Det gylne snitt og Fibonaccitallene Undervisningsopplegg laget av

Det gylne snitt og Fibonacci-tallene Undervisningsopplegg laget av Johan Nygaard for Vitenfabrikken i Sandnes

Hvilket rektangel synes du er det peneste og mest harmoniske? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Nr h/g 1 1, 00 2 1, 11 3 1, 22 4 1, 41 5 1, 61 6 1, 74 7 1, 86 8 2, 00 9 2, 12 10 2, 32

Definisjon på det gylne snitt: Dersom et linjestykke deles i to slik at forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen er lik forholdet mellom den lengste delen og den korteste delen, da kalles delingen av linjestykket for det gylne snitt.

a b c

Beregning av forholdstallet : Vi setter og får som har to løsninger: eller Dette gir til slutt: ( 1, 618)

Konstruksjon av det gylne snitt: 1

Hele stykket delt på den lengste delen: Den lengste delen delt på den korteste delen:

Rundt oss er det mange forhold som er tilnærmet lik det gylne snitt. For et bankkort og for det svenske flagget er forholdet mellom lengde og bredde tilnærmet lik det gylne snitt:

Forholdet mellom lengde og bredde i det norske flagget er 22/16 = 1, 375 6 1 2 1 12 6 1 2 1 6 Her er forholdet altså ikke lik det gylne snitt.

Rundt oss er det mange forhold som er tilnærmet lik det gylne snitt. For en voksen person deler navlen tilnærmet kroppshøyden i et forhold lik det gylne snitt:

Rundt oss er det mange forhold som er tilnærmet lik det gylne snitt. Det gylne snitt har ofte vært benyttet av malere når de skal komponere bilder: "Brudeferd i Hardanger" Hans Gude "Nattverden" Leonardo da Vinci

I eldre arkitekturfinner vi mange eksempler på bruk av det gylne snitt: Cheopspyramiden i Egypt:

I eldre arkitekturfinner vi mange eksempler på bruk av det gylne snitt: Parthenon på Akropolis i Athen: b h a g

I eldre arkitekturfinner vi mange eksempler på bruk av det gylne snitt: Notre-Dame i Paris:

Å finne det gylne snitt kalles også ofte for høydeling. Forholdet kan også skrives a: b=b: c Derfor kalles b ofte for mellomproporsjonalen.

Konstruksjon av ti-kant og fem-kant Dersom vi høydeler radien i en sirkel, vil den lengste delen være lik sidekanten i den innskrevne 10 -kanten. R/2 R Og ved å bruke annethvert hjørne finner vi også den innskrevne 5 -kanten.

Gylne triangler R En likebeina trekant med toppunkt i sentrum, og med en av tikantsidene som grunnlinje, kalles et gyllent triangel fordi forholdet mellom et av beina og grunnlinjen blir lik det gylne snitt. Vinklene i et gyllent triangel er 72 o, 72 o og 36 o. Med femkantsiden som grunnlinje kan vi også få et gyllent triangel.

Det pytagoreiske samfunn Pentagrammet ble pytagoreernes hemmelige tegn. Det består av diagonalene i en regulær femkant. Vi henter noen linjestykker fra pentagrammet: Dersom vi dividerer en av disse lengdene med den påfølgende lengden, får vi det gylne snitt.

Gyllent rektangel I et gyllent rektangel er forholdet mellom den lengste og den korteste siden lik det gylne snitt. 1 1

Fibonacci-tallene er en tallrekke der hvert tall er lik summen av de to foregående tallene: 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 … Leonardo av Pisa (1175 -1250) Kallenavnet Fibonacci kommer av Figlio de Bonacci (sønn av Bonacci)

Forholdet mellom to påfølgende Fibonacci-tall (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . . ) 2/1 = 2, 00 3/2 = 1, 50 5/3 = 1, 67 8/5 = 1, 60 13/8 = 1, 625 21/13 = 1, 615 34/21 = 1, 619 55/34 = 1, 617 89/55 = 1, 6182 144/89 = 1, 6180 233/144 = 1, 6181 Forholdet nærmer seg mot det gylne snitt! ( 1, 618)

Ved å sette sammen kvadrater med sider lik Fibonacci-tallene, får vi rektangler som etter hvert nærmer seg et gyllent rektangel: 3 3 2 2 1 1 5/3 8/5 13/8 21/13 34/21 3/2===1, 60 1, 67 =1, 50 1, 625 1, 619

Ved hjelp av rutenettet kan vi tegne en tilnærmet logaritmisk vekstspiral. En matematisk logaritmisk spiral ville sett nesten likedan ut:

Denne trappen på Abel-loftet er laget som en spiral med Fibonacci-tall:

Det er mye matematikk i naturen ….

Nautilus-skjell

Kongle Vi ser at konglens skjell danner spiraler: 8 13

Hos solsikken ser vi tydelige spiraler 55 21 34

Den gylne vinkelen v finner vi når vi deler 360 o i to, slik at forholdet mellom eksplementvinkelen (360 o – v) og v blir lik det gylne snitt: v 360 o - v v = 137, 5 o

Vinkelen mellom hvert nytt blad er ca 137 o

Hos solsikken vil hvert nytt frø som vokser ut danne en vinkel på ca 137, 5 o med det foregående frøet: 7 4 2 5 1 6 3

Modellforsøk der en datamaskin plasserer en stor mengde ”frø” viser følgende: Det er vinkelen 137, 5 o mellom hvert nytt ”frø” som gir maksimal pakking av ”frøene” på solsikken. Selv små avvik i vinkelen gir mindre tett pakking, og medfører at spiralene bare går i en av retningene.

Bienes stamtavle Dronningen er av hunkjønn ♀, og den eneste som legger egg. Dronen er en han ♂ som kommer fra et ubefruktet egg, og har altså bare mor. Arbeidere er hun-bier som kommer fra befruktede egg. De har både mor og far.

Dronens stamtavle ♂ 1 drone 1 mor 2 besteforeldre ♀ 3 oldeforeldre 5 ♂ ♂ ♀ ♀ ♀ ♀ ♂ ♀

Dronens stamtavle ♂ 1 drone 1 mor 2 besteforeldre ♀ 3 oldeforeldre ♀ ♀ ♂ ♀ ♂ 5 8 ♂ ♂ ♀ ♀ ♀ ♂ ♀

Dronens stamtavle ♂ 1 drone 1 mor 2 besteforeldre ♀ 3 oldeforeldre 8 ♀ 13 ♂ ♀ ♂ 5 osv. . . ♂ ♀ ♀ ♀ ♂ ♀ ♀ ♀ ♂ ♀ ♀ ♂ ♀

Arbeiderens stamtavle ♂ 1 ♀ 1 arbeider 2 foreldre ♂ 3 besteforeldre ♀ 5 ♂ 8 ♀ 13 ♂ osv. . . ♀ ♂ ♀ ♀ ♀ ♂ ♀ ♀ ♀ ♂ ♀ ♀ ♂ ♀

Fibonacci og biene sier takk for seg… Slutt !