DES MATHMATIQUES LMENTAIRES POUR DBUSQUER DES FRAUDES OU

DES MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES POUR DÉBUSQUER DES FRAUDES OU DES ERREURS EN ÉCONOMIE OU AILLEURS …

Un peu de math…

Logarithme Le logarithme d’un nombre positif a, noté log a, est la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir a. log 1000 = 3 log 0, 01 = -2 log 2 0, 301 car car 103 = 1000 10 -2 = 0, 01 100, 301 2

Premier chiffre significatif 4853, 746 4 � 4 0, 003911 � 3

Notation scientifique 4853, 746 = 4, 853746 103 mantisse 0, 003911 = 3, 911 mantisse -3 10

Loi de Benford…

Loi de Benford Expériences: • Nombres extraits de coupures de journaux • Prix relevés au hasard dans un magasin: prix sur un assez long ticket de caisse (ou assemblage de plusieurs), prix figurant sur une publicité, … • • Résultats des élections présidentielles françaises 2012 Résultats sportifs Nombre d’habitants de communes Altitudes de montagnes, longueurs de fleuves, … PIB d’un ensemble de pays Cours de la bourse Nombres extraits de comptabilité d’entreprises …

Premier chiffre significatif 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Total effectif fréquence

Nombre d’habitants de communes

Nombre d’habitants des 36 722 communes françaises au 1/1/2009 Premier chiffre significatif effectif fréquence 1 11 096 30, 1 % 2 6 682 17, 6 % 3 4 644 12, 5 % 4 3 450 9, 7 % 5 2 962 7, 9 % 6 2 411 6, 7 % 7 2 062 5, 8 % 8 1 801 5, 1 % 9 1 608 4, 6 % Total 36 716 100 %

Premier chiffre significatif du nombre d’habitants des communes françaises au 1 er janvier 2009 35% population des communes françaises 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 36 716 données 3 4 5 6 7 8 (+ 6 communes vides!) 9

Premier chiffre significatif du nombre d’habitants des communes belges au 1 er janvier 2011 40% population des communes belges 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 589 données 3 4 5 6 7 8 (aucune commune vide) 9

Loi de Benford

1881 Simon Newcomb (1835 -1909)

1938 Frank Benford(1883 -1948)

Un ensemble de valeurs numériques suit la loi des nombres anormaux Benford lorsque, pour chaque chiffre c (donc de 1 à 9), la proportion de valeurs commençant par c vaut

Premier Fréquence théorique chiffre significatif c 1 log( (1+1)/1) = log 2 = 0, 301 2 log ((2+1)/2) = log 3/2 = 0, 176 3 log ((3+1)/3) = log 4/3 = 0, 125 4 log ((4+1)/4) = log 5/4 = 0, 097 5 log ((5+1)/5) = log 6/5 = 0, 079 6 log ((6+1)/6) = log 7/6 = 0, 067 7 log ((7+1)/7) = log 8/7 = 0, 058 8 log ((8+1)/8) = log 9/8 = 0, 051 9 log ((9+1)/9) = log 10/9 = 0, 046 Total 1

35% Benford 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nombre d’habitants de communes

Premier chiffre significatif du nombre d’habitants des communes françaises au 1 er janvier 2009 35% Benford population des communes françaises 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 36 716 données 3 4 5 6 7 8 (+ 6 communes vides!) 9

Premier chiffre significatif du nombre d’habitants des communes belges au 1 er janvier 2011 35% Benford Votes à la Chambre, Belgique, 13 juin 2010 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 589 données 3 4 5 6 7 8 (aucune commune vide) 9

PIB en 2011

Premier chiffre significatif du PIB de (presque) tous les pays en 2011 35% Benford PIB en 2011 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 183 données 3 4 5 6 7 8 9

Superficie des principaux pays

Premier chiffre significatif de la superficie des principaux pays du monde 35% Benford superficie en milliers de km 2 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 88 données 3 4 5 6 7 8 9

