Diagnostic robuste et commande tolrante aux fautes pour
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Diagnostic robuste et contrôle tolérant aux fautes pour systèmes singuliers -approche par factorisation copremière. B. Marx, D. Koenig & D. Georges Laboratoire d’Automatique de Grenoble UMR CNRS-UJF-INPG B. P. 46, 38402 Saint Martin d’Hères, France 1
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Plan de l'exposé Commande Conclusion • Introduction aux systèmes singuliers • Factorisation copremière de systèmes singuliers • Diagnostic robuste de défauts • Commande tolérante aux défauts • Conclusion 2
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Définition des Systèmes singuliers Pour la modélisation de systèmes physiques on utilise des • relations dynamiques (loi de comportement, stockage, PFD, etc. ) • relations statiques (maillage, équilibre de bilans, etc. ) On a donc un modèle du type : après linéarisation, le modèle devient : avec on peut supposer 3
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Formes équivalentes pour P et Q non singulières on a : Forme équivalente standard : sous-syst. usuel sous -syst. non propre Forme équivalente par décomposition par valeurs singulières : dynamique statique 4
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Réponse temporelle • Réponse temporelle sous-syst. usuel sous syst. non propre • régularité unicité de la trajectoire x(t) pour u(t) et x 0 données det(s. E-A) 0 • système non impulsif admet une représentation usuelle a une fonction de transfert propre N=0, dans la forme équivalente standard A 22 inversible dans la forme équivalente par SVD de E 5
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Intérêts des systèmes singuliers • signification physique des variables • combinaison de relations dynamiques et statiques • systèmes rectangulaires • systèmes interconnectés • systèmes impulsifs • mauvais conditionnement de E-1 A, pour E inversible 6
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commandabilité des syst. singuliers Commande Conclusion (E, A, B) commandable K tel que les pôles sous-syst. usuel finis de (E, A+BK) soient commandable arbitrairement placés sous-syst. non propre commandable sous-syst. usuel observable (E, A, C) observable sous-syst. non propre observable (E, A, B) Impcommandable K tel que (E, A+BK) soit non impulsif L tel que les pôles finis de (E, A+LC) soient arbitrairement placés (E, A, C) Impobservable L tel que (E, A+LC) soit non impulsif 7
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Exemple i 2(t) Circuit RLC parallèle : à t=1, on applique v=1 V v(t) i 1(t) R C L décrit par la forme singulière de fonction de transfert (E, A, B) R-commandable et Imp-commandable État du système x(t), avec retour d'état normalisant (E, A, C) R-observable et Imp-observable Éstimée de x(t), avec retour d'état observé 8
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Factorisation copremière • Objectif : généraliser l'outil de factorisation copremière aux systèmes singuliers • Définition (fonctions de transfert copremières): Deux fonctions de transfert matricielles M(s) et N(s) de RH sont dites copremières à droites (resp. à gauche) s'il existe deux fonctions de transfert matricielles Xr(s) et Yr(s) (resp. Xl(s) et Yl(s)) telles que 9
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Factorisation copremière • Définition (factorisation copremière): Une fonction de transfert matricielle P(s) de RH admet une double factorisation copremière s'il existe une factorisation copremière à droite et une factorisation copremière à gauche où M(s), N(s), , , Xr(s), Yr(s), Xl(s) et Yl(s)de RH vérifient 10
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Factorisation copremière de systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Théorème : une fonction de transfert matricielle G(s)=C(s. E-A)-1 B+D non nécessairement propre admet une double factorisation copremière si G(s) est régulière, Imp-commandable et Impobservable. On a alors et où L et F sont telles que (E, A+LC) et (E, A+BF) soient non-impulsifs 11
