Die Zweiphasenmethode Marc Schwrzli SS 2011 Die Zweiphasenmethode

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Die Zweiphasenmethode Marc Schwärzli SS 2011

Die Zweiphasenmethode Marc Schwärzli SS 2011

Die Zweiphasenmethode • Gegeben sei folgende LO-Aufgabe mit negativer rechter Seite: • Umformen der

Die Zweiphasenmethode • Gegeben sei folgende LO-Aufgabe mit negativer rechter Seite: • Umformen der Bedingung zur Lösung! • III Z = 2 X 1 + X 2 +2 X 3 max 2 X 1 - X 2 4 Negative rechte Seite X 2 + 2 X 3 15 X 1 + X 3 = 8 X 1 , X 2 , X 3 0

Die Zweiphasenmethode • Durch Multiplikation mit -1 wäre die negative rechte Seite erkennbar: •

Die Zweiphasenmethode • Durch Multiplikation mit -1 wäre die negative rechte Seite erkennbar: • III Z = 2 X 1 + X 2 +2 X 3 max -2 X 1 + X 2 -4 X 2 + 2 X 3 15 X 1 + X 3 = 8 X 1 , X 2 , X 3 0 Negative rechte Seite

Die Zweiphasenmethode • Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen S: •

Die Zweiphasenmethode • Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen S: • III Z = 2 X 1 + X 2 +2 X 3 + 0 S 1 + 0 S 2 max 2 X 1 - X 2 -S 1 = 4 X 2 + 2 X 3 +S 2 = 15 X 1 + X 3 = 8 X 1 , X 2 , X 3 , S 1 , S 2 0

Die Zweiphasenmethode • Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung

Die Zweiphasenmethode • Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten plus Eins besitzt (nur S 2 erfüllt dies): • I Z = 2 X 1 + X 2 +2 X 3 + 0 S 1 + 0 S 2 max • II 2 X 1 - X 2 -S 1 = 4 Koeffizient -1 X 2 + 2 X 3 +S 2 = 15 X 1 + X 3 = 8 Kein S 3 • III X 1 , X 2 , X 3 , S 1 , S 2 0

Die Zweiphasenmethode • Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen

Die Zweiphasenmethode • Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k: • III 2 X 1 - X 2 -S 1 +k 1 X 2 + 2 X 3 +S 2 X 1 + X 3 +k 2 X 1 , X 2 , X 3 , S 1 , S 2 0 = 4 = 15 = 8

Die Zweiphasenmethode Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine

Die Zweiphasenmethode Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt. Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV). • III 2 X 1 - X 2 -S 1 +k 1 X 2 + 2 X 3 +S 2 X 1 + X 3 +k 2 X 1 , X 2 , X 3 , S 1 , S 2 0 = 4 = 15 = 8

Die Zweiphasenmethode • So stellt das Gleichungssystem ein äquivalentes Gleichungssystem kanonischer Form dar, deren

Die Zweiphasenmethode • So stellt das Gleichungssystem ein äquivalentes Gleichungssystem kanonischer Form dar, deren künstliche Nichtbasisvariablen k den Wert Null aufweisen. • Damit dem so ist, sollten die künstlichen Variable möglichst nahe bei Null sein. • Einführung einer neuen Zielfunktion (minimiere K): Z = k 1 + k 2 min entspricht: `Z = -Z=-k 1 -k 2 max

Die Zweiphasenmethode • Die erste Phase der Hilfsaufgabe dient dazu eine kanonische Form und

Die Zweiphasenmethode • Die erste Phase der Hilfsaufgabe dient dazu eine kanonische Form und eine erste Basislösung zu gewinnen. • I `Z = - k 1 – k 2 max • II 2 X 1 - X 2 • III -S 1 +k 1 X 2 + 2 X 3 X 1 + X 3 X 1 , X 2 , X 3 , S 1 , S 2 0 +S 2 +k 2 = 4 = 15 = 8

Die Zweiphasenmethode • Elimination der Basisvariablen (k) aus der Zielfunktion durch Addition der Gleichungen

