DETERMINATION DE LA DISTANCE TERRELUNE DU DIAMETRE ET

DETERMINATION DE LA DISTANCE TERRE-LUNE, DU DIAMETRE ET DE LA MASSE DE LA LUNE

Ce diaporama est constitué de 4 parties : Partie 1 : Utilisation de la théorie de NEWTON pour déterminer la distance terre-lune. Partie 2 : Détermination du diamètre de la lune. Partie 3 : Détermination de la masse et de la densité de la lune. Partie 4 : Démonstrations des formules utilisées dans ce diaporama.

Partie 1 : DETERMINATION DE LA DISTANCE TERRE -LUNE PAR LA THEORIE DE NEWTON.

Terre Lune

CALCUL DE LA DISTANCE TERRE-LUNE La théorie de NEWTON nous permet d’obtenir la formule suivante : On en déduit : Puis : soit : C’est sous cette forme que l’on va utiliser la formule. En effet r est la distance terre-lune , T la période de lunaison soit 27, 3 jours et M la masse de la terre obtenue lors des ateliers précédents. D’autre part la constante G de la gravitation universelle est toujours supposée connue (expérience de Cavendish).

La valeur admise officiellement est : 384 000 km Soit un pourcentage d’erreur E égal à :

Partie 2 : DETERMINATION DU DIAMETRE DE LA LUNE.

DIAMETRE APPARENT D’UN ASTRE Tout d’abord il faut rappeler la définition du diamètre apparent d’un astre : Par exemple on appelle diamètre apparent de la lune la mesure Dap de l’angle sous lequel un observateur O voit la lune. Observateur Lune

L’objectif est de mesurer le diamètre apparent de la lune et d’en déduire le diamètre réel de la lune en km , connaissant la distance Terre-Lune OL. Il faut impérativement que l’angle soit exprimé en « radian »

MESURE DU DIAMETRE APPARENT DE LA LUNE Lors d’une observation de pleine lune , on vise la lune à l’aide d’un instrument d’observation muni d’un oculaire de petit grossissement ( par exemple un oculaire de 40 mm de focale) de telle sorte qu’elle soit entière dans l’oculaire et qu’ elle soit en bord de champ comme indiqué sur la figure suivante :

On arrête le suivi de l’instrument tout en déclenchant un chronomètre à ce même instant. On arrête le chronomètre lorsque la lune a disparu de l’oculaire. On obtient « le temps de passage » de la lune dû à la rotation de la Terre. On notera T ce « temps de passage » en secondes. On trouve :

La terre tourne de 360 degrés en 24 heures La terre tourne donc de degrés en 1 heure La terre tourne donc de degré en 1 seconde Soit approximativement de 0, 0042 degré en 1 seconde La terre tourne donc en T = 130 secondes de 130. 0, 0042 degré Soit un diamètre apparent en degré égal à :

Pour obtenir le diamètre apparent de la lune en radian il suffit de multiplier ce résultat par π et de le diviser par 180. Soit : Le diamètre de la lune est en fait de 3475 km d’après les mesures officielles. Le pourcentage E d’erreur est égal à :

Partie 3 : Détermination de la masse et de la densité de la lune.

MASSE DE LA LUNE On va utiliser la formule déjà utilisée précédemment. Cette fois-ci par contre : M est la masse de la lune r le demi grand axe de l’orbite du module lunaire de l’expédition « APOLLO 8 » T est la période de révolution du module lunaire.

T est la période de révolution du module lunaire.

Voici les paramètres de l’orbite du module lunaire de l’expédition « APOLLO 8 » : Périsélène : 112, 6 km Aposélène : 114, 8 km Période de révolution du module lunaire : 121 mn = 7 261 secondes La valeur admise officiellement est : Soit un pourcentage d’erreur E égal à :

DENSITE DE LA LUNE On va supposer que la lune est une sphère de rayon R : Le volume de la lune est : La densité de la lune est :

Partie 4 : Démonstrations des formules utilisées dans ce diaporama.

DEMONSTRATION DE LA FORMULE : On suppose que les mouvements des planètes et de la lune sont des mouvements circulaires uniformes

FORCE CENTRIFUGE AGISSANT SUR UNE MASSE m EN MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME Soit une masse m ayant un mouvement circulaire uniforme c’est-à-dire de vitesse constante v et de rayon r alors il s’exerce sur cette masse m une force centrifuge égale à :

EQUILIBRE ENTRE LA FORCE D’ATTRACTION UNIVERSELLE ET LA FORCE CENTRIFUGE S’EXERCANT SUR UNE MASSE m TOURNANT AUTOUR D’UN ASTRE ATTRACTIF DE MASSE M On a donc l’égalité :

TRANSFORMATION DE L’EGALITE :

Si T est la période de révolution de la masse m et r le rayon de sa trajectoire , alors sa vitesse est égale à : Donc En reportant cette expression de v² dans la formule : On obtient : soit

DEMONSTRATION DE LA FORMULE DU DIAMETRE REEL D’UN ASTRE Observateur Lune La mesure d’un angle en radian est pratiquement égale à sa tangente si cet angle est petit. Ce qui est le cas pour l’angle On adonc :

TRANSFORMATION DE L’EGALITE : donc soit or On a donc :

TRANSFORMATION DE L’EGALITE : donc soit or On a donc :

DEMONSTRATION DE LA FORCE CENTRIFUGE S’EXERCANT SUR UNE MASSE m EN MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME RAPPEL: La longueur L d’un arc de cercle est égale au produit du rayon r du cercle par la mesure de l’angle en radian qui sous-tend l’arc.

L’intensité de la vitesse est constante (mouvement uniforme), mais sa direction varie en restant tangente à la trajectoire circulaire ; elle est représentée par une flèche ( vecteur) comme indiqué sur la figure suivante :