Diferentes Formas Funcionales y Otras Cosas del Analisis
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Diferentes Formas Funcionales y Otras Cosas del Analisis de Regresion
Regresion a traves del origen La ordenada en el origen es cero. i. e. , Yi = 2 X i + ui Yi ^ ^ RRM: Yi = 2 X i ^ 2 1 0 Xi
Regresion a traves del origen El modelo estimado: ^ = ^ Y 2 Xi ^ ^ o u = + Y 2 Xi i Aplicando MCO: ^ 2 = å X i. Yi 2 å Xi y ^2 s ^ Var 2 = å X 2 i y 2 ^ u å s^ 2 = ( ) N -1
Algunas caracteristicas de este modelo ^ 1. u å 2. i R 2 No tiene por que ser cero En algunas ocasiones puede ser negativo. En la practica: Incluir siempre un termino constante en la regresion, al no ser que se tenga una muy fuerte razon teorica para su no existencia.
Regresion a traves del origen Y = 1 + 2 X+ u i ^ å xy 2 å x 2 ^ s Var ( 2 ) = åx 2 = ^ [ å (X- X)(Y- Y)] = å (X- X) å (Y- Y) o 2 R = 2 2 (å xy ) 2 åx åy 2 å XY å X 2 ( ) 2 R X+ u ^ s 2 ^ Var 2 = å X 2 ^2 u s^ 2 = å n-2 2 = 2 2 2 ^2 ^2 = å u s n -1 ? ? ? R = 2 å ( XY ) 2 å X 2 å Y 2 i
Ejemplo 1: Capital Asset Pricing Model (CAPM) para la accion i’s ( ER i Tasa esperada de rendimiento de la accion i - r f )= 2 ( ER Rendimiento de un activo libre de riesgo m f Tasa esperada de rendimiento de la cartera del mercado 2 Como medida del riesgo sistematico 2 >1 ==> una accion volatil o agresiva 2 <1 ==> una accion defensiva - r )
Ejemplo 1: (cont. ) Linea de mercado para la accion i ER i - r f 2 1 ERm - rf
Ejemplo 2: Paridad encubierta de los tipos de interes FN - e = f. N (i - i ) = e * Los diferenciales internacionales en las tasas de interes deben ser iguales a la prima del tipo de cambio (forward). i. e. , - e F (i - i ) = 2 ( ) e * Linea de la paridad encubierta de los tipos de interes 2 1
Ejemplo 2: (Cont. ) en la regresion: F -e (i - i ) = 1 + 2( ) + ui e * Si la teoria de la paridad encubierta es cierta, entonces 1=0
y: Rentabilidad del fondo A, % X: Rentabilidad de un indice del mercado, % Informe : ^ Y = 1. 0899 X (5. 689) N=10 R 2=0. 714 SCR=19. 54
H 0: 1 = 0 1. 279 - 0 7. 668 ^ Y = 1. 2797 + 1. 0691 X (0. 166) (4. 486) N=10 R 2=0. 715 SCR=20. 69 ¿Que muestra el valor del estadistico t sobre la significatividad de ?
Formas Funcionales de la Regresion El termino lineal en un modelo de regresion simple significa que es lineal en los parametros; pero en las variables de la regresion puede ser lineal o no.
