DESCRIPCION DE SISTEMAS Tema 2 Ing Sist sgpisa

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Indice n Sistemas en Tiempo Continuo n Sistemas Lineales e Invariantes n Transformada de

Indice n Sistemas en Tiempo Continuo n Sistemas Lineales e Invariantes n Transformada de Laplace n Función de Transferencia n Diagramas de Bloques n Espacio de Estado Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 2

Sistemas en Tiempo Continuo n Un sistema en tiempo continuo viene caracterizado por magnitudes

Sistemas en Tiempo Continuo n Un sistema en tiempo continuo viene caracterizado por magnitudes o señales que toman valor en cada instante de tiempo n Señales continuas frecuentes impulso escalon Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 3

Sistemas en Tiempo Continuo exponencial rampa senoidal Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116

Sistemas en Tiempo Continuo exponencial rampa senoidal Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 4

Sistemas en Tiempo Continuo n Descripcion de STC en base a ecuaciones diferenciales con

Sistemas en Tiempo Continuo n Descripcion de STC en base a ecuaciones diferenciales con F en general no lineal. n Particularización al caso de F combinación lineal de salidas y entradas n Objetivo: Determinación de la salida y(t) a partir de la entrada u(t) (solución de la ecuaciones diferenciales) Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 5

Sistemas Lineales e Invariantes n Los sistemas lineales poseen la propiedad de superposición: la

Sistemas Lineales e Invariantes n Los sistemas lineales poseen la propiedad de superposición: la respuesta del sistema ante un conjunto de entradas simultáneas se puede descomponer en la suma de las respuestas individuales Sistema Lineal Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 6

Sistemas Lineales e Invariantes n Un sistema en tiempo continuo definido mediante ecuaciones diferenciales

Sistemas Lineales e Invariantes n Un sistema en tiempo continuo definido mediante ecuaciones diferenciales se dice que es lineal si se puede expresar como una combinación lineal de derivadas de la salida y la entrada en la forma donde y son constantes o funciones del tiempo t. En el caso de que los coeficientes no dependan explícitamente del tiempo el sistema se dice que es invariante en el tiempo. Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 7

Sistemas Lineales e Invariantes n En el caso de que los coeficientes no cumplan

Sistemas Lineales e Invariantes n En el caso de que los coeficientes no cumplan las condiciones reseñadas anteriormente los sistemas se denominan No-lineales. n En Física, la mayor parte de las relaciones que definen a un sistema son No-lineales, y es más, los sistemas lineales son una particularización de los sistemas No-lineales en rangos limitados de operación. n Algunos tipos de relaciones No-lineales : valor absoluto, saturación, espacio muerto, relé ideal, … n La característica más importante de los sistemas No-lineales y a la vez limitante es la no aplicación del principio de superposición. Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 8

Sistemas Lineales e Invariantes No Linealidades comunes Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116

Sistemas Lineales e Invariantes No Linealidades comunes Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 9

Sistemas Lineales e Invariantes n La solución de los sistemas No-lineales presenta las siguientes

Sistemas Lineales e Invariantes n La solución de los sistemas No-lineales presenta las siguientes limitaciones: 1. No son generalizables, esto es, las conclusiones extraídas solo son válidas para las condiciones iniciales y parámetros con que han sido determinadas. 2. No existen soluciones analíticas, por lo que se han de obtener en forma numérica mediante simulación. n La técnica de linealización consiste en desarrollar formas linealizadas de los sistemas No-lineales originales en torno a un punto llamado de operación nominal mediante técnicas de aproximación. n La forma linealizada obtenida será válida solo para pequeñas variaciones en torno al punto de operación nominal. Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 10

Transformada de Laplace Transformada Directa de Laplace n La técnica de la transformada de

Transformada de Laplace Transformada Directa de Laplace n La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes, transformando estas en ecuaciones algebraicas lineales. n La transformada de Laplace de una función se define como pasando del dominio temporal al dominio complejo , siendo el par funcion-transformada. Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 11

Transformada de Laplace n Propiedades de la Transformada de Laplace n Se exponen un

Transformada de Laplace n Propiedades de la Transformada de Laplace n Se exponen un conjunto de propiedades de la transformada que harán más fácil su cálculo. 1. Linealidad 2. Desplazamiento 3. Amortiguación 4. Derivacion Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 12

Transformada de Laplace En el caso más general 5. Integración 6. Multiplicación por potencias

Transformada de Laplace En el caso más general 5. Integración 6. Multiplicación por potencias de t 7. Producto 8. Teorema del Valor Final Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 13

