DIE HLLKURVE Beispiel aus dem Alltag Beim Transportieren

DIE HÜLLKURVE • Beispiel aus dem Alltag: • Beim Transportieren von Möbeln muss man zunächst überprüfen, ob sich die Einrichtungsgegenstände auch um die Ecke bewegen lassen.

Berechnung einer Hüllkurve am Beispiel der Kurvenschar ga(x) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

I. Ordinatenbestimmung • Zur Ordinatenbestimmung stellen wir uns an eine Stelle x der x-Achse • An dieser Stelle betrachten wir alle Punkte Pa der Scharkurve, die direkt über oder unter uns liegen. Pa (x ; 1/a · e – ½ x² + ax ) • Der Bereich in dem die Ordinaten liegen = Wertemenge der Funktion hx(a) = 1/a ∙ e – ½ x² + ax

II. Wertemenge der Hüllkurve • Wir suchen nun den Wert für a für den die Funktion hx(a) Extrempunkte besitzt: hx(a) = 1/a · e – ½ x² + ax hx ‘(a) = - 1/a² · e – ½ x² + ax + 1/a · x · e – ½ x² + ax hx ‘(a) = (- 1/a² + x/a) · e – ½ x² + ax • Extremwertbestimmung: Wir suchen den Wert für a für den hx‘(a) = 0 0 = (- 1/a² + x/a) · e – ½ x² + ax da die e-Funktion keine NS hat: 0 = (-1/a² + x/a) a = 1/x

• Ordinaten der Extrempunkte: hx(1/x) = x ∙ e – ½ x² + 1

Die Extrempunkte der Funktion hx(a) besitzen alle die Koordinaten Ex(1/x ; x · e – ½ x² +1) E 0, 2 (5 ; 0, 53) E 0, 5 (2 ; 1, 2 ) E 1 (1 ; 1, 65) Für x > 0 Vorzeichenwechsel von -1 nach +1 Minima

Für x < 0 z. B. Vorzeichenwechsel von +1 nach -1 E -2 (-0, 5 ; - 0, 75) E-1 (-1; - 1, 7) Maxima

Zusammenfassung: • Für a = 1/x besitzt die Wertemenge der Funktion Extrempunkte • Alle Extrempunkte besitzen die Koordinaten: Ex(1/x ; x · e – ½ x² +1) Alle Punkte der Hüllkurve liegen auf dem Graf der Funktion y = x · e – ½ x² +1

• Die Ortslinie waagrechter Tangenten von ga(x) stellt die Hüllkurve der Funktion hx(a) dar.

• Um nun die Wertemenge der Funktion hx(a) zu bestimmen müssen wir einige Grenzwerte berechnen • Fallunterscheidung: x>0 Minima im Bereich a > 0 lim 1/a e – ½ x² +ax = +∞ a 0+ Erster Teil der Wertemenge: [x e – ½ x²+1 ; +∞[ a < 0 hx‘(a) < 0 lim hx(a) = lim 1/a e – ½ x² +ax = 0 a -∞ Zweiter Teil der Wertemenge: ]- ∞ ; 0[

Wertemenge für positive Parameter x: Für x > 0 Whx = ] -∞ ; 0[ U [x e - ½ x²+1; +∞[

x<0 Maxima im Bereich a < 0 lim 1/a e a 0 - – ½ x² +ax = -∞ Erster Teil der Wertemenge: ]-∞ ; x e – ½ x² +1] a>0 lim 1/a e – ½ x² +ax = +∞ a 0+ lim a +∞ 1/a e – ½ x² +ax = 0 Zweiter Teil der Wertemenge: ]0; + ∞[