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Factorisation copremière de systèmes singuliers Commande Conclusion Intérets : • Les cofacteurs N(s), M(s), et sont propres, y compris pour G(s) non propre. • Les matrices L et F peuvent être déterminées par résolution LMI pour placer les pôles finis de (E, A+LC) et (E, A+BF) dans une région LMI donnée, caractérisée par les matrices = T et 12
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Caractérisation du placement des pôles finis de systèmes singuliers Théorème. Pour une région LMI D le système (E, A) a ses pôles finis dans D et est admissible, si et seulement s'il existe P=PT>0 et S vérifiant la condition LMI suivante EPET+ APE T+ T EPAT+1 mm (AVSUT+USTVTAT) < 0 avec V=Ker E et U=Ker ET, et où 1 ij désigne la matrice (i j) de composantes égales à 1 13
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Placement des pôles finis de systèmes singuliers Théorème. Pour une région LMI D il existe une matrice F telle que (E, A+BF) ait ses pôles finis dans D et soit admissible, si et seulement s'il existe P=PT>0, S, H et L vérifiant la condition LMI suivante EPET+ (APE T+BHET )+ T (EPAT+EHTBT)+. . . 1 mm (AVSUT+BLUT+USTVTAT+ULTBT) < 0 avec V=Ker E et U=Ker ET, et où 1 ij désigne la matrice (i j) de composantes égales à 1 F est donnée par F=(HET+LUT)(PET+VSUT)-1 14
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Diagnostic par factorisation copremière • Système : • Objectifs : génération de résidus par des filtres propres modeler la réponse fréquentielle aux défauts imposer un gabarit de robustesse aux perturbations • Hypothèses : faisceau (E, A) régulier système (E, A, C) Imp-observable et détectable • Méthode : factorisation copremière du système formulation H des objectifs 15
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Génération de résidus Commande Conclusion Le système peut s'écrire : et se factoriser sous la forme : d(s) f(s) u(s) Génération de résidus par factorisation : y(s) G(s) ~ -Nu(s) ~ M(s) r(s) avec générateur de résidus propre (choix de L) 16
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Génération de résidus Le résidu est obtenu en 2 étapes : • factorisation de G(s) (paramètre : L ) • filtrage : r(s)=Q(s)r(s) (paramètre : Q(s) de RH ) Paramétrisation de tous les générateurs de résidus : d(s) f(s) u(s) y(s) G(s) ~ -Nu(s) r(s) avec ~ M(s) Q(s) Théorème. Sous la condition que (E, A+L 0 C) soit admissible, tous les générateurs de résidus sont paramétrés par Q(s) de RH r(s) 1 seul paramètre : Q(s) 17
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Synthèse du module de diagnostic Principe : se ramener à un problème de contrôle standard H où Q(s) est solution de Objectifs de synthèse du module de diagnostic 1. Modeler la réponse du résidu aux fautes. Wf(s) f d u Gf(s) Wd(s) d Gd(s) + Gu(s) ~ -Nu(s) + r ~ M(s) y +- z 2. Imposer un gabarit de robustesse face aux perturbations 3. Module de diagnostic propre : Q(s) RH Q(s) 18
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Synthèse du module de diagnostic • Q(s) est solution du problème de pousuite de modèle suivant : • Les fonctions de transfert Wf(s), Wd(s), et sont propres Solution : résoudre le problème H standard pour le système non singulier : w(s) r(s) Q(s) z(s) où r(s) Solution à base de LMI (P. Gahinet & P. Apkarian, 1994) 12 fevrier 2004 19
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Diagnostic par factorisation copremière. Algorithme de diagnostic robuste : 1. factoriser la fonction de transfert matricielle Gu(s) déterminer L, tel que (E, A+LC) soit admissible (LMI) 2. filtrer le pré-résidu r(s)=Q(s)r(s) fixer les fonctions de pondérations Wf(s) et Wd(s) déterminer Q(s) : contrôle-H pour système usuel (LMI) 12 fevrier 2004 20
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion On considère le système défini par avec On applique la synthèse pour les fonctions de pondérations : 21
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Exemple de diagnostic par factorisation coprime Résultats obtenus : Fautes (pointillés noirs) Valeurs singulières de la sensibilité à et résidus (traits rouge) d (bleu), et gabarit (vert) 22
