DevInformatique Ralis par HACHIMI SAFAE Module N 2

Dev-Informatique Réalisé par : HACHIMI SAFAE

Module N° 2 : Notions de mathématiques appliquées Partie 6 : Algèbre de Boole 1 -Introduction : q Une grandeur analogique est une grandeur qui suite les variables de critères mesurés ainsi la mesure de la température par un thermomètre se fait de façon analogique. q En effet les cas minimums entre deux températures peut être infinies. Il peut exister une infinité de ces cas. q Une grandeur analogique présente donc un nombre infini des états. Grandeur de sortie Grandeur à mesurer q A l’opposé une grandeur logique est une grandeur qui ne suite pas de manière continue et elle présente fini des états. Grandeur à mesurer

q En informatique on utilise deux états le courant passe ou ne passe pas (0 ou 1). q Ces grandeurs font l’objet d’une algèbre appelée algèbre de Boole: George Boole(1815 -1854). 2 -Opérateur logique : q La combinaison des différents états logiques d’entrées permet un état logique de sortie. q Si l’état de sortie dépend uniquement des grandeurs d’entrées. On parle de logique combinatoire. q Ce passage d’état d’entré à la sortie à l’aide des circuits que l’on appelle opérateur logique (porte logique-fonction). q Ces opérateurs sont : OUI, NON, ET, OU, NON-ET, NON-OU , OU-exclusif. A-Fonction OUI : E S Norme Américaine S Norme Française 1 -Table de vérité : 21 =2 E 2 -L’équation logique : E S 0 0 1 1 S=E

B-Fonction NON : E S Norme Américaine Norme Française 1 -Table de vérité : 2 -L’équation logique : S=NON(E) =E=E 21 =2 C-Fonction ET : E 1 S E 1 E 2 Norme Américaine 1 -Table de vérité : 22 =4 S E 2 E 1 E 2 S 0 0 1 0 0 Norme Française 2 -L’équation logique : S=E 1 ET E 2=E 1 E 2

D-Fonction OU : E 1 S E 2 Norme Américaine Norme Française 1 -Table de vérité : 2 -L’équation logique : S=E 1 OU E 2=E 1+E 2 22 =4 E-Fonction NON-ET : E 1 E 2 Norme Américaine S E 1 S E 2 Norme Française

1 -Table de vérité : 2 -L’équation logique : S=E 1 NON-ET(E 2)=E 1. E 2 22=4 F-Fonction NON-OU : E 1 E 2 Norme Américaine 1 -Table de vérité : 22=4 S E 1 S E 2 Norme Française 2 -L’équation logique : S=E 1 NON-OU(E 2)=E 1+E 2

G-Fonction OU-exclusif : E 1 E 2 Norme Américaine S E 1 S E 2 Norme Française Le circuit OU-exclusif est un circuit à deux entrés dont la sortie passe à l’état 0 si on applique le même Type d’information sur l’une quelconque de ces entrés à l’exclusion de l’autre. 1 -Table de vérité : 22=4 2 -L’équation logique : S=E 1+E 2 XOR

3 -Les schémas logiques : A-Définition q Un schéma logique (Logigramme) Logigramme est la traduction de la fonction en un schéma électronique. Nous remplaçons chaque opérateur par la porte logique qui lui correspond. q Il existe 3 types de schémas logiques : ╬ Les schémas logiques qui comprennent les portes NOT(NON), AND(ET) et OR(OU). ╬ Les schémas logiques qui ne comprennent que les portes NON-ET ╬ Les schémas logiques qui ne comprennent que les portes NON-OU B-Les schémas avec NON, ET, OU : Exemple : Soit à présenter la fonction F avec les opérations NON, ET, OU. v F(A, B, C)=A. B+B. C A B A. B B F B. C C

C-Les schémas avec NOT(ET) ET NOT(OU) : Principe : Toutes les fonctions logiques peuvent être exprimés avec les portes NOT(ET) ou NOT(OU) pour des raisons d’économie et de performance. Méthode : Pour présenter une fonction S avec les logigrammes en NOT(ET) ou NOT(OU) on procède suit : v Pour les logigrammes NOT(ET) : il faut éliminer tous les opérateurs <<+>> par le calcul de S et par l’application des lois de l’algèbre de Boole. v Pour les logigrammes NOT(OU) : il faut éliminer tous les opérateurs <<->> par le calcul de S et par l’application des lois de l’algèbre de Boole. C-1 -Réalisation des circuits par NON(ET) : Fonction : Portes en NOT(ET) : NON(A)=A A A. B=A+B A A. B=A. B B Portes en NON(OU) : A B A. B=A+B Morgane A

C-2 -Réalisation des circuits par NON(OU) : Fonction : Portes en NOT(ET) : NON(A)=A A A+B=A+B B A+B=A+B Portes en NON(OU) : A B B A+B=A. B 4 -Les lois fondamentales de l’Algèbre de Boole : A-L ’opérateur NON : A=A Si A=0 0=1=0 A+A=1 Si A=1 1=0=1 A. A=0 A A+B=A. B Morgane A

§ Distributivité de ET sur le OU : B-L ’opérateur ET : § Associativité : (A. B). C=A. (B. C)=A. B. C § Commutativité : A. B=B. A § Idempotence : A. A=A § Elément neutre : A. 1=A § Elément absorbant : A. 0=0 C-L ’opérateur OU : § Associativité : (A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C § Commutativité : A+B=B+A § Idempotence : A+A=A § Elément neutre : A+1=1 § Elément absorbant : A+0=A D-Distributivité : A. (B+C)=(A. B)+(A. C) § Distributivité de OU sur le ET : A+(B. C)=(A+B). (A+C) E-Autres relations utiles : § A+(A. B)=A § A. (A+B)=A § A+A. B=A+B Montrer : A+A. B=A+B A A. B A+B 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1

5 -Théorèmes de MORGANE : La somme logique complémentée de deux variables est égal au produit des compléments de deux variables. A+B=A. B Le produit logique complémentaire de deux variables est égal au somme logique des compléments de deux variables. A. B=A+B Remarque : Généralités du Théorème DE-MORGANE à N variables A. B. C……. . =A+B+C+…. . A+B+C+++=A. B. C……. 6 -Théorèmes de XOR : A+B=AB+AB A+B=B+A A+A=0 A+0=A A+B=AB+AB=(A+B)=(A+B)AB A+1=A A+B=AB+AB A+A=1 (A+B)+C=A+-B+C)

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