Nombre de voies à des élections

Nombre de votes obtenus par les listes sur tout le royaume de Belgique, à la chambre le 13 juin 2010 Circonscription Kieskring No Circonscription de Circonscription du Circonscription de Bruxelles-Hal- Circonscription de Flandre Circonscription de d'Anvers Brabant wallon Flandre orientale Hainaut Luxembourg Vilvorde occidentale Louvain Liège Limbourg Namur Kieskring Waals. Kieskring Oost. Kieskring Brussel- Kieskring Leuven Kieskring West. Kieskring Luik Kieskring Limburg Kieskring Namen Antwerpen Brabant Vlaanderen Henegouwen Luxemburg Halle-Vilvoorde Vlaanderen 1 Vlaams Belang 177'012 41'917 30'338 2 VIVANT 3 Lijst Dedecker 25'081 4 Open Vld 120'935 59'840 5 PS 139'660 6 MR 7 FN 8 CDH 9 CD&V 71'200 117'817 9'442 9'907 60'210 30'463 45'814 106'265 166'278 51'146 159'912 81'421 126'608 5'476 67'324 29'331 TOTAL - TOTAAL 68'413 506'697 6'211 15'474 150'577 64'741 563'873 348'184 216'827 45'869 92'857 894'543 135'118 31'459 71'099 605'617 20'129 7'986 33'591 82'924 84'393 50'564 45'905 360'441 707'986 170'260 57'902 51'328 180'702 147'151 100'643 10 sp. a 156'976 38'689 56'176 118'803 135'212 97'011 602'867 11 N-VA 336'631 101'991 85'399 188'317 269'049 154'230 1'135'617 12 ecolo 13 GROEN! 66'681 37'152 67'993 83'791 18'853 38'577 313'047 84'314 25'186 30'905 49'533 70'297 25'754 285'989 20'665 BELG. UNIE 5'734 3'389 5'429 2'618 3'495 EGALITE 5'670 5'670 FN+ 11'553 Front des gauches LSP 4'162 1'686 5'442 6'833 1'206 1'405 20'734 2'841 600 1'443 1'907 6'791 MP Education 2'572 MSplus 1'031 1'293 135 368 2'827 N 610 PIRATE PARTY 2'200 2'200 PROBRUXSEL 7'201 7'201 PTB+ 2'365 12'136 18'706 1'194 4'456 38'857 PTB+PVDA+ 9'313 9'313 22'132 3'703 6'489 11'950 8'644 52'918 Parti Pensionné PP 6'688 Parti Populaire 21'143 11'461 19'852 18'642 3'922 8'985 84'005 R. W. F. 1'550 4'768 11'414 8'474 2'249 7'288 35'743 RESPECT 5'630 V. I. T. A. L. 2'259 VRIJHEID 1'576 1'576 W+ 1'136 1'679 1'675 1'367 5'857 WALLONIE D'ABORD 3'113 3'009 13'795 9'170 2'929 4'626 36'642 1'096'182 834'106 315'746 227'474 785'221 955'754 722'740 605'822 534'910 160'998 288'414 6'527'367

Premier chiffre significatif des nombres de votes à la chambre 35% Benford Votes à la Chambre, Belgique, 13 juin 2010 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 178 données 3 4 5 6 7 8 9

Elections présidentielles 2012 2ème tour http: //elections. interieur. gouv. fr/PR 2012/

Résultats des élections présidentielles françaises pour les 96 départements métropolitains 2ème tour, 6 mai 2012 Premier chiffre significatif effectif fréquence 1 66 34, 4 % 2 30 15, 6 % 3 27 14, 1 % 4 19 9, 9 % 5 10 5, 2 % 6 9 4, 7 % 7 12 6, 3 % 8 10 5, 2 % 9 9 4, 7 % Total 192 100 %

Premier chiffre significatif des nombres de votes aux élections présidentielles, 2ème tour, 6 mai 2012 40% 2ème tour Benford 2ème tour 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 192 données 3 4 5 6 7 8 9

Elections présidentielles 2012 1 er tour http: //elections. interieur. gouv. fr/PR 2012/

57 - Moselle

Résultats des élections présidentielles françaises pour les 96 départements métropolitains 1 er tour, 22 avril 2012 Premier chiffre significatif effectif fréquence 1 260 27, 1 % 2 173 18 % 3 122 12, 7 % 4 98 10, 2 % 5 77 8 % 6 71 7, 4 % 7 55 5, 7 % 8 54 5, 6 % 9 50 5, 2 % Total 960 100 %