Die Zweiphasenmethode • Elimination der Basisvariablen (k) aus der Zielfunktion durch Addition der Gleichungen in II zur Zielfunktion, die ein k beinhalten: • III `Z = 2 X 1 - X 2 -S 1 X 2 + 2 X 3 X 1 + X 3 X 1 , X 2 , X 3 , S 1 , S 2 0 - k 1 – k 2 max +k 1 = 4 +S 2 = 15 +k 2 = 8

Die Zweiphasenmethode • Nebenrechnung in einer Tabelle: Zeile 1 (Z‘) + Zeile 3 +

Die Zweiphasenmethode • Nebenrechnung in einer Tabelle: Zeile 1 (Z‘) + Zeile 3 + Zeile 5 ergibt die neue Zielfunktion Z. X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 k 1 k 2 r. S. `Z 0 0 0 -1 -1 0 Z 2+1+0= 3 0 -1+0= -1 1+0+0= 1 0 -1+0= -1 0+0+0= 0 0+11=0 1+01=0 8+4+0= 12 2 -1 0 1 0 4 0 1 2 0 1 0 0 15 1 0 0 0 1 8 Quot. + 2 + 8 +

Die Zweiphasenmethode • Zur besseren Übersicht sind im ersten Simplextableu zwei Zielfunktionen abgebildet. •

Die Zweiphasenmethode • Zur besseren Übersicht sind im ersten Simplextableu zwei Zielfunktionen abgebildet. • Die untere Zielfunktionszeile stellt das Ergebnis der Addition dar. X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 k 1 k 2 r. S. Quot. `Z 0 0 0 -1 -1 0 Z 3 -1 1 -1 0 0 0 12 2 -1 0 1 0 4 0 1 2 0 1 0 0 15 1 0 0 0 1 8 + 2 + 8 +

Lösen des Simplextableaus in der ersten Phase um eine erste zulässige Basislösung zu gewinnen.

Lösen des Simplextableaus in der ersten Phase um eine erste zulässige Basislösung zu gewinnen. Achtung S 1 ist keine Basisvariable. X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 k 1 k 2 r. S. Quot. Z 3 -1 1 -1 0 0 0 12 k 1 2 -1 0 1 0 4 S 2 0 1 0 0 15 k 2 1 0 0 0 1 8 2 8 Ordnen der Basisvarialen: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1 S 2 k 2 r. S. Quot. Z 3 -1 1 -1 0 0 0 12 k 1 2 -1 0 -1 1 0 0 4 S 2 0 1 2 0 0 15 k 2 1 0 0 0 1 8 2 8

Bestimmen einer neuen Basisvariablen: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1

Bestimmen einer neuen Basisvariablen: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1 S 2 k 2 r. S. Quot. Z 3 -1 1 -1 0 0 0 12 k 1 2 -1 0 -1 1 0 0 4 S 2 0 1 2 0 0 15 k 2 1 0 0 0 1 8 2 8 X 1 wird neue Basisvariable dann folgt die Umrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement: X 1 X 2 Z 0 X 1 1 S 2 0 k 2 0 -0, 5 X 3 S 1 0 k 1 -0, 5 S 2 0, 5 k 2 0 r. S. 0 Quot. 2

Ausfüllen der restlichen Werte: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1

Ausfüllen der restlichen Werte: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1 S 2 k 2 r. S. Quot. Z 3 -1 1 -1 0 0 0 12 k 1 2 -1 0 -1 1 0 0 4 S 2 0 1 2 0 0 15 k 2 1 0 0 0 1 8 2 8 Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement): X 1 X 2 X 3 S 1 k 1 S 2 k 2 r. S. Quot. Z 0 0, 5 1 0, 5 -1, 5 0 0 6 X 1 1 -0, 5 0 0 2 S 2 0 1 2 0 0 15 k 2 0 0, 5 1 0, 5 -0, 5 0 1 6

2. Iteration: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1 S 2

2. Iteration: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1 S 2 k 2 r. S. Quot. Z 0 0, 5 1 0, 5 -1, 5 0 0 6 X 1 1 -0, 5 0 0 2 - S 2 0 1 2 0 0 15 7, 5 k 2 0 0, 5 1 0, 5 -0, 5 0 1 6 6 Bestimmen einer neuen Basisvariablen: X 1 X 2 X 3 S 1 Z 0 X 1 0 S 2 0 X 3 1 k 1 S 2 k 2 r. S. Quot.

