DETERMINANTE DETERMINANTE Svakoj kvadratnoj matrici pridruujemo realni broj

DETERMINANTE

DETERMINANTE • Svakoj kvadratnoj matrici pridružujemo realni broj koji zovemo determinanta. • Determinanata je broj, napisan u obliku kvadratne šeme brojeva, od elemenata raspoređenih u vrsta i kolona. Napomena: Determinanta je broj, za razliku od matrice koja je samo šema proizvoljnih elemenata

• Broj naziva se determinanta prvog reda. • Broj naziva se determinanta drugog reda. naziva se determinanta trećeg reda.

IZRAČUNAVANJE DETERMINANTI • SARUSOVO PRAVILO ( SARUS 1798 -1861) Pravilo se odnosi na determinante trećeg reda i glasi:

Primer Izračunati vrednost determinante Rešenje: Sarusovim pravilom

• LAPLASOVO PRAVILO (P. Laplace 1749 -1827 ) Za razliku od Sarusovog pravila koje se koristi samo za izračunavanje determinanti trećeg reda, Laplasovo pravilo važi za determinante bilo kog reda. Osnovna ideja ovog pravila je da se izračunavanje determinante n-tog reda svodi na izračunavanje determinante n-1 reda, determinanta n-1 reda svodi se na izračunavanje determinante n-2 reda i taj postupak se ponavlja sve dok se ne dođe do determinante prvog reda.

• Da bismo objasnili ovu metodu potrebno je da definišemo pojam minora i pojam kofaktora. • Neka je D determinanta n-tog reda

• Determinanta koja se dobija iz determinante D odbacivanjem i-te vrste i j-te kolone naziva se minor elementa i obeležava se sa Napomena: Detreminanta trećeg reda ima onoliko minora koliko i elemenata, tj. 9. Na primer, elementima , i odgovaraju minori Kofaktor elementa je broj

Laplasovo pravilo: Determinanta je jednaka zbiru proizvoda elemenata ma koje vrste (odnosno kolone) i odgovarajućih kofaktora (razvoj po elementima i-te vrste) (razvoj po elementima j-te kolone)

Primer Izračunati vrednost determinante Laplasovim pravilom Rešenje: Determinanta se može izračunati razvojem po bilo kojoj vrsti ili koloni. Razvojem po prvoj vrsti dobićemo.

OSOBINE DETERMINANTI • Determinanta ne menja vrednost ako vrste zamene mesta sa odgovarajućim kolonama. • Ako dve susedne vrste ( kolone ) uzajamno promene mesta determinanata menja znak. • Determinanta se množi brojem ako se svi elementi vrste ( kolone) pomnože tim brojem.

• Ako su svi elementi jedne vrste ( kolone ) jednake nuli, vrednost determinanta je jednaka nuli. • Ako su dve vrste ( kolone ) jednake ili proporcionalne, tada je vrednost determinante jednaka nuli. • Vrednost determinante se ne menja ako se svakom elementu jedne vrste ( kolone) dodaju odgovarajući elementi druge vrste ( kolone ), pomnoženi jednim istim brojem.

Primer Izračunati vrednost determinante Rešenje: . Koristeći osobine determinanti, možemo prvu kolonu da pomnožimo sa 3 i dodamo trećoj koloni. Determinantu sada razvijamo po prvoj vrsti koja sadrži dve nule.

INVERZNA MATRICA • Inverzna matrica date kvadratne matrice A je matrica koja ima osobinu da je , gde je I jedinična matrica. Za kvadratnu matricu A kažemo da je je regularna ako je singularna ako je det. A=0. , a • Adjungovana matrice A , u oznaci adj. A je transponovana matrica, matrice kofaktora, matrice A.

• Inverzna matrica kvadratne regularne matrice je matrica • Za regularne matrice i istog reda važe pravila:

Primer Naći inverznu matricu date matrice Rešenje: Kako je , znači da postoji matrica Kofaktori matrice A su Pa je inverzna matrica: . . .

Primer 6 Naći inverznu matricu date matrice Rešenje: .

Kofaktori matrice A su:

Primer 7 Rešiti matričnu jednačinu XA=B, gde je Rešenje: Kako je det. A različita od nule, znači da postoji iverzna matrica

Na osnovu predhodnih zaključaka dobijamo

Primer 8 Rešiti matričnu jednačinu AX+X-B=0 , gde je Rešenje:

Zadaci za vežbu 1. Izračunati sledeće determinante 2. Naći inverznu matrica 3. Zašto inverzna matrice A ne postoji

5. Rešiti matričnu jednačinu 6. Rešiti matričnu jednačinu , ako je

Teorijska pitanja 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Šta su determinante? Šta je minor, a šta kofaktor? Kako glasi Sarusovo pravilo za izračunavanje determinanti? Kako glasi Laplasovo pravilo za izračunavanje determinanti? Nabrojati najvažnije osobine determinanti. Pojam i osobine inverzne matrice. Šta je adjungovana matrica ?