punkt do { Pos=P+Positive[direction]; // ”Pos” ist das positive Pixel Neg=P+Negative[direction]; // ”Neg” ist das negative Pixel if (image[Pos/2]==foreground) // Pos/2 ist im Standardgitter direction=(direction+1) MOD 4; // positive Wendung else if (image[Neg/2]==background) // Neg/2 ist im Standardgitter direction=(direction+3) MOD 4; // negative Wendung P=P+step[direction]; // ein Schritt in die neue Richtung } while( P. X!=Start. X || P. Y!=Start. Y);

Suchen des Startpunktes für die Verfolgung Das Suchen positive für Computergrafik Das Objekt des Vordergrunds bleibt auf der negativen Seite Um eine mehrfache Verfolgung zu vermeiden, sollen die bereits besuchten senkrechten Cracks markiert werden. Der Algorithmus ist etwas einfacher, wenn er nur an Übergängen vom Hintergrund zum Vordergrund starten soll.

Verfolgung einer Begrenzung in binären 2 D-Bildern Um den Startpunkt für die Verfolgung zu finden, muss das Bild Zeile für Zeile durchsucht werden. Wenn ein Vordergrundpixel unmittelbar nach einem Hintergrundpixel gefunden wurde, ist ein nach unten gerichteter Begrenzungscrack C gefunden. Der Startpunkt ist dann sein oberer Endpunkt. Die Verfolgung läuft in kombinatorischen Koordinaten. Der Algorithmus geht von einem Begrenzungspunkt zum nächsten entlang den Begrenzungscracks. Um den nächsten Begrenzungscrack zu erkennen, testet der Algorithmus zwei Pixel “Pos” und “Neg”, die vor dem aktualen Crack liegen. Der Algorithmus berechnet die Koordinaten dieser Pixel indem er die 2 D-Vektoren “Positive[direction]” und “Negative[direction]” zum Vektor “P” des aktuellen Punktes addiert. Die Vektoren sind als kleine Felder von Konstanten definiert. Dann holt der Algorithmus die Grauwerte (oder Farben) aus den Pixeln des vorliegenden Bildes, indem er vorher die kombinatorischen Koordinaten von “Pos” und “Neg” zu Standardkoordinaten transformiert. Dies wird einfach durch eine Integer-Division durch 2 gemacht. Die Richtung des nächsten Cracks wird abhängig von den Werten von "Pos" und "Neg" bestimmt und durch eine Addition von 1 oder 3 modulo 4 zur aktuellen Richtung berechnet. Dann macht der aktuelle Punkt „P“ einen Schritt in der neuen Richtung. Der Prozess endet, wenn der Startpunkt wieder erreicht ist.

Code von “Trace” in C++ // Schritt vom Punkt zum positiven Pixel: CPoint To. Pos[4]={CPoint(1, 1), CPoint(-1, -1)CPoint(1, -1)}; // Schritt vom Punkt zum negativen. Pixel: CPoint To. Neg[4]={CPoint(1, -1), CPoint(1, 1), CPoint(-1, 1)CPoint(-1, -1)}; // Schritt zum nächsten Punkt: CPoint Step[4]={CPoint(2, 0), CPoint(0, 2), CPoint(-2, 0), CPoint(0, -2}; int Value(BYTE *img, int NX, int NY, CPoint P) { if(P. x>=0 && P. x<2*NX && P. y>=0 && P. y<2*NY) return img[P. y/2*NX+P. x/2]; return 0; // Die Funktion gibt den Wert der Zelle P zurück, falls P im Bild ist } int Label(BYTE *img, int NX, int NY, CPoint C)// Markierung eines Cracks { int Dimension=(C. x & 1)+(C. y & 1); if (Dimension!=1) { printf("Label: (%d, %d) is no crack. Stopn", C. x, C. y); return -1; } img[C. y/2*NX+C. x/2]|=VERT; // Markierung eines Bits, z. B. VERT=1. return 1; }

Code von “Trace” in C++ (Fortsetzung) C++ ohne MFC hat keine Klasse “CPoint”, deren Objekte als 2 D-Vektoren mit Addition benutzt werden können. Wenn man eine “Konsole” benutzt, kann man die Klasse CPoint mit den Operatoren "+" und "!=" selbst definieren. Sonst muss man die Addition von Vektoren Komponente für Komponente machen. Dann soll man auch "BYTE" als "unsigned char" definieren. int Trace(BYTE *img, int NX, int NY, CPoint Start) { int cnt=0, rv, dir=1; i. Point P(Start); // laufender Punkt do { CPoint Pos=P+To. Pos[dir]; // Pos und Neg sind Pixel CPoint Neg=P+To. Neg[dir]; int Val. Pos=Value(img, NX, NY, Pos); // Wert von img[Pos] int Val. Neg=Value(img, NX, NY, Neg); // Wert von img[Neg] if (Val. Pos>0) dir=(dir+1)%4; // positive Wendung else if (Val. Neg==0) dir=(dir+3)%4; // negative Wendung CPoint C(P. x, P. y+1); // Crack unterhalb von P if (dir==1) rv=Label(img, NX, NY, C); if (rv<0) { printf(”Error at C=(%d, %d)n", C. x, C. y); return -1; } P=P+Step[dir]; cnt++; } while(P!=Start) && cnt<1000); // Absicherung gegen tote Schleife return cnt; }

