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Die Flächen

Präsentation zu Flächen • Lest euch die Präsentation durch und beantwortet die Fragen auf den grünen Folien

Inhaltsverzeichnis • • • • Was sind Flächen? Welche Flächen gibt es? Die Flächen mit Eigenschaften und Berechnungen Arten von Dreiecken Der Satz des Pythagoras Trigonometrie Grundkonstruktionen Flächen haben Winkel! Besondere Linien im Dreieck Besondere Linien im Kreis Die Kongruenzsätze für Dreiecke Zentrische Streckung und Ähnlichkeit Quellen

Was sind Flächen? Flächen werden auch als geometrische oder ebene Figuren bezeichnet. Leider gibt es für den Begriff "geometrische/ebene Figur" keine einheitliche Definition. Wir beschränken uns bei der folgenden Betrachtung auf die geometrischen Figuren in der Ebene, d. h. im zweidimensionalen Raum. ²

Welche Flächen gibt es? Regelmäßige Vielecke (n-Ecke) • Regelmäßiges Fünfeck • Regelmäßiges Sechseck • …. Vierecke • Quadrat • Rechteck • Rhombus (Raute) • Trapez • Parallelogramm • Drachenviereck Kreise & Kreisteile • Kreisbogen • Kreisausschnitt (Kreissektor) • Kreisring Dreiecke • Spitzwinkliges Dreieck • Rechtwinkliges Dreieck • Stumpfwinkliges Dreieck • Gleichseitiges Dreieck • Unregelmäßiges Dreieck • Gleichschenkliges Dreieck

Fragen zur Folie Flächenarten • Welche Flächenarten gibt es? 1. . 2. . 3. . 4. Kreisflächen

Das Quadrat Eigenschaften: • • • Berechnungen: u = 4*a Ist ein Viereck A = a² Vier gleich lange Seiten e²= 2*a² Vier Ecken Vier gleiche rechte Winkel (90°) Vier Symmetrieachsen Die gegenüberliegenden Seiten sind Parallel Diagonalen e und f sind zueinander senkrecht und gleich lang Diagonalen e und f halbieren die Innenwinkel Hat einen Inkreis; Radius: hälfte von Seite a Hat einen Umkreis; Radius: halbe Diagonale Innenwinkelsumme: 360° . a e. e=f a . a f a .

• Das Quadrat 1. Nenne Eigenschaften des Quadrates 2. Wie viele Symmetrieachsen hat ein Quadrat

Das Rechteck Eigenschaften: • • • Ist ein Viereck Vier Seiten Vier Ecken Innenwinkel gleich groß (90°) Diagonalen e und f sind gleich lang Die gegenüber-liegenden Seiten sind gleich lang und parallel Keinen Inkreis Hat einen Umkreis; Radius: halbe Diagonale Innenwinkelsumme: 360° Zwei Symmetrieachsen e=f a. . b e b f. . a

Das Rhombus (Raute) Eigenschaften: • • • Ist ein Viereck Vier gleichlange Seiten Vier Ecken Gegenüberliegende Innenwinkel gleich groß Diagonalen e und f sind senkrecht Diagonalen e und f halbieren die Innenwinkelsumme: 360° Hat einen Innenkreis Hat einen Umkreis Vier Symmetrieachsen a a f. a e a

Das Trapez Eigenschaften: • • Ist ein Viereck Vier Seiten Vier Ecken Innenwinkelsumme: 360° Mindestens zwei Seiten sind parallel zueinander (das sind die Grundseiten, die anderen beiden sind die Schenkel) Kein Umkreis Kein Inkreis Eine Symmetrieachse c m d b h. a

Trapez 1. Zu welcher Flächenart gehört das Trapez? 2. Wie viele parallele Seiten hat das Trapez? 3. Suche im Tafelwerk die Flächenformel für das Trapez! 4. Was bedeuten die einzelnen Teile in der Formel? Ø m= Ø h=

Das Parallelogramm Eigenschaften: • • • Ist ein Viereck Vier Ecken Vier Seiten Die gegenüber-liegenden Seiten sind zueinander parallel und gleich lang Die gegenüber-liegenden Winkel sind gleich groß Diagonalen e und f halbieren sich einander Innenwinkelsumme: 360° Kein Umkreis Kein Inkreis Keine Symmetrieachse a f b b e . a

Das Drachenviereck Eigenschaften: • • • Ist ein Viereck Vier Ecken Vier Seiten Die Diagonalen sind zueinander senkrecht Mindestens zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß Kein Umkreis Kein Inkreis Immer zwei Seiten sind gleich lang Innenwinkelsumme: 360° Eine Symmetrieachse b b e. f a a

1. Rhombus 1. Wie viele Symmetrieachsen hat ein Rhombus?

Das regelmäßige Fünfeck (Pentagon) Eigenschaften: • • • Ist ein Vieleck Fünf Seiten Fünf Ecken Fünf gleich große Winkel Hat einen Umkreis Hat einen Inkreis Innenwinkelsumme: 540° Fünf Symmetrieachsen Jeder Winkel 108° Lässt sich in fünf zueinander kongruente gleichschenklige Dreiecke zerlegen a a a

Das regelmäßige Sechseck (Hexagon) Eigenschaften: • Ist ein Vieleck • Hat Sechs Ecken • Hat Sechs gleich lange Seiten • Sechs Symmetrieachsen • Hat einen Umkreis • Hat einen Inkreis • Innenwinkelsumme: 720° • Jeder Winkel 120° • Lässt sich in sechs zueinander kongruente gleichseitige Dreiecke zerlegen a a a

Der Kreis Eigenschaften: 360° Keine Ecken Keine Seiten Durchmesser = das doppelte vom Radius • Unendlich viel Symmetrieachsen • punkt- und drehsymmetrisch • • r d M

Der Kreis 1. Welcher Zusammenhang besteht zwischen r und d im Kreis? 2. Wieviel Grad bedeckt ein • Halbkreis • Viertelkreis • Achtelkreis?

