devin Konusu Matrisler Yararlanlan Kaynaklar Tmay Set 5

Ödevin Konusu : Matrisler Yararlanılan Kaynaklar : Tümay Set 5 Öysm Çözümlü Soru Bankası Öğretmenin Adı:

MATRİSLER • Tanım: a 11 a 12 …a 1 n a) A= A= a 21 a 22 …a 2 n ………………. am 1 am 2… amn Biçiminde bir cismin elemanlarının sıralı bir tablosuna mxn türünde bir matris denir. m sayısına matrisin satır sayısı n sayısına ise matrisin sütun sayısı denir. m satırlı ve n sütunlu bir matrise mxn boyutlu ya da mxn türünde bir matris adı verilir. 34 20 56 b) Yukarıdaki matriste 3 satır ve 2 sütun olduğundan A matrisi 3 x 2 türünden bir matristir. 2 1 x 1 , 3, 4, 7 1 x 3 , 0, -5 1 x 2 c) 6 1 x 1 , 2 7 2 x 1 birer sütun matrisidir. , 0 0 -3 3 x 1

ÖRNEK: A = a ij 3 x 2 bulunuz. matrisi aij = (-1)i+j. ij biçiminde tanımlanıyor. A matrisini ÇÖZÜM: a 11 a 12 A = a 21 a 22 a 31 a 32 a 11 = (-1)1+1 1. 1=1 a 12 =(-1)1+2. 1. 2 = -2 a 21 =(-1)2+1. 2. 1=-2 a 22 =(-1)2+2. 2. 2 = 4 A 31 =(-1)3+1. 3. 1=3 a 32 =(-1)3+2. 3. 2 = -6 1 -2 A= -2 4 3 -6 3 x 2 KARE MATRİS: Satır ve sütun sayıları eşit olan matrise kare matris denir. Örneğin,

3 4 matrisi 2 x 2 türünde bir matristir. 5 6 SIFIR MATRİSİ: Tüm elemanları 0 olan matristir. MATRİSLERİN EŞİTLİĞİ: A= aij mxn ve B = bij mxn olsun. İ ve j nin her değeri için aij = bij oluyorsa A ile B matrisleri eşittir. Yani ; aij = bij A=B’ dir. ÖRNEK: 2 x+1 6 y-2 7 = 9 6 olması için x+y+z=? 3 3 z -2 2 x+1= 9 x=4 y-2 =3 y=5 x+y+z =12 bulunur. 3 z- 2=7 z=3 BİR MATRİSİN BİR SAYI İLE ÇARPIMI: Bir matrisi bir sayı ile çarpmak demek onun her elemanını o sayı ile çarpmak demektir. A = 3 4 -2 matrisi için 3 a, a/2 matrislerini bulnuz. 6 0 8

3 A = 3 3 4 -2 = 9 12 -6 6 0 -8 18 0 A/2 = ½ 3 4 -2 -24 = 3/2 2 -1 6 0 -8 3 0 -4 MATRİSLERİN TOPLAMI: A ve B aynı türden olan iki matris olsun. A +B , Aile B’ nin karşılıklı elemanları toplanarak elde edilen matristir. A –B = A+(-B)’ dir. ÖRNEK: 3 4 2 -1 A= 1 -2 ve B = 0 4 0 5 5 2 ve A+2 B ve A-B matrislerini bulnuz. ÇÖZÜM: 3 4 A+ 2 B = 1 -2 0 5 2 -1 +2 0 4 5 2 3 4 = 1 -2 0 5 + 4 -2 7 2 0 8 = 1 6 10 4 10 9

3 4 A -B = 1 -2 2 -1 - 3 4 0 5 = 5 2 1 -2 0 5 -2 1 + 0 -4 1 5 = 5 -2 1 -6 -5 3 MATRİSLERİN ÇARPIMI: A matrisi mxn türünde ; B matrisi nxp türünde olsun. A. B matrisi mxp türünde bir matristir. cij , A. B’ nin bir elemanı ise, bu eleman A’nın i. satır vektörü ile B ‘ nin j. sütun vektörünün skaler çarpımına eşittir. UYARI: A ve B matrisleri verilsin. A. B çarpımının yapılabilmesi için A’nın sütun sayısı B’ nin satır sayısına eşit olması gerekir. Buna göre; A mxn. B nxp = c mxp olur. ÖRNEK: 3 1 A= 1 2 0 ve B = 3 4 -2 1 2 0 3 4 -2 4 2 ise A. B matrisini bulunuz. -2 3 3 1 . 4 2 a. = . .

a =1. 3 + 2. 4 + 0. (-2) = 11 1 2 0 3 1 3 4 -2 . 4 2 . b = . . -2 3 b = 1. 1 + 2. 2 + 3. 0 = 1+4 = 5 1 2 0 3 1 3 4 -2. 4 2 . = . c . -2 3 c = 3. 3+ 4. 4+ (-2) =9 +16+4 = 29 1 2 0 3 1 3 4 -2 . 4 2 = . . . d -2 3 d = 3. 1+ 4. 2+ (-2). 3 = 3+8 -6 =5 A. B = a b = 11 5 c d 29 5

ÖRNEK: A = 2 -4 ise A. A = A 2 matrisini bulunuz. 3 -1 ÇÖZÜM : A 2 = A. A = 2 -4 . 3 -1 4 -12 -8 +4 6 -3 -12 +1 = 2 -4 2. 2 -4. 3 2 (-4) + (-4). (-1) 3 -1 3. 2 + (-1)3 3. (-4) +(-1) -8 -4 3 -11 ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ: A , B ve C matrislerinin birbirleriyle çarpımları tanımlı ve kЄR olsun. 1) (k. A). B = A. (k. B) =k. (A. B) 2) (A+B). C =A. C + B. C 3) C. (A+B) = C. A + C. B 4) A. (B. C) = (AB). C 5) 5) nxn türündeki In = 1 0 …. 0 1 …. 0 0 0 …. 1 0

(Köşegen üzerindeki elemanları 1, diğerleri 0 ‘dır. ) matrisi nxn türündeki matrislerde çarpma işleminin birim elemanıdır. Yani Anxn Inxn = Inxn A nxn = A nxn’dir. ÖRNEK : A= -1 3 ise; A 50 matrisini bulunuz. 0 1 A 2 = -1 3 0 1 = 1 0 = I 2 X 2 0 1 A 50 =(A 2 )25 = (I 2 X 2)25 = 1 0 olur. 01 ÖRNEK: A= -2 3 ise A 37 matrisini bulunuz. -1 2 A 2 = A. A = -2 3 -1 2 . -2 3 = 1 0 -1 2 0 1 = I 2 X 2

A 37 = (A 2)18. A = ( I 2 X 2)18. A = I 2 X 2. A = -2 3 -1 2 ÖRNEK: A= 1 2 ise A 30 matrisini bulunuz. 0 1 A 2 = 1 2 . 0 1 A 3 = 1 4 . 1 2 . A 30 = 1 2. 30 1 2 01 1 4 = 0 1 0 1 = 0 1 A 4 = 1 6 1 2 1 6 0 = 0 1 = 1 8 0 1 = 1 60 bulunur. 0 1 1 2. 2 1 1 2. 3 0 1 = 1 2. 4 0 1

BİR MATRİSİN DEVRİĞİ ( TRANSPOZU ) A = aij mxn matrisinin aynı indisli satırlarıyla sütunlarının yer değiştirmesiyle oluşturulan aji matrisine A matrisinin devriği denir ve AT ile ya da AD ile gösterilir. Örnek: 5 7 A = 0 -8 3 4 ise AT = 5 0 3 7 -8 4 ÖZELLİKLERİ: 1. A ve B mxn türünde iki matris ise (A+B)T = AT + BT 2. A bir matris kЄR ise (k. A)T = k AT 3. A, mxn türünde, B nxp türünde iki matris ise T (A. B) = BT. AT 4. (AT)T = A’ dır ÖRNEK: A = 2 3 -1 A. AT matrisini bulunuz. 4 0 5 ÇÖZÜM: nxm