Verfolgung von Begrenzungen in n. D-Bildern Der oben beschriebene Algorithmus hat einen Nachteil: Der Inhalt der Hilfsfelder To. Pos[4], To. Neg[4] und Step[4] ist für die Verfolgung in einem 2 D-Raum festgelegt. Man kann aber den Algorithmus so umgestalten, dass er ganz ohne diese Felder auskommt. Dadurch wird er für die Verfolgung von Begrenzungen in Räumen beliebiger Dimension und bei beliebiger Orientierung der Koordinatenachsen ohne jegliche Änderung anwendbar. Bei Dimensionen größer als 2 wird dann die Begrenzung in einer 2 D-Schicht verfolgt. Norm Step Out Cn– 1 2 D-Schicht color a Cn– 2 b Inn

Parameter und Variablen des universellen Algorithmus Der Algorithmus bekommt als Parameter ein n-dimensionales Bild “image”. Es kann sowohl binär als auch "farbig" sein. Er bekommt außerdem die Vektoren Start, Norm und Step. Komponenten von Start sind die kombinatorischen Koordinaten einer (n– 1)-dimensionalen Zelle in der Begrenzung einer n-dimensionalen Teilmenge S, deren Grundzellen den Wert “color” haben. Dieser Wert ist auch ein Parameter des Algorithmus. Die Zellen des Komplements von S können beliebige andere Werte haben. Der Algorithmus betrachtet die Grundzellen mit dem Wert color als Vordergrund die anderen als Hintergrund. Am Anfang der Verfolgung wird der laufende Vektor Cn_1 (der auf eine (n 1)-dimensionale Begrenzungszelle zeigt) gleich Start gesetzt. Der Einheitsvektor Norm ist die Außennormale von Cn_1 und der Einheitsvektor Step geht von Cn_1 zu einer (n– 2)-dimensionalen Zelle, die mit Cn_1 inzident ist.

Pseudo-Code von "Trace. Uni" void Trace. Uni(i. Vect Start, i. Vect Norm, i. Vect Step, int color, char image[]) { i. Vect Cn_1=Start, Cn_2, Ctest, Inn, Out, Step. New; do { Cn_2=Cn_1+Step; // Schritt zu der (n-2)-Zelle Cn_2 Ctest=Cn_2+Step; // Schritt zu der mit Cn_2 komplanaren (n-1)-Zelle Inn=Ctest-Norm; Out=Ctest+Norm; // zwei mit Ctest inzidenten Grundzellen // Die Werte von Inn und Out prüfen und die nächste Begrenzungszelle bestimmen: if (image[Out]==color && (image[Inn]==color || Cn_2 In. Object==TRUE) ) { Cn_1=Cn_2+Norm; Step. New=Norm; // Schritt zu der nächsten (n-1)-Zelle Norm=-Step; Step=Step. New; } // Cn_2 In. Object ist "wahr", wenn die Zelle Cn_2 zum Vordergrund gehört else if (image[Inn]!=color && (image[Out]!=color || Cn_2 In. Object==FALSE) ) { Cn_1=Cn_2 -Norm; Step. New=-Norm; // Schritt zu der nächsten (n-1)-Zelle Norm=Step; Step=Step. New; } else Cn_2=Ctest; // Schritt zu der nächsten (n-1)-Zelle } while((Cn_1==Start)==FALSE ); // hält an, wenn Start wieder erreicht ist } // end Trace. Uni.

Füllen des Inneren einer (n-1)-Mannigfaltigkeit (getestet für n=2, 3, 4) Um zu prüfen, ob eine n-Zelle P eines n. D-Raumes im Inneren einer (n 1)dimensionalen Mannigfaltigkeit M liegt, genügt es, die Schnittstellen von M mit einem Strahl zu zählen, der von P bis zum Rand des Raumes geht, und die Parität zu prüfen. Das Zählen ist nur dann einfach, wenn der Raum ein Zellenkomplex ist. Der Pseudocode: Wähle eine Koordinatenachse A des Kartesischen Raumes, z. B. die X-Achse. Markiere alle (n 1)-Zellen von M, deren Normale parallel zu A ist. Sonst ist es schwer, zwischen einem Schnitt und einer Berührung zu unterscheiden: for ( jede Zeile R parallel zu A ) Kein Problem in einem Komplex: { fill=FALSE; for ( jede n-Zelle Z in der Zeile R ) { if ( die erste (n 1)-Seite von Z markiert ) fill = NOT fill; if ( fill==TRUE ) Z = Vordergrund; else Z = Hintergrund; } }

Füllen des Inneren einer (n-1)-Mannigfaltigkeit Wenn eine Kurve als Folge von Pixeln vorliegt, dann ist es unmöglich, anhand einer einzigen Zeile zwischen einem Schnitt und einer Berührung zu unterscheiden. In der Tat, man sieht, dass jeweils die dritte Zeile in den zwei oberen Zeichnungen identisch ist. Für die Entscheidung müssen drei nacheinander folgende Zeilen untersucht werden. Aber, wenn man das Bild als einen Komplex darstellt, dann ist die Kurve eine Folge von abwechselnden 0 - und 1 -Zellen. Jetzt wird das obige Problem einfach, weil ein Strahl, der aus Pixeln und senkrechten 1 -Zellen besteht, eine Kurve nur an einer 1 Zelle schneiden kann. Eine Berührung ist unmöglich. Vor dem Füllen sollen alle senkrechten 1 -Zellen der Kurve, oder alle (n– 1)dimensionalen Zellen der Mannigfaltigkeit, die zu einer ausgewählten Koordinatenachse A orthogonal sind, in dem zu füllenden Bild markiert werden. Der Algorithmus durchläuft das Bild Zeile für Zeile parallel zu A. Am Anfang jeder Zeile wird fill=FALSE gesetzt. Jedesmal, wenn eine markierte Zelle vorkommt, wird fill invertiert: fill=NOT fill. Wenn fill wahr ist, wird die nächste Grundzelle mit dem Wert des Vordergrunds markiert, sonst mit dem des Hintergrunds.

