Diff lign Innledning Benyttes til beskrive prosessendringer Typer
Diff. lign. Innledning - Benyttes til å beskrive prosessendringer Typer av diff. lign. ODE Ordinære PDE Partielle Newtons 2. lov Radioaktivitet Kvantefysikk SHM Varmetransport Bølger Elektrisk krets Endringer mht en enkelt variabel Endringer mht flere variabler
Diff. lign. Radioaktivitet Antall atomer som desintegrerer er proporsjonal med antall atomer som vi har i øyeblikket. N 0 Antall atomer ved tiden t = 0 N Antall atomer ved tiden t N 0 N N 0/2 Halveringstid : Tiden det tar før halvparten av atomene er desintegrert. t
Diff. lign. Separabel: Oppsplitting slik at venstre side er en funksjon av kun y, høyre side er en funksjon av kun x. For en 1. ordens ordinær diff. lign. vil den generelle løsningen inneholde en vilkårlig konstant.
Diff. lign. Integrerende faktor
Diff. lign. 2. ordens diff. lign.
Diff. lign. Oversikt Diff. lign. Lineær Ikke-lineær u 1 og u 2 løsninger u = Au 1 + Bu 2 løsning Den generelle løsning inneholder alle løsninger En partikulær løsning er en spesiell løsning ODE En generell løsning vil inneholde like mange vilkårlige konstanter som graden av diff. lign. PDE En generell løsning vil inneholde like mange vilkårlige, uavhengige funksjoner som graden av diff. lign. En løsning som ikke kan genereres fra den generelle løsningen kalles en singulær løsning
Part. diff. lign. Eks 1 - Bølgeligning Vis at er en løsning av den part. diff. lign. hvor
Part. diff. lign. Eks 2 - Varmeligning Vis at er en løsning av følgende initialverdiproblem:
Part. diff. lign. Eks 3 - Varmeligning Løsning av følgende initialverdiproblem: (1) (2) (3) Mulige løsninger av (1) Generelt må vi forvente en superposisjon av uendelig mange ledd for å oppfylle inertialverdi-problemet Oppfyller (1) + (2) + (3)
Part. diff. lign. Superposisjon av løsninger 1. u(x, t) 0<x<L t>0 Kontinuerlig og leddvis deriverbar u(x, t) 0 x L t 0 Kontinuerlig u(x, t) Entydig løsning av initialverdi-problemet 2. 3.
Part. diff. lign. Eks 4 - Løsningsmetoder a) Løs ligningen: b) Finn en partikulær løsning som oppfyller: a) b)
Part. diff. lign. Eks 5 - Separasjon av variable Løs initialverdiproblemet: vha separasjon av variable
Part. diff. lign. Svingeligning Generell løsning av 2. ordens diff. lign. m/konst. koeff. k ax’’ + bx’ + cx = f(t) m F Ytre påtrykt kraft cv Demping 0<t<L x(0) = x(L) = 0 1. Finn den generelle løsning xc = c 1 x 1 + c 2 x 2 av den assosierte homogene diff. lign. 2. Finn en partikulær løsning xp av den inhomogene lign. 3. Bestem konstantene c 1 og c 2 slik at x = xc + xp tilfredsstiller randbetingelsene.
Part. diff. lign. Svingeligning - Diff. lign. k m F Ytre påtrykt kraft cv Demping Newtons 2. lov anvendt på klossen (horisontalt)
Part. diff. lign. Svingeligning - Fri, udempet svingning c=0 F=0 k m F Ytre påtrykt kraft cv Demping
Part. diff. lign. Svingeligning - Fri, dempet svingning F=0 k m F Ytre påtrykt kraft cv Demping
Part. diff. lign. Svingeligning - Tvungen svingning k Løsning av homogen ligning F = 0 m F Ytre påtrykt kraft cv Demping Partikulær løsning Steady state
Part. diff. lign. Bølgeligning - SHM (x, y)
Part. diff. lign. Bølgeligning - Utledning 1 F 2 y (x, y) F 2 F F F 1 y F 1 x x + x
Part. diff. lign. Bølgeligning - Utledning 2 T(x, t) (x, y) T(x 0, t) x 0 x 1 + yx T Ty Tx yx 1
Heat Partiell derivasjon Fourier
Part. diff. lign. Varmeligning - Innledning Lengde L Temperatur T 1 Tverrsnitt A Temperatur T 2 Termisk konduktivitet K Varmeledning (energioverføring (varme)) pr tidsenhet H Proporsjonal med tverrsnitt Proporsjonal med temperaturdifferens Omvendt proporsjonal med lengden A T 1 – T 2 L Fluks = Varmeledning pr areal
Part. diff. lign. Varmeligning - Fluks / Varme i x-retning D z C H G A(x, y, z) x B x y E y Fluks Netto varme inn i x-retning z Masse Tetthet Spesifikk varmekapasitet Temperatur m c u F Varme
Part. diff. lign. Varmeligning - D z C H G A(x, y, z) x Netto varme inn i x-retning Netto varme inn y z B x y E Netto varme inn F Masse Tetthet Spesifikk varmekapasitet Temperatur m c u
Part. diff. lign. Varmeligning - Formel D z C H G A(x, y, z) x B x y E y z F Masse Tetthet Spesifikk varmekapasitet Temperatur Kalorimetri Netto varme inn Diffusivitet m c u
Part. diff. lign. Varmeligning - Alternativ utledning z D x Masse Tetthet Spesifikk varmekapasitet Temperatur y Kalorimetri Energi-endring Varme-fluks over randen Divergens-teoremet m c u
Diff. lign. - Fourier Anvendelse Svingninger F(t) Varmeledning f(x) Bølger f(x) Disse funksjonene kan være kompliserte. Problemene kan løses vha Fourier g(x)
END
- Slides: 28