DET GYLDNE SNIT OG PENROSEFLISER 1 Hvad er

DET GYLDNE SNIT OG PENROSEFLISER 1

Hvad er det gyldne snit? En måde at dele en liniestykke på. n Talværdi. n Nogle linjer/snit i en billedflade. n Et forhold mellem nogle sider i en figur. n 2

Deling af et liniestykke n n Man siger at et punkt P deler en linje i det gyldne snit, hvis der gælder at forholdet mellem hele linjen AB og det længste stykke er det samme som forholdet mellem det længste stykke og det korteste stykke. P deler altså linien AB i det gyldne snit, hvis der gælder følgende: 3

Talværdien af det gyldne snit Ф 4

Særlige egenskaber ved Ф og Ф´ 5

Konstruktion med passer og lineal a a a b b 6

Eksempler Ting og sager Mennesket Dyr Musik Lyrik Reklamer Arkitektur Kunst 7

Fibonaccital 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . , 2584, 4181, . . … 8

Fibonaccital i naturen 8 grønne 13 røde Stamtræer for en hanbi 9

Pentagon og pentagram n n Forholdet mellem diagonal og side er Φ Diagonalerne snitter hinanden i det gyldne snit 10

Aperiodiske mønstre. n n Hao Wang(1961) påstod at dannelse af et aperiodiske mønster (Ingen translationssymmetri) ikke kunne lade sig gøre. R. Berger(1966) 20426. R. Robins(1971) 35 senere 6. Sir Roger Penrose(1974) 2. Penrose fliser. 11

Penrosefliser 12

Pilen og dragen 13

Fliselægning Hovedreglen når der lægges et flisemønster er: Ensfarvede cirkelbuerne skal forbindes. 14

15

16

Dekomposition 17

18

19

20

Penroseromber 21

Egenskaber ved penrosefliser n Når mønsteret bliver stort gælder at n Når man tager et endeligt område, vil man altid kunne finde et endeligt område magen til, inden for en afstand a. Hvis d er diameteren af cirklen der omslutter området gælder: n Hvis man tager et endeligt område udfyldt med Penrose fliser, vil man kunne dække området på denne ene måde (Rotationer er dog tilladte). I et uendeligt mønster er der ingen translationssymmetri. Der kan konstrueres uendeligt mange forskellige uendelige områder. n n 22

Referencer n n n n n ”Nettet”. God startside om penrosefliser: http: //www 2. spsu. edu/math/tile/aperiodic/index. htm God inspirationsside om det gyldne snit: http: //www. mcs. surrey. ac. uk/Personal/R. Knott/Fibonacci/fib. html God insppirationsside om Fibonaccital: http: //www. mcs. surrey. ac. uk/Personal/R. Knott/Fibonacci/fibnat. html Grunbaum, B and Shephard, G. C. , Tilings and Patterns, Freeman, 1987 Martin Gardner, "Penrose Tilings I & II", in Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers Jesper Frandsen, De(t) gyldne snit, 1. og 2. udgave, Systime Mario Livio, Det gyldne snit, 2004, Nyt Teknisk Forlag Penrose generator: http: //www. westmaster. com/zidek/research/ Sæt med 160 penrosefliser kan købes for 100, - kr. De kan bestille på http: //www. cc 5. dk 23