Der Kreisbogen Jedem Zentriwinkel ist ein Kreisbogen zugeordnet. r x M b

Der Kreisausschnitt (Kreissektor) Jedem Zentriwinkel ist ein Kreisausschnitt zugeordnet. r x M b

Der Kreisring Fläche zwischen zwei Kreisen mit gemeinsamem Mittelpunkt. a = Ringbreite Mx a

Das Dreieck Eigenschaften: Drei Seiten Drei Ecken Drei Winkel Innenwinkelsumme = 180° • Der kleinsten Seite liegt immer der kleinste Winkel gegenüber C • • b A a . c B

Das rechtwinklige Dreieck Eigenschaften: a= lan ge K ath ku rze Ka the te . h b= • Ein rechter Winkel (wird mit einem Punkt gekennzeichnet) • Innenwinkelsumme = 180° • Drei Seiten • Drei Ecken • Drei Winkel • Zwei Spitze Winkel • Gegenüber vom rechten Winkel = Hypotenuse (längste Seite) • Die Seiten neben dem Rechten Winkel = Katheten (werden unterschieden mit kurzer und langer Kathete) C q A . c = Hypotenuse ete p B

Das gleichseitige Dreieck Eigenschaften: C Drei gleich lange Seiten Drei Ecken Drei gleich große Winkel Alle Winkel sind 60° Innenwinkelsumme = 180° Höhen, Seitenhalbierende und Winkelhalbierende sind gleich • Umkreis und Inkreis haben den gleichen Mittelpunkt • Hat einen Umkreis und einen Inkreis 60° • • • a a h A 60° a B

Inkreis und Umkreis 1. Welche „besondere Linie“ Øergibt den Mittelpunkt für den Inkreis ØUmkreis v. Informiere dich dazu im Tafelwerk

Arten von Dreiecken

Der Satz des Pythagoras wird dazu benutzt, die dritte Länge eines Dreiecks zu berechnen. Weiß man also zum Beispiel die Länge von a und b, kann man die Länge von c damit berechnen.

Satz des Pythagoras • Formuliere den Satz des Pythagoras mit Worten

Trigonometrie Die Trigonometrie kann nur bei einem rechtwinkligem Dreieck angewendet werden. Hat man ein gleichseitiges oder gleichschenkliges Dreieck, dann trägt man einfach die Höhe ein und schon sind wieder zwei rechte Winkel vorhanden. Hier kann man dann wieder die Trigonometrie anwenden. Auch bei anderen Flächen, wie das Quadrat oder Rechteck, kann die Trigonometrie Verwendung finden. Es muss nur ein rechter Winkel vorhanden sein! I. II. c a b III. IV.

Grundkonstruktionen • • Senkrechte zu einer Geraden g (in einem Punkt M der geraden) Punkte der Senkrechten haben von zwei Punkten X und Y der Geraden, die vom Punkt M gleich weit entfernt sind, gleichen Abstand. • Lot auf einer Geraden ( Senkrechte zu einer Geraden g durch einen Punkt P außerhalb der Geraden) Punkte des Lots haben von zwei Punkten A und B, die vom Punkt M gleich weit entfernt sind, gleichen Abstand. M

Flächen haben Winkel! Ja, Flächen haben Winkel. Hätten sie diese nicht, könnte man sie gar nicht konstruieren bzw. gäbe es gar keine Flächen. Es gibt insgesamt sieben Winkelarten: ØNullwinkel: eine Strecke also 0° ØSpitzer Winkel: 1°- 89° ØRechter Winkel: 90° ØStumpfer Winkel: 91°- 179° ØGestreckter Winkel: 180° ØÜberstumpfer Winkel: 181°- 359° ØVollwinkel: ein Kreis also 360°

Besonders bei Dreiecken sind die Winkel wichtig! Aber nicht nur dort. Auch Geraden die sich schneiden erzeugen Winkel! Scheitelwinkel: Wechselwinkel: Nebenwinkel: Komplementwinkel: Stufenwinkel: Supplementwinkel:

Besondere Linien im Dreieck Höhen… …schneiden einander im Höhenschnittpunkt H. Winkelhalbierende… …schneiden einander im Inkreismittelpunkt W. Seitenhalbierende… …schneiden einander im Schwerpunkt S. Mittelsenkrechte… …schneiden einander im Umkreismittelpunkt M.

Besondere Linien im Kreis • Sekante: schneidet den Kreis in zwei Punkten • Tangente: berührt Kreis in einem Punkt te gen n a T • Radius: Strecke zwischen Mittelpunkt M und Kreislinienpunkt rc hm • Durchmesser: Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises Du • Sehne: Strecke zwischen zwei Punkten des Kreises es se r • Passante: berührt den Kreis nicht Sehne M Radius te an Sek te P an ass

Die Kongruenzsätze für Dreiecke • sss= Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in drei Seiten übereinstimmen. • sws= Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. • wsw= Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen. • Ss. W= Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Seiten und in dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

Quellen • Duden, Formeln und Werte bis Klasse 10 • ²: https: //www. mathebibel. de/geometrische-figuren • ³: https: //vierecke. wordpress. com