Lineal vs. Nonlineal Ejemplos de Modelos Lineales Yi = 1 + 2 Xi + ui ln(Yi) = 1 + 2 Xi + ui Yi = 1 + 2 ln(Xi) + ui Yi = 1 + 2 X 2 i + ui Ejemplos de Modelos No-Lineales Yi = 1 + 3 2 X i + ui 3 Yi = 1 + 2 Xi + ui Yi = 1 + 2 Xi + exp( 3 Xi) + ui
Diferentes Formas Funcionales 1. Lineal 2. Log-Log 3. Semilog Lineal-Log Log-Lineal 4. Reciproca Presta Atencion a la pendiente y a la elasticidad de cada una de las formas
Formas Funcionales de los modelos de regresion 1. Modelo log-log : Y= 1 X - 2 e Este es un modelo no-lineal ui Tomando Logs lo convertimos en lineal : ln Y= ln 1 - 2 ln X+ ui ==> ln Y= 1 - 2 ln X+ ui ==> Y = 1 + 2 X + ui * * d. Y* d. X* * d. Y d ln Y = = Y d. X d ln X X * donde 2 = - 2 = 2* Coef de elasticidad
Cantidad Demandada Formas Funcionales de los modelos de regresion ln. Y Y Y = 1 X - 2 X precio ln Y= ln 1 - 2 ln. X
Formas Funcionales de los modelos de regresion 2. Modelo Semi log: Modelo Log-lineal o lineal-log: ln Yi = a 1 + a 2 X i + ui o Yi = 1 + 2 ln Xi + ui a 2 = y 2 = d. Y Cambio relativo en y d ln Y d. Y 1 = = Y = d. X Y Cambio absoluto en x Cambio absoluto en y Cambio relativo en x = d. Y = d. X d ln X X 1
Formas Funcionales de los modelos de regresion (cont) 3. Transformacion reciproca o inversa 1 Yi = 1 + 2 ( ) + ui Xi ==> Yi = 1 + 2 ( Xi ) + u i * donde Xi = * 1 Xi
Y Algunas caracteristicas del modelo reciproco Y = 1 + 2 1 0 Y 1 > 0 Y = 1 + 2 1 < 0 y X - - 1 2 > 0 X + 0 y 1 X 2 > 0
Y Algunas caracteristicas del modelo reciproco (Cont. ) 1 Y = 1 + 1 > 0 y 0 - 2 / 1 X 1 2 X 2 < 0
Ejemplo 1: Sea transformando Y = 1 + 2 X 2 + 3 X 2 + 4 X 2 X 3* = X 22 X 4* = X 2 X 3 queda Ejemplo 2: transformando queda Y = 1 + 2 X 2 + 3 X 3 + 4 X 4 * Y = 1 + X * 2 = * 2 X + 3 1 X + 3 Y = 1 + 2 X * 2 Sin embargo, X 2* no se puede calcular porque no se conoce.
Aplicaciones: 1. Funcion de Producion Cobbu 3 2 Douglas: = Y L K e 1 Transformando: ==> d ln Y = 2 d ln. L d ln Y = 3 d ln. K ln Y = ln 1 + 2 ln L + 3 ln K + u ln Y = 1 + 2 ln L + 3 ln K + u : elasticidad del output c. r al trabajo : elasticidad del output c. r al capital 2 + 3 => 1 Informacion sobre los rendimientos de escala <
2. modelo de regresion polinomial: Funcion de Costes Marginales o funcion de Costes Totales coste 2 = + + + u (Cm) i. e. Y 0 1 X 2 X MC y or coste TC y 2 3 = + + u (CT) Y 0 1 X 2 X 3 X
Pendiente Resumen d. Y (= ) d. X Del modelo lineal d. Y = 2 d. X Y = 1 + 2 X Log-log ln Y = 1 + 2 ln X d. Y d ln Y = 2 d ln X d. X X ==> d. Y Y = 2( ) d. X X Elasticidad d. Y (= Y ) d. X X X 2( ) Y 2
Pendiente Resumen(Cont. ) Log-lineal ln Y = 1 + 2 X d. Y d ln Y = 2 d. X d. Y = 2 Y d. X d. Y = Lineal-log Y = 1 + 2 ln X d. X = 2 X d. Y 1 = ==> 2 d. X X d. Y 1 = = 2 Reciproca Y = 1 + 2 1 1 d ( 2 ) d. X X Elasticidad 2 X ==> d. Y -1 = 2 d. X X 2 2 1 Y 2 ( -1 ) XY
