DESKRIPSI DATA NUMERIK A UKURAN TENDENSI SENTRAL rata2

DESKRIPSI DATA NUMERIK A. UKURAN TENDENSI SENTRAL rata-2 terhitung MEAN GEOMETRIK MEAN ARITMETIK TENDENSI SENTRAL MEAN HARMONIK MEDIAN MODUS rata-2 lokasi

A. MEAN ARITMETIK Metode mencari rata 2 ini dgn mengambil jml harga 2 variabel & kemudian dibagi dgn byknya harga 2 tsb dinyatakan dgn Formulasinya: n adl byknya pengamatan; variabel mengambil harga x 1, x 2, . . , xn berupa data mentah/raw data Misal hendak menghitung mean aritmetik dari data berikut: x 1, x 2, x 3, x 4, x 4 Mean aritmetik diberikan sbb: Sehingga =

Data 2 tsb (x 1, x 2, x 3, x 4, x 4), dinyatakan dlm bentuk distribusi frekuensi: Harga variabel Frekuensi x 1 x 2 x 3 x 4 3 2 4 6 Total 15 dapat Mean dr distribusi frekuensi tsb adl: Data di atas tdk terkelompok, shgg mean aritmetik diperoleh dg melihat total dibagi dgn byk pengamatan. Bgm dg data yg terkelompok…? ? ? if… xi memiliki frekuensi fi, maka mean aritmetiknya sbb:

Ex 1: Dlm survey 60 industri kimia, diperoleh data sbb: xi = profit (rp. 000) fi = jml persh yg dpt profit xi xifi 10 15 20 25 30 5 10 25 12 8 50 150 500 300 240 N = ∑fi = 60 ∑fixi =1240 Mean aritmetik profit adl: Bgm kl data dibuat dlm bentuk interval. . ? ? Ada 3 asumsi utk menghitung rata 2 frekuensi dg interval kelas 1. Kelas 2 hrs tertutup 2. Harga pd setiap kls terdistribusi seragam utk stp interval 3. Titik tengah dr kls hrs menunjukkan rata 2 kls

Contoh: Harga tengah interval kls (xi) = x 1 frekuensi (fi) = f 1 x 2 f 2 x 3 …… xn f 3 …. . Fn Mean aritetik utk data terkelompok dlm interval adl: Ex 2: brkt data frekuensi wkt layanan pemesanan dr sbh stasiun kereta api kpd 25 pelanggan. Brp mnt rata 2 tunggu? Interval kls 2, 1 2, 7 3, 3 3, 9 4, 5 5, 1 – – – 2, 6 3, 2 3, 8 4, 4 5, 0 5, 6 Nilai tengah (xi) fi xifi 2, 35 2, 95 3, 55 4, 15 4, 75 5, 35 2 6 7 5 3 2 4, 70 17, 70 24, 85 20, 75 14, 25 10, 70 Jumlah kelas k = 1 + 3, 322 log n di mana 2 k>n; di mana k= jumlah kelas; n = jumlah data Mean aritmetik:

Ex 3: data penjualan (dlm ribu Rp) sebuah pershaan teknik slm 20 th adl sbb: 14, 8, 23, 31, 26, 5, 11, 27, 46, 32, 28, 12, 26, 8, 9, 16, 42, 30, 7, 22 Hitung mean aritmetik utk data mentah tsb tnp dikelompokkan? Brp mean aritmetik utk data terkelompoknya? 1. Data tdk terkelompok: 2. Data terkelompok/interval: Interval kls Nilai tengah (xi) fi xifi 1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 - 50 5, 5 15, 5 25, 5 35, 5 45, 5 5 4 6 3 2 27, 5 62, 0 153, 0 106, 5 91, 0 ∑fi = 20 ∑xifi = 440, 0 Mean aritmetik: taksiran thd mean

Rata-Rata Diboboti Ex 4. seseorang menginvestasikan 3 mcm saham X, Y, Z, masing 2 Rp 20. 000; Rp 30. 000; Rp 12. 000. Pd akhir thn dividen yg ditrm Rp 1. 200; Rp 840 Org tsb tertarik utk mengetahui pengembalian rata 2 yg diperoleh. Hal ini dpt dilakukan sbb: Saham Investasi Dividen X Y Z 20. 000 30. 000 12. 000 1. 200 840 Return = X 1 = 6% X 2 = 4% X 3 = 7% Mean aritmetik = Perhtgan ini menganggp semua saham diberi bobot yg sama, pdhal sbnrnya tdk demikian. Saham Y yg diberi bobot 4% ternyt tlh diambil olh dana investor yakni Rp 30. 000. Bila hal ini diabaikan, maka perhtgan mean aritetik menjd keliru. Oleh krn itu perlu dikoreksi (dikenal dg mean aritmetik yg diboboti)

Cara koreksi sbb: Dg cara di atas, dpt ditulis formula mean aritmetik yg diboboti. Misal wi menytkan bobot var xi (pengaruh var xi scr rata 2), maka: Jika wi = 1 utk semua i, diperoleh: Jika data memiliki nilai ekstrem, pembobotan yg sama ini akan mengandung kesalahan, karena akan mengganggu rata 2. Oleh krn itu rumusan akan sdkt berbeda.

