DETERMINANTES U D 3 2 BCS Angel Prieto

DETERMINANTES U. D. 3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 1

DETERMINANTES U. D. 3. 1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 2

DETERMINANTE • • Determinante de una matriz cuadrada de orden n es el conjunto de nxn números ordenados de igual manera que en la matriz. En cuanto a su notación, sirve cambiar los paréntesis de la matriz por dos rayas verticales que comprendan dicho conjunto de números, ordenados en n filas y en n columnas. • • Ejemplo: |A| = Un determinante de orden 4 (4 x 4) será |A| = [Cuatro filas x cuatro columnas] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 3

REGLA DE SARRUS • REGLA DE SARRUS • El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda). Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo. • • • Para determinantes [2 x 2]: |A| = a 11. a 22 - a 12. a 21 • • • Para determinantes [3 x 3]: |A| = a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 21. a 32. a 13 - a 13. a 22. a 31 - a 12. a 21. a 33 - a 11. a 23. a 32 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 4

Determinante de orden 2 • Sea el determinante de orden 2 • • Habrá únicamente 2 productos posibles: a 12. a 21 a 11. a 22 y • El primer producto es positivo y el segundo negativo. • El valor del determinante será: |A| = a 11. a 22 - a 12. a 21 • Ejemplo 2 -4 3 5 |A| = • |A| = 2. 5 – (- 4). 3 = 10 – (- 12) = 10+12 = 22 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 5

Ejemplos de orden 2 • Hallar el valor de los siguientes determinantes: + - @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 6

Guía gráfica de Sarrus PRODUCTOS POSITIVOS PRODUCTOS NEGATIVOS a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 7

Determinante de orden 3 • Sea el determinante de orden 3 • • 1 2 3 • |A| = 4 5 6 • 7 8 9 • Por la Regla de Sarrus • • |A| = a 11. a 22. a 33 + a 12. a 23. a 31 + a 21. a 32. a 13 - a 13. a 22. a 31 - a 12. a 21. a 33 - a 11. a 23. a 32 • |A| = 1. 5. 9 + 2. 6. 7 + 4. 8. 3 – 3. 5. 7 – 2. 4. 9 – 1. 6. 8 = • = 45 + 84 + 96 – 105 – 72 – 48 = 225 – 225 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 8

MENOR NO NULO • MENOR DE UN DETERMINANTE • Se llama menor de un determinante nxn (n filas y n columnas) a cualquier otro determinante (n – k)x(n – k) que se pueda formar con parte de los elementos del primero, de forma que coincidan el índice i (de las filas) o el índice j (de las columnas). • • Ejemplo Sea el determinante 3 x 3: a 11 a 12 a 13 |A| = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Menores de dicho determinante serán, entre otros: a 11 a 12 a 11 a 13 a 22 a 23 a 21 a 22 , a 31 a 33 , a 32 a 33 , |a 21|, |a 23|, etc. • Se llamará MENOR NO NULO si su valor es distinto de cero. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 9

RANGO DE UNA MATRIZ • Es el orden del determinante de mayor menor no nulo de dicha matriz. Sea la matriz • A= • • • 1 4 7 2 5 8 3 6 9 El mayor determinante que podemos formar en de orden 3 (3 x 3). Como mucho su Rango vale 3 ; Rang (A) = 3 Ya vimos que |A| = 0, por lo que su rango no puede ser 3. Tomamos un determinante cualquiera de orden 2 • 1 • |A| = • 4 @ Angel Prieto Benito 2 |A|= 5 – 8 = – 3 <> 0 , luego Rang A = 2 5 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 10