Premier chiffre significatif des nombres de votes aux élections présidentielles, 1 er tour, 22 avril 2012 35% 1 er tour Benford 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 960 données 3 4 5 6 7 8 9

Prix dans des magasins

1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne 2012 45% Benford Colruyt 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 145 données (prix du 26 septembre au 7 octobre 2012) 6 7 8 9

1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne 2012 35% Benford Cora 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 239 données (prix du 26 septembre au 2 octobre 2012) 6 7 8 9

1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne 2012 35% Benford Carrefour 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 882 données (prix du 25 septembre au 2 octobre 2012) 6 7 8 9

1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne 2012 45% Benford Colruyt Cora Carrefour 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 6 145, 239 et 882 données (fin septembre - début octobre 2012) 7 8 9

1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne 2012 35% Benford Colruyt, Cora et Carrefour 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 1266 données (fin septembre - début octobre 2012) 6 7 8 9

1 er chiffre significatif des prix de pubs suisses, semaine 3 en 2010 40% Benford Casino Manor Aldi Migros 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 er chiffre significatif des prix de pubs suisses, semaine 3 en 2010 35% Benford. Casino, Manor, Aldi et Migros 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 er chiffre significatif des prix de pubs belges 35% Benford Carrefour 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 236 données (7 au 13 juillet 2010) 5 6 7 8 9

Loi de Benford généralisée

Benford avec c entier entre 1 et 9 Benford généralisé avec a et b réels entre 1 et 10

avec x réel entre 1 et 10

log((9+1)/9) = 0, 046 log((8+1)/8) = 0, 051 log((7+1)/7) = 0, 058 log((6+1)/6) = 0, 067 log((5+1)/5) = 0, 079 log((4+1)/4) = 0, 097 log((3+1)/3) = 0, 125 log((2+1)/2) = 0, 176 log((1+1)/1) = 0, 301

1 er chiffre significatif i P ( 2ème chiffre significatif = 3 / 1 er chiffre significatif = i ) = P ( i, 3 mantisse i, 4 ) = log (i, 4 / i, 3) 1 log (1, 4 / 1, 3) = 0, 032 2 log (2, 4 / 2, 3) = 0, 018 3 log (3, 4 / 3, 3) = 0, 013 4 log (4, 4 / 4, 3) = 0, 010 5 log (5, 4 / 5, 3) = 0, 008 6 log (6, 4 / 6, 3) = 0, 007 7 log (7, 4 / 7, 3) = 0, 006 8 log (8, 4 / 8, 3) = 0, 005 9 log (9, 4 / 9, 3) = 0, 005 P (2ème chiffre significatif = 3) 0, 104

2ème chiffre significatif i P ( 2ème chiffre significatif = i ) 0 0, 120 1 0, 114 2 0, 109 3 0, 104 4 0, 100 5 0, 097 6 0, 093 7 0, 090 8 0, 088 9 0, 085 Total 1

35% Benford généralisé 30% Proba 2ème chiffre significatif Proba 1 er chiffre significatif 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3ème chiffre significatif i P ( 3ème chiffre significatif = i ) 0 0, 1018 1 0, 1014 2 0, 1010 3 0, 1006 4 0, 1002 5 0, 0998 6 0, 0994 7 0, 0990 8 0, 0986 9 0, 0983 Total 1

35% Benford généralisé 30% Proba 2ème chiffre significatif proba 3ème significatif Proba 1 er chiffre significatif 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Avec la loi de Benford généralisée, plus un chiffre est loin à droite du 1 er chiffre significatif, plus il est distribué uniformément, plus il se distribue donc conformément à notre intuition…

Invariance…

1 er chiffre significatif des prix de pubs françaises, en automne 2012 35% Benford Colruyt, Cora et Carrefour 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 1266 données (fin septembre - début octobre 2012) 6 7 8 9

1 er chiffre significatif des prix de pubs suisses, semaine 3 en 2010 35% Benford Casino, Manor, Aldi et Migros 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Invariance par changement d’unités Si une série de données suit la loi de Benford généralisée, alors cette loi est également suivie après un changement d’unités! 1961 Prix : Longueur: € Roger Pinkham FS km $ miles

Roger Pinkham a même montré que: La loi de Benford est l’unique formulation pour obtenir une loi invariante par changement d’échelle.