Markierung der Komponenten in einem n-dimensionalen Raum Der Raum ist als ein n-dimensionales Feld S dargestellt. Die Indizes entsprechen den Koordinaten. Jedes Element von S enthält eine ”Farbe". Nach der Markierung soll jedes Element die Marke der Komponente bekommen, zu der es gehört (in einem anderen Feld L). 0 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1 1 2 3 ? ? ? Der naive Zugang: im Worstcase NY³/2 Änderungen 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 14 14 14 12 12 12 10 10 Optimale Lösung: im Worstcase NX/2 Änderungen

Markierung der Komponenten (Fortsetzung) Gegeben sei ein segmentiertes n. D-Bild. Das Problem besteht im Finden der maximalen zusammenhängenden Teilmengen, wobei jede Teilmenge Grundzellen einer einzigen Farbe enthält. Das sind die Komponenten. Dann soll man die Komponenten nummerieren und jedem Element des Bildes die Nummer seiner Komponente zuweisen. Diese Nummern sollen in einem zusätzlichen Feld L gespeichert werden. Das Bild soll eine relativ kleine Anzahl von Farben enthalten. Sonst kann es passieren, dass z. B. jedes Pixel eines Farbbildes eine Komponente ist. Der naive Zugang besteht im Abtasten des Bildes Zeile für Zeile und im Zuweisen jedem Element (z. B. Pixel), welches mit keinem bereits besuchten Element der gleichen Farbe benachbart ist, der nächsten nicht benutzten Marke. Wenn das aktuelle Element E besuchte Elemente der gleichen Farbe in seiner unmittelbaren Umgebung hat und diese unterschiedliche Marken haben, dann bekommt E die kleinste dieser Marken. Alle in der Umgebung von E betrachteten Marken werden auch durch diese kleinste Marke im ganzen Bild ersetz. Diese Änderung kann im Worstcase (bei n=2) bis zu NY²/2 Pixel betreffen, wobei NY die Höhe des Bildes ist. Die Gesamtanzahl der Änderungen kann dann gleich NY³/2 werden.

Das Wurzelverfahren Die Idee dieser Methode (Galler und Fischer, 1964) wird für den 2 D-Fall erläutert; sie ist aber auch für eine beliebige Dimension anwendbar. Die Marke einer Komponente muss so gewählt werden, dass es möglich wird, ausgehend von dieser Marke die Adresse eines bestimmten Pixels im Speicher zu finden. Dieses Pixel wird die Wurzel der Komponente genannt. Beim Start des Algorithmus soll jedes Pixel (x, y) des Feldes L den Index x+NX*y als seine Marke bekommen, wobei NX die Anzahl der Spalten im Bild ist. Dadurch wird am Anfang jedes Pixel als eine Komponente betrachtet und ist selbst die Wurzel dieser Komponente. Der Algorithmus durchläuft das Bild Zeile für Zeile. Wenn das aktuelle Pixel P benachbarte Pixel von derselben Farbe unter den bereits besuchten Pixeln hat, dann bekommt P als Marke die kleinste Marke der Wurzeln dieser Pixel. Die Marken dieser Wurzel werden durch diese kleinste Marke ersetzt. Dadurch bekommen alle Komponenten, die sich an den aktuellen Pixel treffen, ein und dieselbe Wurzel und werden dadurch zu einer Komponente. Die Marken der Pixel, die keine Wurzeln sind, bleiben unverändert (um Zeit zu sparen). Die Änderungen betreffen in dem oben genannten Worstcase nur NX/2 Pixel. Nach dem ersten Bilddurchlauf enthält jedes Pixel eine Marke, die entweder unmittelbar oder rekursiv über andere Marken auf die Wurzel seiner Komponente zeigt. Während des zweiten Durchlaufs werden die Marken durch aufsteigende ganze Zahlen ersetzt.

Pseudo-Code des Wurzelverfahrens Gegeben ein Bild S, ein zweites Feld L von der gleichen Größe muss definiert werden. Jedes Element von L muss wenigstens log 2|S| Bits enthalten, wobei |S| die Anzahl der Elements von S ist. Der Algorithmus durchläuft das Bild zweimal: Nach dem ersten Durchlauf enthält jedes Element von L den Index der “Wurzel” seiner Komponente als seine Marke. Während des zweiten Durchlaufs werden die Marken durch aufsteigende ganze Zahlen ersetzt. Diese Version betrachtet Zellen aller Dimensionen, wobei jede Zelle eine Farbe hat. Der Pseudo-Code: 1 2 31 1 2 1 41 52 63 1 2 1 93 1 71 81 1. Durchlauf 1 1 2. Durchlauf dimension(i) gibt die Dimension der Zelle "i" an; Ninc[dim] ist die Anzahl der mit der Zelle "i" ínzidenten Zellen, die bereits besucht wurden.

Pseudo-Code der Funktionen (Subroutinen)

Vorlesung 3 Geraden in einem 2 D-Raum (digitale Strecken)

Halbräume und konvexe Mengen Y 14 12 10 8 2 x-3 y+2>0; 6 4 2 0 X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Definition HR: Ein abgeschlossener digitaler Halbraum eines n. D-Raumes ist der Abschluss der Menge aller n-Zellen, deren Koordinaten einer linearen Ungleichung genügen. Das Komplement eines abgeschlossenen Halbraumes ist ein offener Halbraum. Ein digitaler Halbraum eines 2 D-Raumes heißt digitale Halbebene. Definition KON: Ein nicht leerer Durchschnitt von digitalen Halbräumen heißt eine digitale konvexe Teilmenge des Raumes.