2. Iteration: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1 S 2

2. Iteration: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1 S 2 k 2 r. S. Quot. Z 0 0, 5 1 0, 5 -1, 5 0 0 6 X 1 1 -0, 5 0 0 2 - S 2 0 1 2 0 0 15 7, 5 k 2 0 0, 5 1 0, 5 -0, 5 0 1 6 6 Bestimmen der restliche Werte: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1 S 2 k 2 r. S. Quot. Z 0 0 -1 0 X 1 1 -0, 5 0 0 2 S 2 0 0 0 -1 1 1 -2 3 X 3 0 0, 5 1 0, 5 -0, 5 0 1 6

Durch Weglassen der Spalten mit den künstlichen Variablen, kommt man zu einem Gleichungssystem von

Durch Weglassen der Spalten mit den künstlichen Variablen, kommt man zu einem Gleichungssystem von kanonischer Form: X 1 X 2 X 3 S 1 k 1 S 2 k 2 r. S. Quot. Z 0 0 -1 0 X 1 1 -0, 5 0 0 2 S 2 0 0 0 -1 1 1 -2 3 X 3 0 0, 5 1 0, 5 -0, 5 0 1 6 Basisvariablen:

Die Zweiphasenmethode • Aufbauend auf dieses Gleichungssystem, wird nun die ursprüngliche Aufgabe gelöst: •

Die Zweiphasenmethode • Aufbauend auf dieses Gleichungssystem, wird nun die ursprüngliche Aufgabe gelöst: • Die ursprüngliche Zielfunktion Z = 2 X 1 + X 2 + 2 X 3 soll nur durch die Nichtbasisvariablen ausgedrückt werden. (in diesem Fall X 2)

Die Zweiphasenmethode • Elimination der Basisvariablen X 1 und X 3 aus der Zielfunktion:

Die Zweiphasenmethode • Elimination der Basisvariablen X 1 und X 3 aus der Zielfunktion:

Nebenrechnung: Subtraktion des 2 -fachen der 1. wie der 3. Zeile von der Zielzeile:

Nebenrechnung: Subtraktion des 2 -fachen der 1. wie der 3. Zeile von der Zielzeile: 2 x 2 x Nebenrechnung Neue Zielzeile: X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 Z 2 1 2 0 0 0 - 2 -1 -1 0 4 - 0 1 2 1 0 12 0 1 0 0 0 -16

Neues Starttableau: X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 r. S.

Neues Starttableau: X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 r. S. Quot. Z 0 1 0 0 0 -16 X 1 1 -0, 5 0 2 S 2 0 0 0 -1 1 3 X 3 0 0, 5 1 0, 5 0 6 Ordnen nach Basisvarialen: X 2 S 1 X 1 S 2 X 3 r. S. Quot. Z 1 0 0 -16 X 1 -0, 5 1 0 0 2 - S 2 0 -1 0 3 - X 3 0, 5 0 0 1 6 12

Neues Starttableau: Bestimmen des Pivotelements: X 2 S 1 X 1 S 2 X

Neues Starttableau: Bestimmen des Pivotelements: X 2 S 1 X 1 S 2 X 3 r. S. Quot. Z 1 0 0 -16 X 1 -0, 5 1 0 0 2 - S 2 0 -1 0 3 - X 3 0, 5 0 0 1 6 12 Ergebnistableau mit Z = 28, X 1 = 8, X 2 = 12, S 2 = 3: X 2 S 1 X 1 S 2 X 3 Z 0 -1 0 0 -2 X 1 0 8 S 2 0 3 X 2 1 1 0 0 2 r. S. Quot. -28 12

Beispiel Übungsklausur:

Beispiel Übungsklausur: