Determinazione Orbitale di Satelliti Artificiali Lezione 5 Alessandro

Determinazione Orbitale di Satelliti Artificiali Lezione 5 Alessandro Caporali Università di Padova

Stima ‘ottima’ delle costanti di modello In assenza di errori sistematici, la ‘migliore’ stima X 0* delle p costanti X 0 viene ottenuta minimizzando rispetto a X 0 il funzionale Il valore del vettore Xo che minimizza la somma dei quadrati degli scarti ‘osservato – calcolato’ (oppure ‘o-c’) è quello più probabile, naturalmente nei limiti del numero di osservazioni e della ‘bontà’ del modello delle osservazioni. Condizione necessaria per il minimo è che le p X 0 soddisfino il sistema di p equazioni lineari, per X 0= X 0* :

Linearizzazione dei modelli dei processi e dei modelli delle misure • Se è disponibile una stima a priori delle p costanti incognite di modello X’ 0 è conveniente linearizzare: -il modello dei processi: - il modello delle osservazioni:

Modelli linearizzati

Minimi quadrati – Equazioni normali Modello degli osservabili Stima di x mediante minimizzazione del funzionale Condizione necessaria per il minimo di J:

Minimi quadrati pesati • Si assuma che ogni residuo ei abbia una probabilità 0<=wi <=1. Allora il funzionale J viene ridefinito come segue: Ove W è una matrice diagonale i cui elementi sono wi Minimizzazione di J:

Minimi quadrati con equazioni di condizione • Minimizzazione di J, ove i parametri X sono ulteriormente soggetti a una o più equazioni di condizione del tipo a 1(X)=0, . . an(X)=0 • Linearizzazione delle eq. i di condizione: • In pratica, disponiamo di ulteriori n equazioni di osservazione, una per vincolo, e ciascuna affetta da un errore e:

Minimi quadrati con informazioni a priori sui parametri (1/2) Si consideri il sistema di osservazioni Tale sistema descrive la circostanza che dei p parametri incogniti di modello, m sono noti a priori con una certa incertezza h. Questo è il caso ad es. per il GM terrestre, o per certi coefficienti del campo gravitazionale terrestre, che sono fissati convenzionalmente. Possiamo scrivere: Assumiamo

Minimi quadrati con informazioni a priori sui parametri (2/2) • Introdotta una matrice di peso delle osservazioni in questi termini: le equazioni delle osservazioni, incluse l’osservazione diretta dei parametri, sono:

Propagazione della stima e della covarianza • Nota la stima di xj=x(tj) a un’epoca tj, fatta sulla base di osservazioni y 1, . . , yj, nonché la covarianza Pj associata, si tratta di predirre all’epoca tk (ad es. successiva) xk e Pk

Filtro di Kalman vs. Minimi quadrati Filtro di Kalman

Esempio numerico • 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Excel può essere usato per il problema piano ‘ranging da una Terra puntiforme’: Genera robs=a(1 -e*cos(E-E 0)), E=0. . 360, ponendo ad es a=6578137 m, e=0. 3, E 0=1 Genera rcalc =a(1 -e*cos(E-E 0)), E=0. . 360, ponendo ad es a=6378137 m, e=0. 5, E 0=0 Genera robs-rcalc, E=0, 360 Genera Ha=(1 -e*cos(E-E 0)), He=-a*cos(E-E 0), HE 0=-a*e*sin(E-E 0) Minimi quadrati: Risolvi per Da, De, DE 0 con la funzione REGR. LIN Filtro di Kalman: assegna valori a priori per Dx e. P 0 Calcola il guadagno del Filtro K Aggiorna Dx e P sequenzialmente Filtro esteso: aggiorna le derivate parziali, rcalc e robs-rcalc mano che diventano disponibili stime aggiornate di x+ Dx