2 4 AT = 3 0 ‘dir. -1 5 2 3 -1 2 4 A. AT = 4 0 5 3 0 -1 5 4+9+1 8+0 -5 16+0+25 = 14 3 3 41 ÖRNEK: A ve B iki matris olmak üzere A = B + B T ise AT matrisi nedir? A = (B+BT) ise AT = (B+BT)T = BT+ B = A bulunur.

DETERMİNANTLAR: TANIM : A bir kare matris olsun. A’nın determinantı deta ya da A ile gösterilir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır. i. A = a 11 1 x 1 şeklinde bir matris ise; A = a 11 ii. iii. A = a 11 a 12 şeklinde bir matris ise; a 21 a 22 2 x 2 A = a 11. a 22 - a 12. a 21 A, nxn türünde bir matris olsun. A’nın i. Satırı ve j. Sütunu silinerek elde edilen matrisi Mij ile gösterelim. mij determinantına aij elemanının minörü, Aij = (-1) i+j Mij ‘ye aij’ nin eş çarpanı (kofaktörü) denir. Bir determinantın değeri herhangi bir satır (veya sütun) elemanları ile o satırdaki (veya sütundaki) elemanların kofaktörleri çarpımının toplamına eşittir. A = A 11 a 11+A 12 a 12+…+a 1 n. A 1 n (1. satıra göre açılımı) A = A 21 a 21 + A 22 a 22+…+a 2 n. A 2 n (2. satıra göre açılımı) A = A 11 a 11+a 21 A 21+a 31 A 31+…+am 1 Am 1 (1. sütuna göre)

iv. türündeki reel matrisler kümesinden R ye, A D fonksiyonuna determinant fonksiyonu denir. v. Örnek: vi. 5 =? -2 =? vii. 4 2 =? -3 4 7 8 viii. 5 = 5 -2 = -2 D(A)= A şeklinde tanımlanan =? 5 -8 4. 8 -2. 7=32 -14=18 -3. -8 – 4. 5 = 24 -20=4 ix. ÖRNEK: x. x-2 3 xi. x = 8 denklemini çözünüz. 5 xii. ÇÖZÜM: xiii. x-2 3 xiv. x xv. =8 5(x-2)-3 x = 8 5 5 x-10 -3 x = 8 2 x = 18 x=9 xvi. ÖRNEK: xvii. 5678 5679 xviii. 5676 5677 matrisinin determinantının değeri nedir?

A=5678 olsun. 5678 5679 = 5676 5677 a+2 a+3 a a+1 (a+1)(a+2)-a(a+3) A 2+3 a+2 -a 2 -3 a = 2 bulunur. A = 5 7 -8 matrisinin a 22 elemanı ile a 13 elemanının minörlerini yazınız. 2 0 4 6 9 3 ÇÖZÜM: A matrisinin 2. satır ve 2. sütun elemanlarının atılması ile elde edilen matrisin determinantı a 22 minörüdür. Buna göre 5 7 -8 2 0 4 6 9 3 M 22 = 5 -8 6 3 = 5. 3 -6 (-8) = 63

