DIFERENCIALNE ENABE LINEARNE ENABE 2 REDA NEHOMOGENA ENABA

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA NEHOMOGENA ENAČBA 1. način rešitev iščemo v obliki in dobimo preprosto rešljiv sistem kjer je karakteristična enačba: rešitve kar. enačbe: rešitve homogene: partikularna rešitev: splošna rešitev: MATEMATIKA 2 1

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA 2. način Za nekatere pomembne primere desnih strani lahko na podlagi izkušenj uganemo obliko rešitve in računamo le neznane koeficiente. desna stran nastavek (ki so neznani koeficienti) f(x)=Pn(x) (polinom n-te stopnje) f(x)=eax Izjema: če je nastavek za y. P rešitev homogene enačbe, potem cel nastavek pomnožimo z x (oz. z x 2, če ima karakteristični polinom dvojno ničlo). Superpozicija: če je desna stran vsota izrazov iz levega stolpca tabele, potem tudi za nastavek vzamemo ustrezno vsoto. MATEMATIKA 2 2

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA (ker sta ex in xex rešitvi homogene enačbe) MATEMATIKA 2 3

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA REŠEVANJE LDE 2. REDA S KONSTANTNIMI KOEFICIENTI 1. Rešimo karakteristično enačbo 2. Na podlagi rešitev določimo bazične rešitve homogene enačbe par realnih ničel r 1, r 2 dvojna ničla r par kompleksnih ničel α+iβ, α+iβ 3. Nehomogeno enačbo rešimo z nastavkom Izjema: če je nastavek za y. P rešitev homogene enačbe, potem cel nastavek pomnožimo z x ali z x 2. 4. Splošna rešitev je y=y. P+c 1 y 1+c 2 y 2. MATEMATIKA 2 4

DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA y 0 y y-y 0 y=y(t) odmik od ravnovesne lege y’(t) hitrost y’’(t) pospešek mg=ky 0 ravnovesna lega obremenjene vzmeti my’’ =mg-ky sile, ki delujejo na utež nehomogena LDE 2. reda MATEMATIKA 2 homogena LDE za odmik od ravnovesne lege 5

DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA Utež z maso m obesimo na vzmet in izmaknemo za L iz ravnovesne lege. Kako bo zanihala? (privzamemo veljavnost Hookovega zakona, zanemarimo upor in maso vzmeti) enačba prostega nihanja (isto enačbo dobimo, če pri običajnem nihalu in pri majhnih kotih nadomestimo sin x z x) § periodično nihanje z amplitudo L in frekvenco harmonično nihanje MATEMATIKA 2 § frekvenca je odvisna le od mase uteži in trdote vzmeti, ni pa odvisna od amplitude 6

DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA DUŠENO NIHANJE Sila dušenja je sorazmerna hitrosti (če hitrost ni prevelika) in ima nasprotno smer. koeficient dušenja enačba dušenega nihanja karakteristična enačba: rešitve karakteristične enačbe: MATEMATIKA 2 7

DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA Če je koeficient dušenja dovolj majhen, vtež niha z amplitudo, ki eksponentno vpada s časom. Frekvenca nihanja je konstantna in je nekoliko manjša od frekvence nedušenega nihanja. MATEMATIKA 2 8

DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA Pri velikem koeficientu dušenja se vtež bodisi preprosto vrne v ravnovesno lego in v njej obmiruje ali pa enkrat zaniha in potem obmiruje v ravnovesni legi. V mejnem primeru se zgodi podobno kot v primeru velikega koeficienta dušenja. MATEMATIKA 2 9

DIFERENCIALNE ENAČBE NIHANJA VSILJENO NIHANJE zunanja sila, ki deluje na vzmet lastna frekvenca prostega nihanja Splošna rešitev: Posebno rešitev dobimo z: - nastavkom - variacijo konstant - integralsko formulo f(t) - rešitev začetnega problema y(0)=y’(0)=0 - primerna tudi za odsekoma zvezne desne strani MATEMATIKA 2 10