Die Barometrische Hhenformel Druck in einer GasSule die
Die „Barometrische Höhenformel“ Druck in einer Gas-Säule, die ich in einem Gravitationsfeld befindet
Inhalt • Zusammenhang zwischen Dichte und Druck in Gasen • Gase im Gravitationsfeld: Schweredruck und Auftrieb • Abnehmender Schweredruck bei zunehmender Höhe – bei kleiner Zunahme der Höhe – bei beliebig großer Zunahme der Höhe • Druck als Funktion der Höhe: Die „Barometrische Höhenformel“
Zur „Barometrischen Höhenformel“ p(h) Δh h ρ(h) p(h)+Δp Gas-Säule im Schwerefeld, die Dichte in der Höhe h sei ρ(h)
Druckabnahme mit zunehmender Höhe Einheit 1 N/m 2 Druckabnahme einer Luftsäule beim Übergang von der Höhe h zu h+Δh • Man sucht eine Gleichung für die Dichte in Abhängigkeit vom Druck, ρ(p), und findet sie bei Nutzung des Boyle-Mariottschen Gesetzes
Druck und Dichte im Gas Einheit 1 Nm „Boyle-Mariottesches“ Gesetz für Druck und Volumen bei konstanter Temperatur (m/s)2 Division durch die Masse und Dichte ρ eingeführt 1 1 kg/m 3 Die Dichte von Gasen steigt linear mit dem Druck
Druckabnahme mit zunehmender Höhe Einheit 1 N/m 2 1 Druckabnahme einer Luftsäule beim Übergang von der Höhe h zu h+Δh Die vom Druck abhängige Dichte ρ(p) eingesetzt Differentialgleichung für den Druck als Funktion von der Höhe, p(h)
Integration führt zur „Barometrischen Höhenformel“ Einheit 1 Differentialgleichung für den Druck als Funktion von der Höhe, p(h) 1 Integration und Umformung 1 Die letzte Gleichung als Exponent der e-Funktion gesetzt
Die „Barometrische Höhenformel“ Einheit 1 N/m 2 Barometrische Höhenformel kg/m 3 Dichte der Luft bei 00 C in Höhe des Meeresspiegels po = 101. 325 1 Pa Luftdruck bei 00 C in Höhe des Meeresspiegels (h=0 m) g = 9, 81 1 m/s 2 ρo = 1, 2928 1 Fallbeschleunigung 0°C = 273, 15 K und 101. 325 Pa bezeichnet man als „Normalbedingungen“ englisch: STP Standard Temperature and Pressure
Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe über dem Meeresspiegel
Vergleich des Auftriebs in Gasen und Flüssigkeiten • Wegen der hohen Komprimierbarkeit der Gase nimmt die Dichte mit zunehmender Höhe ab – Folge: Der Auftrieb wird bei zunehmender Höhe schwächer (Man denke an den Anblick in unterschiedlicher Höhe fahrender Ballons) • Erinnerung: In Flüssigkeiten ist die Dichte, wegen der geringen Komprimierbarkeit, praktisch unabhängig von der Höhe – Folge: Der Auftrieb ist von der Höhe unabhängig, was schwimmt, steigt an die Oberfläche, was nicht oben schwimmt oder schwebt, sinkt bis zum Grund
Versuch: Druckabnahme mit zunehmender Höhe • Messung der Abnahme des Luftdrucks in 5 m Höhe im Hörsaal: – ein Glasgefäß mit Manometer wird in 5 m Höhe belüftet – dort wird das Gefäß - mit ausgeglichenem Manometer, einem Wasser gefüllten U-Rohr geschlossen – wieder am Boden zeigt das Manometer einen Unterdruck im Gefäß von 6, 5 mm Wassersäule
Zusammenfassung • In Gasen ist die Dichte proportional zum Druck – im Gegensatz zur konstanten Dichte in Flüssigkeiten • Gase im Gravitationsfeld: Abnehmender Schweredruck bei zunehmender Höhe – bei kleiner Zunahme der Höhe analog zur Druckabnahme in Flüssigkeiten – bei größerer Zunahme der Höhe wirkt sich die mit dem Druck abnehmende Dichte aus • Folge: Mit der Höhe exponentiell abnehmender Druck gemäß der „Barometrischen Höhenformel“
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