DIAMO I NUMERI CON EULERO Renato Betti Politecnico
DIAMO I NUMERI CON EULERO Renato Betti Politecnico di Milano “L’amore degli uomini per i numeri forse è più antico della teoria dei numeri”. (A. Weyl) Pristem & Polymath Scuola di Idro 13 settembre 2008
1) Contenuto = Numeri Il termine “teoria dei numeri” fa la prima comparsa in E 279 (De resolutione formularum quadricarum indeterminarum per numeros integros), pubblicato nel 1764. 2) Metodo = Tensione al risultato / rigore 3) La matematica che serve? E quanti soldi occorre pagare per liberarsi da chi vuole imparare solo la matematica che serve? 4) Matematica di Euclide Matematica dell'abaco 5) Continuità e generalità La costruzione di una rete di proprietà
Eulero e la matematica che serve Dal piccolo teorema di Fermat (1640) al teorema di Eulero-Fermat (E 271, Theoremata arithmetica nova metodo demonstrata, 1758). Piccolo teorema di Fermat: Fermat studiava i numeri perfetti attraverso i numeri primi della forma 2 m -1 (primi di Mersenne) e le proprietà dei coefficienti binomiali
Numeri perfetti “Proprietà magiche o mistiche dei numeri ricorrono in molte culture. In qualche modo, nell’antica Grecia, o anche prima, l’idea di perfezione fu associata a quegli interi che sono uguali alla somma dei propri divisori”. (A. Weyl) Euclide (IX, 36) dimostra che i numeri della forma 2 m – 1(2 m – 1), con 2 m – 1 primo, sono perfetti Eulero (1756), dimostra che i numeri di questa forma sono tutti i numeri perfetti pari Non si conoscono numeri perfetti dispari (ma se ne esistono devono essere > 10300
La dimostrazione del piccolo teorema di Fermat segue subito osservando che i coefficienti binomiali sono divisibili per p esattamente quando p è primo (k = 1, 2, …, p). Infatti: è divisibile per 2 p
Prime dimostrazioni del piccolo teorema di Fermat Eulero 1741(E 54, Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio) per induzione su a Eulero 1750 (E 134, Theoremata circa divisores numerorum) basata sulla proprietà: Eulero 1763 (E 271, Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata) generalizza p– 1 a φ(n):
Matematica di Euclide / Matematica dell'abaco F 0 = 3 F 1 = 5 F 2 = 17 F 3 = 257 F 4 = 65. 537 Nel 1729 Goldbach comunica ad Eulero la congettura di Fermat
Ma F 5 e divisibile per 641 Eulero 1732 (E 26, Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus): Eulero 1747 (E 134, Theoremata circa divisores numerorum): ha divisori primi solo della forma 2 m+1·h + 1 ha solo divisori primi della forma 26 · h + 1
Niente è più bello di ciò che è vero (H. Minkowski) Bastano cinque tentativi per trovare il divisore primo 641 di F 5. Occorre rivalutare i fenomeni matematici!
Continuità e generalità “La matematica non deve essere nella mente come un peso portato dall’esterno, ma come un’abitudine del pensiero”. (P. A. Florenskij) '600 Fermat '700 Eulero '800 Gauss. . . Cosa ha fatto Eulero il 18 settembre 1783? Secondo Condorcet: pranza con gli allievi discute il fenomeno Montgolfier (idrodinamica) calcola (con Lexell) l'orbita di Urano cessa di vivere e di calcolare
La formula del prodotto Eulero 1744 (E 72, Variae observationes circa series infinitas): Teorema 8. Se usiamo la serie dei numeri primi per formare l’espressione allora il suo valore è uguale alla somma della serie In simboli:
Ma…. Teorema 7. “Il prodotto esteso all'infinito della frazione in cui i numeratori sono numeri primi e superano di un'unita i denominatori, uguaglia la somma della serie infinita ed entrambe le somme sono infinite”. Come dire (? !)
Dim. Nel nostro linguaggio:
Il problema di Basilea Viene posto nel 1644 da Pietro Mengoli: Nel 1730 il “Methodus differentialis” di James Stirling fornisce l’approssimazione: Eulero dimostra: [tre dimostrazioni in E 41, De summis serierum reciprocarum (1735), una quarta in E 63, Demonstration de la somme de cette suite 1+1/4+1/9+1/16+… (1743)]
Dim. La funzione Se allora Per analogia: implica ha gli zeri
La ζ di Riemann Il problema di Basilea corrisponde a: In E 41, De summis serierum reciprocarum (1735), Eulero calcola la somma ζ (s) per ogni s= 2 n pari.
L'infinità dei primi Prima dimostrazione in Euclide (IX, 20) Eulero, E 72, Variae observationes circa series infinitas (1744): Inoltre: “La serie degli inversi dei numeri primi è infinitamente minore della serie armonica” “il valore della serie armonica è uguale al logaritmo di infinito” “La prima somma è quasi il logaritmo della seconda”
In simboli: Questo anticipa il “teorema dei numeri primi”, congetturato da Gauss nel 1793, da Legendre nel 1798 e dimostrato nel 1896 sia da Hadamard che da La Vallée Poussin.
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