Halbräume und konvexe Mengen Für beliebige zwei Zellen aus einer digitalen konvexen Menge M existiert mindesten eine DSS, welche durch diese Zellen geht und vollständig im Abschluss von M liegt. Diese Aussage soll für beliebige Dimension gelten. Ein Beweis ist erwünscht. (Für beliebige n Zellen aus einer n-dimensionalen digitalen konvexen Menge M existiert mindesten eine (n-1)-dimensionalen digitale Hyperebene, welche durch diese Zellen geht und vollständig im Abschluss von M liegt).

Definition einer digitalen Strecke (DSS) Y 14 SP SN 12 + 10 8 + 6 positive Basis negative Basis 4 + 2 0 + + – – – EP EN – – 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 X Beispiel einer Halbebene und einer DSS in kombinatorischen Koordinaten Definition: Eine digitale Strecke (digital straight segment) (DSS) ist eine zusammenhängende Teilmenge der Begrenzung einer digitalen Halbebene

Digitale Strecken und Kollinearität Y 14 P 3 12 10 P 2 8 P 4 6 P 1 4 2 0 X 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Definition KOL: Eine Zelle c heißt streng kollinear mit zwei anderen Zellen a und b wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: (xb xa)·(yc ya) (xc xa)·(yb ya) = 0. Die Zelle c líegt auf der positiven Seite des geordneten Paares von Zellen a und b wenn: (xb xa)·(yc ya) (xc xa)·(yb ya) > 0. Sie liegt auf der negativen Seite der Zellen a und b wenn: (xb xa)·(yc ya) (xc xa)·(yb ya) < 0. Drei Zellen heißen semi-kollinear, wenn es eine DSS gibt, auf der sie alle liegen. P 2 ist streng kollinear mit (P 1, P 3). P 2 liegt auf der positiven Seite von (P 1, P 3). P 4 liegt auf der negativen Seite von (P 1, P 3).

Parameter einer DSS Laut der obigen Definition ist eine digitale Halbebene der Abschluss der Menge von Pixeln, deren Koordinaten einer linearen Ungleichung genügen. Die Ungleichung trennt die Pixel in positive und negative. Für die Ungleichung gibt es eine Standardform: Werte der trennenden Standardform TSF H(x, y)=a·x+b·y+c liegen für positive Pixel im Intervall: 0 H(x, y) max (|a|, |b|)–e; und für negative Pixel im Intervall: –max (|a|, |b|) H(x, y) –e; wobei die Konstante e=2 für kombinatorische Koordinaten und e=1 für Standardkoordinaten ist. Die Parameter a und b sind teilerfremde ganze Zahlen. Diese Ungleichungen sollen für mindestens drei Pixel zu Gleichungen werden.

Erkennung der DSS während der Verfolgung Die Idee des Algorithmus alte positive Basis + + + – + neue positive Basis nächstes positives Pixel nächster Crack + – – + + – – – alte negative Basis neue negative Basis Die trennende Standardform erfüllt H(x, y) 0 für positive Pixel

Erkennung der DSS während der Verfolgung (Fortsetzung) Es sei C der Koordinatenvektor eines Cracks der gegebenen digitalen Kurve und DIR seine Richtung (DIR=0, 1, 2 oder 3). Am Anfang einer DSS, die aus einem Crack besteht, sind ihre Parameter zu bestimmen. Für jeden Crack C sind folgende Schritte durchzuführen: 1. Finde das positive P und das negative N Pixel, die mit dem Crack C inzident sind. 2. Wenn die aktuelle Richtung DIR eine verbotene ist, endet die DSS. Sonst berechne die Werte HP und HN von H(x, y) für die Pixel P und N. 3. Wenn einer dieser Werte außerhalb des erlaubten Intervalls, dicht an seinem Rande liegt, dann sollen die Parameter der DSS nach bestimmten Regeln geändert werden. 4. Wenn einer der Werte HP und HN weiter außerhalb des erlaubten Intervalls liegt, dann endet die DSS. 5. Sonst gehe zum nächsten Crack über und wiederhole die Schritte 1 bis 5.

Sparsame Codierung von DSS-Folgende Methoden der Codierung von digitalen Kurven sind bekannt: 1. Freeman-Code: Sparsam, aber bedingt anwendbar für Begrenzungen. 2. Crack-Code: Sparsam, auch für Begrenzungen, aber nicht "geometrisch". 3. Polygonale Approximation: Geometrisch, aber begrenzte Genauigkeit. 4. DSS mit zusätzlichen Parametern: Geometrisch und genau. Eine DSS wird eindeutig durch eine lineare Funktion H(x, y) definiert: H(x, y)=a·(x xs, )+b·(y ys) + L. Die Koeffizienten a und b definieren den Anstieg der DSS, xs und ys sind die Koordinaten des Startpunktes der DSS, L ist der Wert von H am Startpunkt. Es wurde bewiesen, dass a und b immer als ganze teilerfremde Zahlen gewählt werden können. Dann kann auch L eine ganze Zahl im Bereich [0, |a|+|b|-1] sein. Die Koordinaten (xs, ys ) kann man sparsam codieren, indem man für jede geschlossene Kurve nur den Startpunkt der ersten DSS explizit speichert. Der Startpunkt jeder nächsten DSS ist dann eindeutig durch a, b, L und die Anzahl NC der Cracks in der DSS definiert.