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Commande tolérante aux fautes • Système : • Objectifs : performances nominales tolérance aux fautes et aux perturbations mise en œuvre de filtres propres • Hypothèses : (E, A) régulier (E, A, B) Imp-commandable et stabilisable (E, A, C) Imp-observable et détectable • Méthode : factorisation copremière formalisme H standard pour systèmes usuels 23
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Lemme. (Takaba et al. , 1994) Tous les correcteurs stabilisants de Gu(s) sont paramétrés par d ref + u ~ -Nu(s) f y G(s) + ~ M(s) Qc(s) -1 Xr. X r (s) + où Q(s) RH Structure du correcteur proposé (Youla) • commande : -Yr(s) • sortie en boucle fermée : réponse nominale écart dû aux signaux exogènes 24
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • Réponse nominale retour d'état observé d ref + u ~ -Nu(s) f y G(s) + ~ M(s) L et F déterminés afin de placer les pôles résolution de LMI strictes • Tolérance aux fautes poursuite de modèle Qc(s) -1 Xr. X r (s) + -Yr(s) Qc(s) déterminé par synthèse d'un correcteur H pour système non singulier résolution par LMI 25
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion d ref + u ~ -Nu(s) f y G(s) + + 2. Déterminer Qc(s), afin de minimiser la déviation de sortie due à d(s) et f(s) ~ M(s) • Intérêts de cette approche Qc(s) Xr-1(s) • Algorithme de contrôle tolérant aux fautes 1. Déterminer F et L, afin de satisfaire les objectifs de contrôle nominal. -Yr(s) 1. Séparer performances nominales // tolérance aux fautes 2. Implémentation de filtres propres 3. Eviter de masquer d(s) et f(s) par la commande. 26
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Commande tolérante aux fautes adaptative mais. . . Commande tolérante à TOUS les signaux exogènes pessimisme. . . amélioration proposée 1. Introduire un module de diagnostic Qd(s) localisation des défauts occurents 2. Choisir en ligne un filtre de contrôle parmi un banc correcteur adapté au(x) défaut(s) survenu(s) 27
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Commande tolérante aux fautes adaptative Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion Algorithme de contrôle tolérant aux fautes adaptatif. d ref f u + y G(s) ~ -Nu(s) + r Q Qcd(s) r Xr-1(s) + ~ M(s) Qd(s) 1 Déterminer F et L tels que (E, A+BF) et (E, A+LC) satisfassent les objectifs de contrôle nominal 2 Déterminer le filtre de diagnostic robuste Qd(s) qui minimise 3 Déterminer nf filtres Qci(s) dédiés à une faute fi, et un filtre Qc 0(s) pour le cas "sans faute", par minimisation de r -Yr(s) 4 Implémenter le contrôleur ci-contre, avec 28
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Application de la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion On considère le système défini par avec Résidus fournis par le Sorties, contrôle nominal avec d=f=0 (ronds), contrôle par module de diagnostic retour d'état observé (pointillés), CTF (croix) et CTFA (trait). 29
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion On a proposé une méthode pour traiter les problèmes de 1/ diagnostic robuste 2/ commande tolérante aux fautes problème de contrôle standard H de systèmes usuels Solution à base de LMI (boîtes à outils Matlab ou Scilab) Implémentation simple (filtres propres) 30
Diagnostic robuste et commande tolérante aux fautes pour systèmes singuliers Introduction Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Publications Commande Conclusion diagnostic B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Robust fault diagnosis for robuste descriptor systems – a coprime factorization approach, Proc of the IFAC SAFEPROCESS’ 03, Washington, USA, 2003. placement de pôles B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Robust pole-clustering in LMI regions for descriptor systems, a characterization via strict LMIs, Proc of the European Control Conference, Cambridge, UK, 2003. contrôle tolérant aux fautes Fault Tolerant Control for Descriptor Systems, soumis à Automatica (2003) 31
- Slides: 31