Aynı şekilde M 13 5 7 -8 = 2 0 2. 9 – 6. 0 = 18 6 9 2 0 4 6 9 3 =2. 9 -6. 0 = 18 bulunur. ÖRNEK: 3 2 4 A = -5 3 -2 matrisinin a 32 elemanına ait kofaktör (eş çarpan) nedir? 4 -3 5 ÇÖZÜM: 3 2 4 A 32 = (-1)3+2 M 32 = - 3 4 -5 3 -2 -5 -2 4 -3 5 = - (-6+20) = -14 SARRUS KURALI: a 11 a 12 a 13 A= a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 matrisinin determinantı alt tarafa ilk iki satır yazılarak

ya da sağ tarafa ilk iki sütun yazılarak aşağıda gösterildigi şekilde hesaplanabilir. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 - a 31 a 32 a 33 + - a 11 a 12 a 13+ - a 21 a 22 a 23+ A = (a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23) -(a 13 a 22 a 31+a 23 a 32 a 11+a 33 a 12 a 21) a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 - a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 + - - + + A = (a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31+a 13 a 21 a 32) -(a 13 a 22 a 31 +a 11 a 23 a 32 +a 12 a 21 a 33)

NOT : Sarrus kuralı yalnız 3 x 3 türündeki matrislerin determinantları hesaplanırken kullanılır. ÖRNEK: 3 2 5 A= 0 -4 1 matrisinin determinantını bulunuz. 2 3 4 ÇÖZÜM: 3 2 5 0 -4 1 - 2 3 4 + - 3 2 5 + - 0 -4 1 + A = 3(-4). 4 + 0. 3. 5 +2. 2. 1 - 5 (-4). 2 + 1. 3. 3+4. 2. 0 = (-48+4) – (-40+ 9) = -44 + 31 = -13 bulunur.

DETERMİNATIN ÖZELLİKLERİ: 1. Bir determinantın bir satırındaki ya da bir sütunundaki terimlerin türü 0 ise determinantın değeri 0 dır. 2. 4 3 7 3 0 2 3. 0 0 0 = 0, 1 0 -7 4. 5 2 8 3 0 5 =0 2. Bir determinantın iki satırındaki ya da iki sütunundaki terimler orantılı ise determinantın değeri 0 dır. Örneğin, 3. 2 3 4 4. 0 1 -2 5. 4 6 8 determinantında 1. satır ile 6. 3. satır ( 2/4= 3/6=4/8=1/2) orantılı olduğundan determinant 0 a eşittir. 3. Bir determinantın bir köşegeninin üstündeki ya da altındaki tüm elemanlar 0 ise determinant köşegen üzerindekielemanların çarpımına ya da çarpımın ters işaretlisine eşittir. Örneğin , 4.

3 4 2 0 3 1 0 0 5 2 1 3 4 2 0 1 0 0 = = 3 0 0 4 3 0 2 1 5 2 4 1 1 2 0 3 0 0 = 3. 3. 5 =45 = -( 3. 2. 1) = -6 4. Bir determinantın iki satırı ya ada iki sütunu yer değiştirirse determinant işaret değiştirir. Örneğin, a 1 a 2 a 3 a 2 a 1 a 3 b 1 b 2 b 3 = b 2 b 1 b 3 ‘tür. c 1 c 2 c 3 c 2 c 1 c 3 5. Bir determinantın bir satırı ya da sütunu bir k sayısı ile çarpılırsa determinant k ile çarpılmış olur. a 1 a 2 a 3 ka 1 ka 2 ka 3 b 1 b 2 b 3 = m ise b 1 b 2 b 3 = km olur. c 1 c 2 c 3 SONUÇ: A, nxn türünde bir matris ve k Є R ise k. A = kn A 6. Bir determinantın herhangi bir satırı ( veya sütunu) bir sayı ile çarpılıp diğer bir satıra (veya sütuna ) karşılıklı olarak eklenirse determinantın değeri değişmez. Örneğin,

Örneğin, a 1 a 2 a 3 a 1+kb 1 a 2+kb 2 a 3+kb 3 b 1 b 2 b 3 = b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 7. A ve B nxn türünde iki matris ise A. B = A. B ve An = A n 8. A = AT ‘dir. 9. Bir determinanta bir satırın elemanları başka bir satırın elemanlarının eş çarpanları ile karşılıklı olarak çarpılır ve toplanırsa bu toplam 0 olur. (aynı özellik sütun için de doğrudur. ) Örneğin, a 11 a 12 a 13 10. A= a 22 a 23 ise a 11 A 31 +a 12 A 32 +a 13 A 33 = 0 dır. a 33 a 32 a 33 a 1+x b 1+y c 1+z a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a 1 b 1 c 1 x y z a 2 b 2 c 2 + a 2 b 2 c 2 dır. a 3 b 3 c 3 (aynı özellik sütünlar içinde geçerlidir. )