Sparsame Codierung von DSS-Folgen (Fortsetzung) Es genügen also vier ganze Zahlen pro DSS: NC, L, a und b. Weil die meisten DSS relativ kurz sind, sind diese Zahlen fast immer klein: Alle vier können in einem Wort von 2 Byte gepackt werden. Für längere DSS können auch längere Worte der Länge von 3 bis 8 Byte benötigt sein, aber solche Worte kommen selten vor. Die durchschnittliche Anzahl von Byte pro DSS liegt zwischen 2 und 3. Dünne und dicke DSS Für die Bildanalyse sind die dünnen DSS besonders wichtig, weil mit ihrer Hilfe Begrenzungen beschrieben werden können. Die dicken DSS sind nur für das Zeichnen von Bildern interessant; aber für diese Zwecke gibt es bessere Möglichkeiten, die in der Vorlesung 5 erläutert werden.

Anwendungen der DSS 1. Schätzung des Umfangs einer Teilmenge in einem 2 D-Bild. 2. Darstellung von Objekten in 2 D-Bildern als Polygone mit dem Zweck der Formanalyse. 3. Sparsame und genaue Codierung von Bildern. Wie weiter oben erläutert, gibt es die Möglichkeit, eine DSS durch vier ganze Zahlen genau zu definieren. Ein quantisiertes Grauwertbild besteht aus Gebieten mit jeweils einem konstanten Wert. Die Begrenzungen dieser Gebiete werden mit den DSS codiert. Ein sparsamer Code braucht im Durchschnitt 2, 3 Bytes pro DSS. Aus diesem Code kann das quantisierte Bild genau wiederhergestellt werden. Dieses Grauwertbild aus 390 480=187200 Pixeln mit 32 Graustufen wurde mit 60080 Bytes codiert. Die Komprimierungsrate beträgt ca. 3, 1. Die Abbildung zeigt das aus dem Code fehlerfrei rekonstruierte Bild.

Schnelle Codierung von Bildern durch DSS-Polygone und Erkennung kreisförmiger Objekte Dieses Binärbild von 1300 1030 Pixeln wurde mit DSS codiert und alle 57 kreisförmige, auch beschädigte, Objekte wurden erkannt. Die ganze Verarbeitungszeit betrug 56 ms auf einem PC mit einem Pentium. Processor mit 700 MHz.

Schätzung des Flächeninhalts und des Umfangs einer 2 D-Teilmenge 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Schwarz und rot– große Pixel. Naive Schätzung: Umfang=Anz. Cracks 12 1=12 Pixel; 16 1=16 Cracks Umfang als Summe der Längen der DSS 12 1=12 Pixel; 20 1=20 Cracks 48 0. 25=12 Pixel; 40 0. 5=20 Cracks (2, 1) (0, 6) (2, 7) (3, 9) (5, 8) (6, 1) (2, 1) Eine Rotation ändert das Ergebnis bis 41%. 5. 38 + 2. 24 + 7. 07 + 4. 0=23. 17 Erhöhung der Auflösung bringt keine Genauigkeit steigt mit der Auflösung Vorteile

Vorlesung 4 Fortgeschrittene Algorithmen der Digitalgeometrie

Digitale Kreisbögen Eine digitale Kurve soll in möglichst lange digitale Kreisbögen zerlegt werden. X Pos Neg Y Man verbinde ein positives Pixel mit einem negativen und man errichte den Lot in dem Mittelpunkt der verbindenden Strecke. Die Halbebene, die das negative Pixel enthält, enthält auch den Mittelpunkt des Bogens. MP Der Durchschnitt aller Halbebenen heißt das Mittelpunkt-Polygon MP. Wenn MP leer wird, ist der aktuelle Bogen zu Ende und der nächste Bogen beginnt.

Digitale Ebenenstücke (DPP) im 3 D-Raum Ähnlich wie im 2 D-Fall, kann ein DPP als eine zusammenhängende Teilmenge eines Halbraumes definiert werden. Für ein DPP kann auch eine trennende Standardform TSF H(x, y, z)=a·x+b·y+c·z+d definiert werden. Es gibt auch den einfachen und schnellen Erkennungsalgorithmus, der es ermöglicht, für einen beliebigen zweidimensionalen Teilkomplex im 3 D-Raum zu entscheiden, ob er ein DPP ist. Trotzdem bleibt das für die Anwendungen wichtige Problem der Zerlegung einer Oberfläche in möglichst große DPP bis heute ungelöst.

Unterteilung einer Oberfläche in digitale Ebenenstücke Das ähnliche 2 D-Problem ist relativ einfach, weil jede DSS genau zwei mit ihr benachbarte Cracks Ci, i=1, 2; hat: Am Anfang und am Ende. Jeder dieser Cracks kann zu der DSS D hinzugefügt werden, solange die Menge D {Ci} eine DSS bleibt. Das gleiche Problem ist im 3 D-fall wesentlich komplizierter, weil ein bereits entdecktes DPP durch mehrere benachbarte Facetten erweitert werden kann. Uns ist kein Algorithmus bekannt, um zu entscheiden, welche Facetten und in welcher Reihenfolge hinzugefügt werden sollen, um die minimale Anzahl der DPP zu erreichen. Bei einer zufälligen Auswahl der Facetten ist die Menge der erhaltenen DPP chaotisch (a). a b DPPs, erzeugt bei einer zufälligen Auswahl der Facetten (a) und DPPs, erzeugt durch den Aufbau einer konvexen Hülle (b)

Konvexe Hülle 4 Konvexer Punkt, aber keine lokale Ecke 1 Lokale Ecke Das Start-Polygon Keine sichtbare Kante 3 2 6 5 Ein 3 D-Objekt Seine konvexe Hülle

Die konvexe Hülle (Fortsetzung) Der Algorithmus 1. Erstelle eine Liste der lokalen Ecken. 2. Suche vier nicht komplanare lokale Ecken und erzeuge die Zellenliste (nächste Folie) eines Tetraeders. Das ist jetzt die laufende konvexe Hülle LKH. 3. Für jede lokale Ecke L suche alle sichtbaren Flächen der LKH. Wenn es keine gibt, ignoriere L. Sonst verbinde L mit allen Kanten der Begrenzung des sichtbaren Bereichs, speichere L und alle Dreiecke und lösche den sichtbaren Bereich. 4. Wiederhole Schritt 3 für alle lokalen Ecken. 5. Wenn es komplanare Dreiecke gibt, vereinige sie zu Polygonen. 6. Ende des Algorithmus.