Mean aritmetik yg diboboti utk data yg ekstrem: Ex 5. berikut data ekstrem kontribusi rata-rata (hrg jual – biaya) penjualan produk 6 produk. Brp rata 2 kontribusi sebenarnya? Produk Kontribusi/unit (Rp) P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 10 20 10 5 30 35 Penjualan slm setahun (Rp) 50. 000 40. 000 20. 000 50. 000 10. 000 30. 000 (0, 25) (0, 20) (0, 10) (0, 25) (0, 05) (0, 15) 200. 000 Ket: angka dlm kurung adl proporsi penjualan thd total penjualan

Jika manajer mengabaikan penjualan msg 2 produk, sert memberikan bobot yg sama utk stp poduk, mean aritmetik adl: Jd rata 2 kontribusi adl 16, 66. Ttp, mgk jd pengamatan bhw P 4 memiliki kontribusi kecil (rp 5), ttp penjualannya tinggi. Sebaliknya, P 5 kontribusinya tertinggi (Rp 25), ttp penjualannya rendah. Dg cr ini, pembobotan yg sama tdk dpt dibenarkan. Olh krn itu prl dilihat proporsi utk pembobotan sbb: B. MEAN GEOMETRIK Didefinisikan sbg akar ke-n dr hsl kali bilangan 2 yg dirata 2 kan. Formulasinya: atau

Ex 6. cari mean geometrik dari: 2, 4, 8 Ex 7. cari mean geometrik distribusi brkt! Kelas Nilai tengah (xi) fi Log 10 xi fi. Log 10 xi 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 5 15 25 35 5 8 3 4 0, 6990 1, 1761 1, 3979 1, 5441 3, 4950 9, 4088 4, 1937 6, 1764 Total 20 23, 2739 Ex 8. cari laju rata 2 kenaikan hrg th 1 yg bertambah 20%, th brkt 25%, & th 3 sebesar 44%?

Sbg catatan: Mean Geometrik tdk dpt dihitung bila slh satu nilai negatif. Selanjutnya, bila slh stu nilainya nol, maka G = 0. Mean Geometrik lbh baik dr Aritmetik, kl data dinyatakan olh perbandingan/menunjukkan laju perubahan C. MEAN HARMONIK Didefinisikan sbg inverse dari rata 2 kebalikannya. Formulasinya: Jika x 1, x 2, . . , xn tdk satupun bernilai nol & memiliki frekuensi f 1, f 2, . . , fn, mk mean harmonik adl:

Ex 9. hitung mean harmonik dari: 4, 8, 16 ? Ex 10. cari mean harmonik distribusi brkt! Kelas Nilai tengah (xi) fi 2– 4 4– 6 6– 8 8 - 10 3 5 7 9 20 40 30 10 100 1/ xi 0, 3333 0, 2000 0, 1428 0, 1111 fi. (1/xi) 6, 666 8, 000 4, 284 1, 111 20, 061

D. MEDIAN Didefinisikan sbg nilai tengah yg merupakan hrg perubahan (variat), di mana terdpt frekuensi yg sama antara hrg yg lbh besar/lbh kecil Formulasi: Utk frek ganjil, item ke-n adl median. Jika frek genap, katakan 2 n, maka item ke-n & (n + 1) adl item sentral Ex 11. hitung median dr waktu pelayanan: 2; 10; 4; 8; 7; 3; 5 Urutkan dr kecil ke besar: 2; 3; 4; 5; 7; 8; 10 Med = Baris data, yaitu 5 ; artinya med menempati posisi ke-4 dari

Ex 12. hitung median dr data brkt: 4; 2; 8; 9; 11; 7; 6; 5 Urutkan dr kecil ke besar: 2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 11 Med = Ex 13: cari median dr distribusi brkt: Keuntungan kotor Jml perusahaan Frek. Kumulatif 0 - 10 10 - 20 20 - 30 30 - 40 40 - 50 22 38 46 35 20 22 60 106 141 161 l = bts terendah kls median; f = frek kls median; F = frek kumulatif; h = lebar kelas

Berdsr data: N = 161; median adl ukuran besar dr item Med = ; item ke-81 terletak antara kelompok 20 – 30 Jd 20 – 30 adl kls median, dg bts terendah 20 Jd l = 20; N = 161; F = 60; f = 46; h = 10 E. MODUS Didefinisikan sbg nilai yg paling sering muncul l = bts terendah kls modus (memiliki fre max); f 1, f 2 = frek kls sblmnya & modus kls brktnya; h = lebar kelas