Un peu de poésie…

Existe-t-il dans la nature, une sorte de loi universelle régissant la proportion de chacun des chiffres 1 à 9 comme 1 er chiffre significatif ? Si une telle loi existe, elle doit forcément être valable indépendamment des unités de mesure humaines et par conséquent, en tenant compte du résultat de Pinkham, c’est forcément la loi de Benford…

Analyse des chiffres…

Revenus imposables de 14'414 compagnies américaines (d’après S. W. Smith, 2007)

Détection de fraudes (erreurs ou falsifications de données) dans les comptabilités ! Etats-Unis L’Américain Mark Nigrini (www. nigrini. com) a amassé dès le début des années 1990 un grand nombre de preuves empiriques qui justifient l’usage de la loi de Benford comme indicateur de fraude.

Analyse des chiffres • Depuis quand? Discipline récente • Fait quoi? S’assure de la cohérence interne et de la vraisemblance de grandes quantités de données numériques • Comment? Exploration systématique des chiffres données • Pourquoi? Repérage d’anomalies de fréquences dans les chiffres et détection de données manipulées, falsifiées ou inventées • Où? Depuis une vingtaine d’années: Canada, USA Récemment: Introduction en Europe

Détection de fraudes (erreurs ou falsifications de données) dans les comptabilités ! Constatations expérimentales 1) Des données « honnêtes » suivent assez souvent la loi de Benford. 2) Si la fraude est délibérée, elles suivent rarement la loi de Benford.

Attention! L’éloignement à la loi de Benford peut amener une suspicion de fraude mais ce n’est en aucun cas une preuve, d’autant plus que des comptabilités tout à fait honnêtes peuvent s’en éloigner très fortement ! Rien ne permet d’affirmer non plus que des données comptables qui suivent la loi de Benford sont nécessairement honnêtes!

Exemple de fraude détectée notamment grâce au non-respect de la loi de Benford En 1993, Wayne J. Nelson, employé du Trésor de l’état d’Arizona, est reconnu coupable d’avoir détourné près de 2 millions de dollars en versant à des personnes fictives 23 chèques dont voici les montants:

Date d’émission Montants en dollars Date d’émission 9 octobre 1992 1 927. 48 27 902. 31 14 octobre 1992 86 241. 90 72 117. 46 81 321. 75 97 473. 96 19 octobre 1992 93 249. 11 89 658. 17 87 776. 89 92 105. 83 79 949. 16 87 602. 93 Total Montants en dollars 96 879. 27 91 806. 47 84 991. 67 90 831. 83 93 766. 67 88 338. 72 94 639. 49 83 709. 28 96 412. 21 88 432. 86 71 552. 16 1 878 687. 58

Indices de fraude ?

Date d’émission 9 octobre 1992 14 octobre 1992 19 octobre 1992 Montants en dollars Date d’émission 1 927. 48 27 902. 31 86 86 241. 90 72 117. 46 72 81 321. 75 81 97 473. 96 97 19 octobre 1992 93 93 249. 11 89 89 658. 17 87 87 776. 89 92 92 105. 83 79 79 949. 16 87 87 602. 93 Total Montants en dollars 96 879. 27 96 91 806. 47 91 84 84 991. 67 90 90 831. 83 93 93 766. 67 88 338. 72 88 94 639. 49 94 83 709. 28 83 96 412. 21 96 88 88 432. 86 71 552. 16 71 1 878 687. 58

Indices de fraude 1) Les chiffres significatifs sont à l’opposé de la loi de Benford (plus de 90 % commencent par 7, 8 ou 9).

Date d’émission 9 octobre 1992 14 octobre 1992 19 octobre 1992 Montants en dollars Date d’émission 1 927. 48 27 902. 31 86 86 241. 90 72 117. 46 72 81 321. 75 81 97 473. 96 97 19 octobre 1992 93 93 249. 11 89 89 658. 17 87 87 776. 89 92 92 105. 83 79 79 949. 16 87 87 602. 93 Total Montants en dollars 96 879. 27 96 91 806. 47 91 84 84 991. 67 90 90 831. 83 93 93 766. 67 88 338. 72 88 94 639. 49 94 83 709. 28 83 96 412. 21 96 88 88 432. 86 71 552. 16 71 1 878 687. 58

Indices de fraude 1) Les chiffres significatifs sont à l’opposé de la loi de Benford (plus de 90 % commencent par 7, 8 ou 9). 2) Valeurs d’abord petites, puis les montants et leurs fréquences ont augmenté.