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Transformada de Laplace n La aplicación de la transformada de Laplace a las ecuaciones

Transformada de Laplace n La aplicación de la transformada de Laplace a las ecuaciones diferenciales que definen a un sistema lineal e invariante conducen a un conjunto de ecuaciones algebraicas en s Transformada Inversa de Laplace n La transformada inversa de Laplace recupera una función a partir de su transformada , según n El cálculo de la transformada inversa no se suele hacer según su fórmula de definición, sino aprovechando el conocimiento de la transformada directa. Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 16

Transformada de Laplace n En la mayoría de las situaciones que se van a

Transformada de Laplace n En la mayoría de las situaciones que se van a encontrar, la cuya transformada inversa se quiere hallar es una función racional con n El cálculo de la transf. inversa se realizará descomponiendo Y(s) en fracciones simples. Para ello se calculan las raíces del denominador D(s) = 0. n La resolución de esta ecuación llamada ecuación característica da como resultado un conjunto de raíces con grados de multiplicidad , en general complejas. Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 17

Transformada de Laplace n La descomposición en fracciones se hará de la forma n

Transformada de Laplace n La descomposición en fracciones se hará de la forma n El cálculo de los coeficientes se hará por igualación o mediante el método de los residuos, tal que: 1) para raíces con grado de multiplicidad 1 (simples), 2) para raíces con grado de multiplicidad rj (repetidas) Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 18

Transformada de Laplace Una vez determinadas las Kij se procederá a calcular y(t) utilizando

Transformada de Laplace Una vez determinadas las Kij se procederá a calcular y(t) utilizando las relaciones expuestas en la tabla de transformadas de Laplace aplicadas a las fracciones simples obtenidas de la descomposición, tal que: 1) para raíces reales simples 2) para raíces reales múltiples 3) para raíces complejas simples Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 19

Función de Transferencia n La función de transferencia de un sistema lineal e invariante

Función de Transferencia n La función de transferencia de un sistema lineal e invariante G(s) está definida como la relación entre la transformada de Laplace de la salida Y(s) y la transformada de la entrada U(s), bajo la suposición de condiciones iniciales nulas, tal que n Para el sistema tomando transformadas en ambos miembros n La función de transferencia es una propiedad del sistema en sí, ya que no depende de la entrada al sistema. Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 20

Función de Transferencia n Se pasa pues de representar un sistema que viene dado

Función de Transferencia n Se pasa pues de representar un sistema que viene dado por su ecuación diferencial en la forma de función de transferencia. n Esta forma de representación corresponde a la descripción externa, la cual no provee ninguna información de la estructura interna del sistema. Más aún, la función de transferencia de sistemas distintos puede ser la misma (sistemas análogos). n A la potencia más alta del denominador de G(s) (ecuación característica) se le denomina orden del sistema n A las raíces de la ecuación característica se le denominan polos del sistema, mientras que a las raíces del numerador se le llaman zeros del sistema. Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 21

Función de Transferencia l Si un sistema tiene varias entradas y/o varias salidas existe

Función de Transferencia l Si un sistema tiene varias entradas y/o varias salidas existe una matriz de transferencia cuyos elementos relacionan cada salida Yi(s) con cada entrada Uj(s), cuando las demás entradas son nulas Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 22

Función de Transferencia l Por tanto, las funciones de salida serán l Ing. Sist.

Función de Transferencia l Por tanto, las funciones de salida serán l Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 23

Diagramas de Bloques n Un diagrama de bloques de un sistema es una representación

Diagramas de Bloques n Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada uno de sus componentes y sus interrelaciones. En un diagrama de bloques las variables del sistema se enlazan entre sí a través de bloques funcionales. n El bloque simboliza la operación matemática que el bloque produce a la salida sobre la señal de entrada, expresada como func. de transferencia n Ademas de los bloques funcionales aparecen también el punto de suma y el punto de reparto Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 24

Diagramas de Bloques n El diagrama de bloques se obtiene a partir de las

Diagramas de Bloques n El diagrama de bloques se obtiene a partir de las ecuaciones dinámicas que describen el comportamiento de cada componente a las que previamente se las aplica la transf. de Laplace, conectando finalmente los componentes del diagrama de bloques completo n A partir del diagrama de bloques de un sistema se pueden realizar modificaciones con objeto de simplificar o reducir el diagrama original, hasta quedar un solo bloque equivalente. n Reducción del diagrama de bloques original por aplicación de las reglas del algebra de bloques Ing. Sist. sgp@isa. uma. es (i 116 -d El Ejido) 952 -13 -14 -12 25

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