Beispiel einer Block-Zellenliste List of of 12 1 points; List point; 20 lines; 10 faces and 1 volume --------- Partial list of points-------Point 1 (2; 2; 2) is incident with 3 lines. Label=0; The lines: -1; -3; -2; Point 2 (16; 2; 2) is incident with 3 lines. Label=0; The lines: 1; -7; -5; Point 3 (2; 16; 2) is incident with 3 lines. Label=0; The lines: 2; -8; -4; Point 4 (2; 24) is incident with 4 lines. Label=0; The lines: 3; -13; -9; -6; Point 5 (16; 2) is incident with 3 lines. Label=0; The lines: 4; -10; 5; Point 6 (16; 2; 4) is incident with 4 lines. Label=0; The lines: 6; -14; -12; 7; etc.

Beispiel einer Block-Zellenliste (Fortsetzung)

Beispiel einer Block-Zellenliste (2. Fortsetzung)

Beispiel einer großen Block-Zellenliste 104 Punkte, 168 Kanten und 66 Flächen Körper, wiederhergestellt aus der Block-Zellenliste

Methoden der Verfolgung und Codierung von Oberflächen in 3 D

Methoden der verlustfreien Codierung von Oberflächen 1. Methode von D. Gordon und J. K. Udupa (1989), basierend auf der Traversierung des Digraphs, der die Nachbarschaft der Facetten darstellt. Es ist eine einfache, aber nicht sparsame Methode: Der Code braucht 6 oder 12 Byte (je nach Größe des Bildes) pro Facette. Die Möglichkeit, den Zusammenhang durch singuläre Zellen zu berücksichtigen, ist eingeschränkt. 2. Spiralförmige Verfolgung (Kovalevsky, V. , 1999). Es ist eine komplizierte Methode; ihr Vorteil – sie analysiert die topologische Struktur der Oberfläche und berechnet ihr Geschlecht. Der Code braucht ca. 1 Byte pro Facette. 3. Codierung durch den Eulerkreis (Kovalevsky, V. , 2006). Dies ist eine sparsame, aber komplizierte Methode, die auch singuläre Zellen berücksichtigt. Der Code braucht ca. 0, 7 Byte pro Facette. 4. Der "Reifencode" (Kovalevsky, V. , 2007). Es ist die sparsamste Methode: Der Code braucht ca. 0, 2 Byte pro Facette. Dabei besteht die Möglichkeit, diese Zahl weiter zu verringern.

Methode von Gordon und Udupa (1989) Die Oberfläche wird als ein Digraph dargestellt: Seine Knoten sind die Facetten, eine Kante verbindet zwei Facetten, die einen gemeinsamen "horizontalen" Crack haben. Die Orientierung der Kanten des Digraphs ist in der Abbildung gezeigt. Es wird die Breitensuche angewendet, und die Koordinaten der Facetten werden gespeichert. Es ist eine einfache Methode; ihre Nachteile: 1. Der Code ist nicht sparsam: Es werden die Koordinaten gespeichert; 2. 33% der Facetten werden zweimal in die Warteschlange eingetragen; Zeitverlust. 3. Teilmengen, die durch senkrechte Cracks verbunden sind, werden als getrennt betrachtet. Dieser Nachteil könnte durch das Einführen von zusätzlichen Kanten im Digraph (gestrichelte Pfeile) beseitigt werden, aber dann würden 67% der Facetten zweimal in die Warteschlange eingetragen.

Spiralförmige Verfolgung (Kovalevsky, V. , 1999) Idee der Verfolgung einfache 2 -Zelle Oberfläche S gemeinsame Begrenzung markiertes Gebiet L Die Facette F heißt einfach genau dann, wenn die gemeinsame Begrenzung eine 1 -Kugel ist. Dann bleibt L immer eine 2 -Kugel. Beispiel der Verfolgung

Die Restfolge der nicht einfachen Facetten a b Die Menge der einfachen Facetten (grau) bildet eine topologische двумерный шар. Множество непростых пикселей (показаны белым Scheibe zurückbleibenden nicht einfachen Facetten цветом)(2 -Kugel). несёт всю. Die топологическую информацию. (weiß) tragen wichtige topologische Information.

Die Restfolge der nicht einfachen Facetten im Falle eines Torus a b b b a

Verschiedene Körper mit NT Tunneln Beispiel des Codes (nicht für das obige Bild) Eine Brezel mit NT=2; 50 Facetten und 72 Codeelementen Der Code (Oktalzahlen):

Der "Reifencode" (Kovalevsky, 2007) Die Idee dieser Methode basiert auf der Tatsache, dass für das Wiederherstellen eines Körpers, Facetten von nur zwei entgegengesetzten Orientierungen genügen; z. B. solche, deren Normalen parallel oder anti-parallel zu der Z-Achse sind. Z codierte Hauptreifen Hilfsreifen Y X Die Hauptreifen können auf die gleiche Weise, wie Kurven in 2 D-Bildern, codiert werden, nämlich mit 2 Bits pro Facette. Somit werden alle Z-Facetten erfasst. Die Hilfsreifen dienen nur zum Finden weiterer Hauptreifen. Das Verfahren ermöglicht auch in weiteren Schritten die Bestimmung des Zusammenhangs von Körpern, die nur singuläre Zellen gemeinsam haben.