Ex 14. hitung modus dr data brkt: 4; 2; 8; 9; 11; 7; 6; 5 Urutkan dr kecil ke besar: 2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 11 Keuntungan kotor Jml perusahaan 0– 7 7 – 14 14 – 21 21 - 28 28 – 35 35 – 42 42 – 49 19 25 36 72 51 43 38 Frek terbsr adl 72 terletak pd kls 21 – 28. dg dmkian modus kls adl 21 – 28 & bts terendah kls 21. Jd l = 21, f 1 = 36, f 2 = 51 & h =7

HUBUNGAN RATA-MEDIAN-MODUS 1. = Md= Mo 2. Mo < Md < 3. < Md < Mo

UKURAN PENYEBARAN • Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya. • Ukuran penyebaran membantu mengetahui sejauh mana suatu nilai menyebar dari nilai tengahnya, semakin kecil semakin besar. Penggunaan ukuran penyebaran • Rata-rata bunga bank 11, 43% per tahun, namun kisaran bunga antar bank dari 7, 5% - 12, 75% • Rata-rata inflasi Indonesia 1995 -2001 sebesar 18, 2% dengan kisaran antara 6% - 78% • Harga rata-rata saham Rp 470 per lembar, namun kisaran saham sangat besar dari Rp 50 - Rp 62. 500 per lembar

BEBERAPA BENTUK UKURAN PENYEBARAN 1. Rata-rata sama, penyebaran berbeda

2. Rata-rata berbeda dengan penyebaran berbeda 3. Rata-rata berbeda dengan penyebaran sama

UKURAN PENYEBARAN DATA TIDAK BERKELOMPOK A. RANGE Definisi: Nilai terbesar dikurang nilai terkecil. Contoh: Nilai Negara Maju Negara Industri Baru Negara Asean Indonesia Tertinggi 3, 2 7, 6 7, 1 8, 2 Terendah 2, 0 -1, 5 -9, 4 -13, 7 Range/Jarak Keterangan Range/Jarak

B. DEVIASI RATA-RATA Definisi: Rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya. Rumus: Tahun 1994 MD = ( |X – X|)/n X – X X Nilai Mutlak 7, 5 4, 2 1995 8, 2 4, 9 1996 7, 8 4, 5 1997 4, 9 1, 6 1998 -13, 7 -17, 0 1999 4, 8 1, 5 2000 3, 5 0, 2 2001 3, 2 -0, 1 Jumlah Rata-rata 0, 2 0, 5

C. VARIANS Definisi: Rata-rata hitung dari deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Rumus: Tahun 2 = (X – )2/n X– X (X – )2 1994 7, 5 4, 2 17, 64 1995 8, 2 4, 9 24, 01 1996 7, 8 4, 5 20, 25 1997 4, 9 1, 6 2, 56 1998 -13, 7 -17, 0 289, 00 1999 4, 8 1, 5 2, 25 2000 3, 5 0, 2 0, 04 2001 3, 2 -0, 1 0, 01 Jumlah Rata-rata

D. STANDAR DEVIASI Definisi: Akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya. Rumus: = ( X - )2 N Contoh: Jika varians = 44, 47, maka standar deviasinya adalah:

UKURAN PENYEBARAN DATA BERKELOMPOK A. RANGE Definisi Range: Selisih antara batas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah. Contoh: Range = ? Kelas ke- Interval Jumlah Frekuensi (F) 1 160 - 303 2 2 304 - 447 5 3 448 - 591 9 4 592 - 735 3 5 736 - 878 1

DEVIASI RATA-RATA 160 -303 Titik Tenga h (X) 231, 5 2 463, 0 -259, 2 518, 4 304 -447 375, 5 5 1. 877, -115, 2 5 576, 0 448 -591 519, 5 9 4. 675, 5 28, 8 259, 2 592 -735 663, 5 3 1. 990, 0 172, 8 518, 4 736 -878 807, 0 1 807, 0 316, 3 Interval f f. X X – X f X – X RUMUS MD = f |X – X| N

VARIANS DAN STANDAR DEVIASI DATA BERKELOMPOK Varians Rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya RUMUS: 2 = ( X - )2 N Standar Deviasi Akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya. RUMUS: = ( X - )2 N

CONTOH Varians : S 2 = (X – )2 n-1 Standar Deviasi: S = (X – )2 = S 2 X (X – )2 8, 2 2, 9 8, 41 4, 9 -0, 4 0, 16 4, 8 -0, 5 0, 25 3, 2 -2, 1 4, 41 n-1