ÖRNEK: 2 1 0 4 2 3 1 -2 = A ise 5 4 -1 0 6 2 -4 determinantının değeri kaçtır. 10 8 -2 ÇÖZÜM: Bir determinantın bir satırı 2 ile çarpılırsa determinant 2 ile çarpılmış olur. Bu determinantın her satırı 2 ile çarpıldığına göre determinant 2. 2. 2 = 8 ile çarpılmış olur. ÖRNEK: A= 2 5 3 olduğuna göre A 4 matrisinin determinantı kaçtır. 7 ÇÖZÜM: A = 2 5 = 14 -15 = -1 3 7 A 4 = (-1)4 = 1

EK ( ADJOİNT) MATRİS: Karesel A matrisinin aij terimlerinin yerine Aij eş çarpanlarının yazılmasıyla oluşan Aij matrisinin devriğine A matrisinin ek matrisi denir ve Ek (A) ile gösterililr. ÖRNEK: 3 4 A= 2 0 5 -1 2 3 matrisinin ek matrisini bulunuz. 7 ÇÖZÜM: A 11 = (-1)1+1 5 -1 3 A 12 = (-1)1+2 = 35+3 = 38 7 0 -1 = - (0+2) = -2 2 7 A 13 = (-1)1+3 0 5 = 0 -10 =-10 2 3 A 21 = (-1)2+1 4 2 = -(28 -6) = -22

A 22 = (-1)2+2 3 2 = 21 -4 = 17 2 7 A 23 = (-1)2+3 3 4 = -(9 -8) = -1 2 3 A 31 = (-1)3+1 4 2 =-4 -10 =-14 5 -1 A 32 = (-1)3+2 3 2 = -(-3 -0) = 3 0 -1 A 33 =(-1)3+3 3 4 = 15 - 0 = 15 0 5 A 11 A 12 A 13 Ek(A)= A 21 A 22 A 23 38 -2 -10 = A 31 A 32 A 33 -14 3 15 38 -22 -14 = -2 17 -22 17 -1 3 -10 -1 15 olur.

BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ: mxn türünden bir matris A olsun. A. B=B. A = In koşulunu sağlayan nxn türünde bir B matris varsa , B matrisine A nın çarpma işlemine göre tersi denir ve B = A-1 ile gösterilir. A. A-1 = A-1. A = I dır. ÖZELLİKLER: 1. A ≠ 0 ise A-1= 1/ A Ek (A) 2. A (Ek. A) =(Ek. A). A = A In 3. A-1 = 1/ A 4. (A-1) -1 = A 5. (AT) -1 = (A -1 )T 6. (AB) -1= B-1. A-1 7. NOT : 1. Bir A kare matrisini tersinin olabilmesi için A ≠ 0 olmalıdır. 2. Bir A kare matrisinin tersi (varsa ) tektir. 3. A kare matris ve A ≠ 0 ise A matrisine regular (tekli olmayan ) matris denir. A = 0 ise A matrisine singuler (tekil ) matris denir.