Füllen des Inneren von Oberflächen in 3 D Der Algorithmus ist dem zum Füllen des Inneren von Kurven in 2 D ähnlich: Man markiert die Facetten der vorgegebenen Oberfläche, deren Normalen parallel oder anti-parallel zu einer gewählten Koordinatenachse sind. Dann werden alle Zeilen des Gitters durchlaufen, welche der gewählten Achse parallel sind. Dabei werden die markierten Facetten innerhalb der Zeile gezählt. Das Füllen der Voxel beginnt bei jedem ungeraden Wert des Zählers und endet bei jedem geraden Wert. Oberfläche ein Schnitt Pseudo-Code Wähle eine Koordinatenachse, z. B. die X-Achse. Markiere alle (n 1)-Zellen der gegebenen (n 1)-Mannigfaltigkeit, deren Normalen parallel oder anti-parallel zu der gewählten Achse sind. for ( each row R parallel to X ) { fill=FALSE; for ( each n-cell C in the row R ) { if ( the first (n 1)-side of C is labeled ) fill = NOT fill; if ( fill==TRUE ) C = foreground; else C = background; } } X Anfang und Ende des Füllens

Rekonstruktion von farbigen 2 D-Bildern Der oben beschriebene Algorithmus ist nur zur Rekonstruktion von binären Bildern anwendbar. Algorithmen für die Rekonstruktion farbiger Bilder sind etwas komplizierter. Die Methode der Rekonstruktion, die wir beschreiben, ist anwendbar, wenn für die Werte (Farben) im Bild die Addition und die Subtraktion definiert sind. Um das Bild zu rekonstruieren, soll man jedem senkrechten Cracks C die Differenz der Werte zuweisen, welche die zwei an beiden Seiten von C liegenden Teilmengen bekommen sollen. Das ist der Gradient der Farbe. Dann soll man für jedes Pixel die Werte der links von ihm liegenden Cracks addieren. Dies ist eine einfache Integration einer Differenzengleichung. Y = – 2 = – 1 = +1 0 0 2 X

Zwei Methoden der Codierung von "farbigen" n. D-Bildern Es gibt mindesten zwei Methoden der Codierung von Begrenzungen in farbigen Bildern. 1. Die einfachere Methode besteht im Verfolgen der Begrenzung zwischen der Teilmenge mit einem vorgegebenen Wert, welche als Vordergrund betrachtet wird, und dem Komplement dieser Teilmenge. Seine Zellen enthalten beliebige andere Werte. Das Komplement wird als Hintergrund betrachtet. Der Code von jeder Komponente dieser Begrenzung (es ist meistens eine (n-1)-Mannigfaltigkeit) soll den Wert (Farbe) des Vordergrundes enthalten. Diese Methode ist einfach, aber jeder Begrenzungscrack im 2 D-Fall, oder jede (n-1)-Zelle im n. D-Fall, soll zweimal codiert werden. 2. Die zweite Methode besteht im Erzeugen einer Zellenliste des Bildes. Dabei wird jede (n-1)-Zelle nur einmal codiert, aber das Codierungsverfahren ist wesentlich komplizierter. Je nach der Methode wird die notwendige Differenz (der Gradient) der Werte unterschiedlich ermittelt.

Rekonstruktion von "farbigen" n. D-Bildern (Fortsetzung) Bei der ersten Methode der Codierung sind das die Werte, welche den zwei geschlossenen Kurven (den zwei (n-1)-Mannigfaltigkeiten), die durch C gehen, zugewiesen wurden. Bei der zweiten Methode können die zwei benötigten Werte aus dem entsprechenden Eintrag in der Zellenliste unmittelbar abgelesen werden: Es ist der Eintrag für die einzige Kurve K (die (n-1)-Mannigfaltigkeit), die durch C geht. Die zwei Werte sind die Marken der zwei mit K inzidenten Teilmengen. Die einzige Besonderheit der Rekonstruktion im n. D-Fall besteht darin, dass man mehrere Möglichkeiten für die Auswahl der Richtung der Integration hat: Man kann eine beliebige Richtung parallel einer der Koordinatenachsen wählen. Dann sollen nur die (n-1)-Zellen markiert werden. deren Normale parallel (oder antiparallel) dieser Achse ist.

Vorlesung 5 Skelette in 2 D und in 3 D Anwendungen in der Computergrafik

Skelett eines Gebiets im n-dimensionalen Raum, n=2, 3 Definition SK: Das Skelett einer gegebenen Menge T eines n-dimensionalen (n=2, 3) Bildes I ist eine Teilmenge S T mit folgenden Eigenschaften: a) S hat die gleiche Anzahl von Komponenten wie T; b) Die Anzahl von Komponenten von I S ist die gleiche, wie die von I T; c) Bestimmte Singularitäten von T sind in S erhalten; d) S ist die kleinste Teilmenge von T, die Eigenschaften a) bis c) besitzt. Singularitäten können z. B. als "Endpunkte" in einem 2 D-Bild, oder als "Kanten eines Fladens" in einem 3 D-Bild definiert werden. . Singularität Das Problem besteht darin, Bedingungen zu finden, bei denen eine Grundzelle des Vordergrundes T zu einer des Hintergrundes B=I T umgewandelt werden kann, ohne dass die Eigenschaften a) bis c) verloren gehen.

