Determinazione Orbitale di Satelliti Artificiali Lezione 4 Alessandro
Determinazione Orbitale di Satelliti Artificiali Lezione 4 Alessandro Caporali Università di Padova
Analisi statistica dei dati di inseguimento Definizione delle variabili di stato: - ad ogni istante t lo stato dinamico del c. m. del satellite è definito da 6 numeri: tre componenti del vettore posizione, tre componenti del vettore velocità - Equazioni del moto: danno l’incremento dello stato da t a t+dt:
Formulazione delle equazioni del moto • 6 eq. i differenziali ordinarie del 1. Ordine: • Vettore di stato aumentato con costanti (bias)
Caso particolare: problema di Keplero • • Se P=0, è possibile effettuare una trasformazione di coordinate nello spazio delle fasi tale che le nuove x, ottenute dalle vecchie per mezzo di una trasformazione ‘canonica’, sono tutte costanti. Le nuove x sono costanti del moto e hanno una diretta interpretazione geometrica. Per orbite ellittiche: a= semi asse maggiore e= eccentricità I=inclinazione del piano orbitale sul piano equatoriale W= longitudine (ascensione retta) del nodo ascendente w= longitudine del perigeo M 0=nt 0 anomalia media all’epoca t 0 (ad es. transito per il perigeo)
Da posizione e velocità a elementi orbitali • Noti r e v gli elementi orbitali sono calcolati come segue: b E r a W Q P
Definizioni • • a= semi asse maggiore dell’ellisse b= a(1 -e 2) semiasse minore n= velocità angolare orbitale e= eccentricità E 0= anomalia eccentrica del perigeo GM= costante di gravità x massa terrestre P= vettore dal geocentro nella direzione del perigeo W= vettore dal geocentro in direzione normale al piano orbitale (regola della mano destra) • Q= vettore che completa la terna ortogonale destrorsa
Modello delle osservazioni • Le osservazioni Y(ti) sono in generale legate in modo non lineare allo stato: Ove e rappresenta la somma degli errori sistematici e casuali del modello ad ogni epoca. Ad esempio, misure radar sono legate a (x, y, z) del satellite dalla relazione geometrica ove X, Y e Z sono le coordinate della stazione, variabili nel tempo in un sistema non ruotante
Matrice di transizione di stato • Le variabili di stato X(t) del satellite ad ogni istante t sono funzioni delle 6 condizioni iniziali del sistema di eq. i differenziali del moto: X(ti)= Q(Xo, ti), ove Q è l’operatore ‘Matrice transizione di stato’ che integra (in generale numericamente) le eq. i del moto a partire dallo stato iniziale.
Esempio: caso Kepleriano • Nel caso di orbita ellittica Kepleriana lo stato (r, v) ad ogni t è legato linearmente allo stato (r, v) a to: Le derivate parziali di r e v rispetto alle costanti iniziali non sono banali: bisogna derivare anche i coefficienti scalari delle condizioni iniziali!
Modello delle osservabili • Ad ogni t, l’osservabile Y è dunque una funzione delle 6 condizioni iniziali X 0 e del tempo (+ altri eventuali parametri da stimare). Se le costanti di modello sono p (>=6) e le osservazioni sono l (>>p), allora il sistema delle equazioni di osservazione è:
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