DIFERENCIALNE ENABE LINEARNE ENABE 2 REDA LINEARNE DIFERENCIALNE

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA LINEARNE DIFERENCIALNE ENAČBE 2. REDA Iz rezultatov o rešljivosti diferencialnih enačb sledi, da je ničelna množica dvodimenzionalna. Elementi ničelne množice so oblike y. H=c 1 y 1+c 2 y 2 , kjer sta y 1 in y 2 linearno neodvisni rešitvi homogene enačbe. 3. Splošna rešitev enačbe je oblike y=y. P+c 1 y 1+c 2 y 2. Glavna težava pri LDE 2. reda je, v splošnem ni mogoče rešiti homogene enačbe. MATEMATIKA 2 1

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA Dovolj je, če poznamo eno rešitev homogene enačbe: potem lahko izračunamo še eno neodvisno rešitev homogene enačbe ter partikularno rešitev nehomogene enačbe. =0 (A(x) primitivna funkcija za a(x)) MATEMATIKA 2 2

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA =0 MATEMATIKA 2 =0 3

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA REŠEVANJE LDE 2. REDA 1. Poiščemo vsaj eno rešitev homogene enačbe 2. Druga rešitev homogene enačbe je dana z 3. Partikularno rešitev dobimo v obliki kjer sta v, w določena z MATEMATIKA 2 4

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA LDE 2. REDA S KONSTANTNIMI KOEFICIENTI Ø preprosto rešljiva homogena enačba Ø lažje računanje posebne rešitve HOMOGENA ENAČBA Primeri uporabe: § nihanja § električna vezja § modeliranje metabolizma. . . . Poskusimo z nastavkom: y=erx (po zgledu z LDE 1. reda) par realnih ničel dvojna realna ničla par konjugiranih kompleksnih ničel MATEMATIKA 2 5

DIFERENCIALNE ENAČBE LINEARNE ENAČBE 2. REDA 1. primer: par realnih ničel r 1, r 2: splošna rešitev: 2. primer: dvojna realna ničla r splošna rešitev: 3. primer: par konjugirano kompleksnih ničel: α+iβ, α-iβ potrebujemo rešitve, ki so realne funkcije splošna rešitev MATEMATIKA 2 6

DIFERENCIALNE ENAČBE Diferencialna enačba MATEMATIKA 2 LINEARNE ENAČBE 2. REDA Karakteristična enačba Ničle Splošna rešitev 7