Die Inzidenzstruktur und die IS-einfachen Zellen Definition IS: Der Komplex IS(C, I)=SON(C, I) Cl(C, I) {C} heißt Inzidenzstruktur der Zelle C relativ zum n-Raum I. Das ist der Komplex, der aus allen mit C inzidenten Zellen außer die Zelle C selbst besteht. F 2 ist einfach F 3 F 1 ist nicht einfach F 2 P 1 ist einfach F 1 P 2 ist nicht einfach Die Zugehörigkeit einer Zelle C beliebiger Dimension kann zwischen dem Vordergrund T und dem Hintergrund B gewechselt werden genau dann, wenn beide Durchschnitte IS(C, I) T und IS(C, I) B nicht leer und zusammenhängend sind. Solch eine Zelle heißt IS-einfach relativ zur Teilmenge T.

Der Algorithmus besteht im Löschen der einfachen Zellen abwechselnd aus der abschließenden und der offenen Begrenzung der zu bearbeitenden Teilmenge. Singuläre Zellen werden nicht gelöscht. Das auf diese Weise berechnete Skelett kann sowohl Grundzellen als auch Zellen niederer Dimensionen (b) enthalten. Es ist auch nicht schwer, solch ein Skelett zu transformieren, entweder zu einem "dünnen Skelett, das nur aus Zellen der Dimensionen nicht höher als n– 1 besteht (a), oder zu einem "dicken Skelett" (c), bestehend aus Grundzellen und einer Minimalzahl anderer Zellen, die notwendig sind, um die Komponenten von S zusammenhängend zu machen. Der Vorteil dieses Verfahrens besteht darin, dass es sich problemlos parallelisieren lässt. a b c

Berechnung des Skeletts eines 2 D-Gebiets a a) Das Gebiet S e e) O = OB(C) b c b) Begrenzung B=Fr(S) f c) C=S–Simple(B) g f) F=C –Simple(O) g) Skel = F–Simple(Fr(F))

Beispiel eines 3 D-Skeletts Der ursprüngliche Körper Sein Skelett

Anwendung der Zellenkomplexe zur Computergrafik

Klassifikation der Digitalkurven Eine Sichtkurve ist eine Folge von Pixeln. Sie ist sofort und direkt auf dem Bildschirm sichtbar. Der Anwendungsbereich ist Computergrafik. Eine Begrenzungskurve ist eine Folge von abwechselnden Punkten und Cracks. Sie kann unter einer Vergrößerung sichtbar gemacht werden: Ein Punkt wird als eine kleine Scheibe oder Quadrat dargestellt und ein Crack als eine Strecke. Der Anwendungsbereich ist Bildanalyse.

Zeichnen einer Kurve durch Verfolgung ihrer Gleichung Gegeben ist die Gleichung F(x, y)=0 der Kurve, wobei F(x, y) eine Funktion in einer Programmiersprache ist. Der Algorithmus zeichnet die Kurve auf dem Bildschirm indem er den etwas modifizierten Code “Trace” aus der Vorlesung 2 benutzt. + – F(x, y)<0 Startpunkt F(x, y) 0 Gesucht wird nach zwei benachbarten Pixeln, an denen F(x, y) unterschiedliche Vorzeichen hat. Die Verfolgung startet an der gemeinsamen 0 -Zelle dieser Pixel, wobei Pixel mit F(x, y)<0 als Vordergrund die mit F(x, y) 0 als Hintergrund betrachtet werden.

Sichtkurven mit Antialiasing Um den Eindruck einer homogener Breite einer Sichtkurve zu erzeugen, wurde in der Computergrafik die sogenannte Methode des Antialiasing entwickelt. Wir zeigen einen neuen universellen Algorithmus zum Zeichnen von Sichtkurven beliebiger Breite mit Antialiasing. Der Algorithmus berechnet implizit zwei Kurven, die von der Kurve F(x, y)=0 um die Hälfte der gewünschten Breite in Richtung des ±Gradienten von F(x, y) verschoben sind. Dann wird der Flächeninhalt des Teils von jedem Pixel (in den Nähe von F(x, y)=0) geschätzt, welcher zwischen den verschobenen Kurven liegt. Die Farbe des zu zeichnenden Pixels hängt von dem geschätzten Flächeninhalt ab. Die Schätzung wird ohne eines feineren Gitters gemacht, wie dies in der Computergrafik üblich ist. Deswegen ist sie schnell und genau. Die Zeichnung zeigt eine Kurve mit der Gleichung (x²+y²)² 2 ax(x²+y²) a²y²=0; Breite: 1. 2 Pixel, Vergrößerung 12.

Einige offene Probleme 2 3 4 6 1. Verallgemeinerung der sparsamen Codierung von Oberflächen auf "farbige" 3 D-Bilder. 2. Darstellung nicht konvexer Körper durch Polyeder mit einer minimalen Anzahl von Flächen (Abb. 2). 3. Hamilton-Wege in Oberflächen (Feliú Sagols Troncoso, Abb. 3). 4. Kann man die Zugehörigkeit der singulären Zellen mit Hilfe einer feineren Digitalisierung erkennen? (Abb. 4). 5. Welche geometrische Transformationen von Bildern können ohne Informationsverlust realisiert werden? 6. Wann unterteilt ein (n-1)-dimensionaler Komplex den Rest des n-dimensionalen Raumes in genau m Komponenten? (Abb. 6).

Schlussfolgerung 1. Zusammenhang und Begrenzung sind topologische Eigenschaften, die für die Bildanalyse und ähnliche Anwendungen wichtig sind. 2. Bei diesen Anwendungen kann man mit Erfolg die Topologie der lokal endlichen Räume benutzen. 3. Abstrakte Zellenkomplexe sind allgemein anwendbare und gut verständliche Vertreter der lokal endlichen Räume. 4. Effiziente Algorithmen der Digitalgeometrie werden auf der Basis der Topologie der abstrakten Zellenkomplexe entwickelt.

Danke für Ihre Aufmerksamkeit