Modelo Lineal ^ GNP = 100. 304 + 1. 5325 M 2 (1. 368) (39. 20)
Modelo Lin-log ^ = -1. 6329. 21 + 2584. 78 ln. M GNP 2 (-23. 44) (27. 48)
Modelo Log-lin ^ = 6. 8612 + 0. 00057 M ln. GNP 2 (100. 38) (15. 65)
Modelo Log-log ^ ln GNP = 0. 5529 + 0. 9882 ln M 2 (3. 194) (42. 29)
Modelo Lineal Wage(y) ^ wage=10. 343 -3. 808(unemploy) (4. 862) (-2. 66) 10. 43 RRM unemp. (x)
Modelo Reciproco 1 ^ Wage = -1. 4282+8. 7243 ( ) (-. 0690) (3. 063) u. N: tasa natural de desempleo y x u. N 1 ( ) x -1. 428 FRM
Modelo Log-log ^ lnwage = 1. 9038 - 1. 175 ln(unemploy) (10. 375) (-2. 618)
^ Lnwage = 1. 9038 + 1. 175 ln (10. 37) (2. 618) 1 ( ) X
Escala y unidades de medida Y = 1 + 2 X + ui 2 : pendiente de la recta de regresion D Y d. Y o D X d. X 2 = si entonces ==> Y* = 1000 Y X* = 1000 X ^ ^ ^ 1000 Y = 1000 1 + 1000 2 X + 1000 u i ^* ^ * * Y = 1 + 2 X + ^ u *
Cambios en la escala de X e Y Cambia el R 2? , cambian los estadisticos t ? , y los demas estadisticos? ? Yi = 1 + 2 Xi + ui Yi/k = ( 1/k)+ 2 Xi/k + ui/k * * + u* = + X i 1 2 i i Y* donde Y*i = Yi/k u*i = ui/k *1 = 1/k y X*i = Xi/k
Cambio de escala de x Los coef estimados y los errores estandar cambian, pero los demas estadisticos no cambian. Yi = 1 + 2 Xi + ui Yi = 1 + (k 2)(Xi/k) + ui Yi = 1 + * * +u X 2 i i donde * = 2 k 2 y X*i = Xi/k
Cambio de escala de Y Yi = 1 + 2 Xi + ui Yi/k = ( 1/k) + ( 2/k)Xi + ui/k Todos los estadisticos cambian excepto el t y el R 2. Y* * donde Y*i = Yi/k u*i = ui/k i = 1 + *1 = 1/k * *u X + 2 i i y *2 = 2/k
Ambos medidos en billones: GPD^IB = -37. 001 + 0. 1739 GNPB …B: Billon de $$ de 1972 (-0. 485) (3. 217)
Ambos medidos en millones: ^ GPDIM = -37001. 52 + 0. 1739 GNPM …M: Millones de $$ de 1972 (-0. 485) (3. 217)
GPD^IM = -37001. 52 + 173. 9491 GNPB (-0. 485) (3. 217)
GPD^IB = -37. 0015 + 0. 00017 GNPM (-0. 485) (3. 217)
Predicion con el modelo de regresion lineal: Por ejemplo: El gasto en consumo estimado para el periodo 1947 -1995 es ^ = Ct 238. 4 + 0. 87 Yt Los valores de Y 96 = 10, 419; Y 97 = 10, 625; … Y 99 =11, 286 ……. Las prediciones calculadas son: ^ = 238. 4 + 0. 87 (10, 149 ) = 9, 355 C 1996: 96 ^ = 238. 4 + 0. 87 (10, 625 ) = 9, 535. 50 C 1997: 97 1999: ^ = 238. 4 + 0. 87 (11, 286 ) = 10, 113. 70 C 99
Predicion con el modelo de regresion lineal bivariante Situate en el contexto de datos de series temporales: ^ Yt = ^1 + ^2 Xt Predicion para el periodo t+ t es ^ ^ ^ Yt +t = 1 + 2 Xt +t t Error de Predicion: xt +t : # de periodos en el futuro : es un valor observado o controlado de la variable en el futuro f ^ ^ = ut +t Yt +t - Yt +t
Comparaciones de prediciones Error Cuadratico Medio (ECM) Raiz cuadrada del ECM Error Porcentual Absoluto Medio (EPAM) ^ å (Y - Y ) = n-k 2 = ECM 2 ^ å (Y - Y ) = n-k EMAP = å( ^ - Y | |Y i i Yi n - k )
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