ÖRNEK: A= 2 3 matrisinin çarpma işlemine göre tersini bulunuz. -1 -2 ÇÖZÜM: A-1 = a b olsun. A. A -1 = I olması gerekir. c d 2 3 . -1 -2 a b = 1 0 c d 0 1 ise 2 a+3 c 2 b+3 d -a-2 c -b-2 d = 1 0 0 1 İse 2 a+3 c =1 2 b+3 d =0 -a-2 c = 0 -b -2 d =1 2 a+3 c= 1 2 b+3 d =0 + -2 a-4 c=0 -c=1 , c=-1 , a=2 + -2 b-4 d =2 -d=2 , d=-2, b= 3 A -1 = 2 3 -1 -2

BİR MATRİSİN RANKI: A, mxn tüünde bir matris olsun. A nın determinantları sıfırdan farklı olan kare matrislerden en büyük mertebeli olanın mertebesine , A nın rankı denir ve rank A ile gösterilir. ÖRNEK: 3 4 A= 5 6 matrisinin 2 x 2 türündeki bütün kare alt matrislerini yazınız. 0 2 ÇÖZÜM: 3 4 5 6 0 2 ÖRNEK: 3 4 2 0 5 -2 matrisinin rankını bulunuz.

A matrisi 3 x 2 türünden olduğundan A nın karesel alt matrisleri en çok 2 x 2 türünden olabilir. Bu nedenle rank(A) en fazla 2 olabilir. 2 x 2 boyutlu 3 4 2 0 Alt matrisinin determinantı 3 4 2 = 0 -8 =-8 ≠ 0 olduğundan rank(A)= 2 dir. 0 LİNEER DENKLEM SİSTAMLERİ: Bilimeyen x 1, x 2, …xn ve katsayıları gerçel sayılar olan , a 11 x 1 + a 12 x 2 +…a 1 nxn = b 1 A 21 x 1 + a 22 x 2 +…a 20 nxn = b 2 ……………. am 1 x 1 + am 2 x 2 +…amnxn =bm Denklemlerinden oluşşan sisteme n bilinmeyen lineer denklem sistemi denir. Matrislerde çarpma işleminin tanımından , a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22. . . a 2 n am 1 am 2 … amn x 1 x= x 2 xn

b 1 B= b 2 olmak üzere bm Yukarıdaki sistem A. X = B şeklinde yazılabilir. Burada A ya katsayılar matrisi denir. m = n ise A bir kare matris olur. . Bu durumda A -1 varsa, AX = B ise A -1. (A. X) =A -1. B ise (A -1)X =A -1. B ise In. X = A-1. B ise X=A -1. B bulunur. ÖRNEK: 3 x+2 y-z = 5 X-3 y+2 z = 6 denklem sistemini matrisler yardımıyla çözünüz.

ÇÖZÜM: x Katsayılar matrisi A = 3 2 -1 bilinmeyeler matrisi X = 1 -3 2 Ve sabit terimler matrisi B = 5 y z olsun. Buna göre verilen sistemler A. X=B ya 6 da 3 2 -1 x 1 -3 2. y 5 = 6 z Biçiminde yazılır. GRAMER KURALI: Bilinmeyen sayısı ile denklem sayısısnın eşit olduğu lineer denklem sistemlerinin pratik çözümlerini veren gramer kuralını inceleyelim. a 11 a 12. . A 1 n a 21 a 22 …a 2 n an 1 an 2 …ann dir.

1. ∆ ≠ 0 ise tek çözüm vardır. x 1 = ∆1 / x 2 = ∆2 / ∆ , … Xn = ∆n / ∆ dır. 2. ∆ = 0 ve ∆∆1, ∆2, …= ∆n lerden en az biri sıfırdan farklı ise sistemin çözümü yoktur. 3. ∆ = ∆1 = ∆2 … = ∆n = 0 ise sistemi sonsuz çözümü vardır. 4. ÖRNEK: 5. 3 x-2 y = 5 sisteminin çözümünü bulunuz. 6. 2 x +5 y = 1 7. ÇÖZÜM: 8. ∆ = 3 -2 = 15 - (-4) =19 9. 2 5

∆1 = 5 -2 = 25 – (-4) =19 1 5 ∆2 = 3 5 = 3 -10 = -7 2 1 X= ∆1/ ∆= 27/19 ve y = ∆2 / ∆ = -7/19 bulunur.