Date d’émission 9 octobre 1992 14 octobre 1992 19 octobre 1992 Montants en dollars Date d’émission 1 927. 48 27 902. 31 86 86 241. 90 72 117. 46 72 81 321. 75 81 97 473. 96 97 19 octobre 1992 93 93 249. 11 89 89 658. 17 87 87 776. 89 92 92 105. 83 79 79 949. 16 87 87 602. 93 Total Montants en dollars 96 879. 27 96 91 806. 47 91 84 84 991. 67 90 90 831. 83 93 93 766. 67 88 338. 72 88 94 639. 49 94 83 709. 28 83 96 412. 21 96 88 88 432. 86 71 552. 16 71 1 878 687. 58

Indices de fraude 1) Les chiffres significatifs sont à l’opposé de la loi de Benford (plus de 90 % commencent par 7, 8 ou 9). 2) Valeurs d’abord petites, puis les montants et leurs fréquences ont augmenté. 3) Tous les montants restent inférieurs à 100 000 dollars. (Des montants supérieurs auraient sans doute dû être visés par un supérieur hiérarchique. )

Date d’émission 9 octobre 1992 14 octobre 1992 19 octobre 1992 Montants en dollars Date d’émission 1 927. 48 27 902. 31 86 86 241. 90 72 117. 46 72 81 321. 75 81 97 473. 96 97 19 octobre 1992 93 93 249. 11 89 89 658. 17 87 87 776. 89 92 92 105. 83 79 79 949. 16 87 87 602. 93 Total Montants en dollars 96 879. 27 96 91 806. 47 84 84 991. 67 90 90 831. 83 93 93 766. 67 88 338. 72 88 94 639. 49 83 709. 28 83 96 412. 21 96 88 88 432. 86 71 552. 16 71 1 878 687. 58

Indices de fraude 1) Les chiffres significatifs sont à l’opposé de la loi de Benford (plus de 90 % commencent par 7, 8 ou 9). 2) Valeurs d’abord petites, puis les montants et leurs fréquences ont augmenté. 3) Tous les montants restent inférieurs à 100 000 dollars. (Des montants supérieurs auraient sans doute dû être visés par un supérieur hiérarchique. ) 4) Les paires de premiers chiffres 87, 88, 93 et 96 ont été utilisées deux fois dans les 23 montants.

Etude minutieuse récente : A. Saville, Université de Prétoria, Afrique du Sud, 2006. 1) Test statistique de la loi de Benford appliqué à 17 compagnies connues pour avoir manipulé leurs comptes : la loi de Benford n’était respectée dans aucun des 17 cas ! 2) Test également appliqué à 17 compagnies « honnêtes » afin de détecter des faux positifs : 4 comptabilités ne satisfaisaient pas la loi de Benford.

Comptes d’une école neuchâteloise…

Premier chiffre significatif des comptes d’une école neuchâteloise en 2011 …

1 er chiffre significatif des comptes d’une école neuchâteloise en 2011 35% Benford généralisé Ecole: 1 er chiffre significatif 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0 1 105 données 2 3 4 5 6 7 8 9

Détection de fraudes plus générales Une étude de psychologie expérimentale (menée par A. Dickmann - Zurich) a montré que des sujets auxquels on demande de créer des données les produisent sans respecter la loi de Benford, même s’ils connaissent celle-ci. Au mieux, on retrouve une certaine conformité pour le 1 er chiffre significatif. Mais dès qu’on s’intéresse au 2ème chiffre significatif, la distribution devient … à peu près n’importe quoi!

35% Benford généralisé 30% Proba 2ème chiffre significatif proba 3ème significatif Proba 1 er chiffre significatif 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 er chiffre significatif des comptes d’une école neuchâteloise en 2011 35% Benford généralisé Ecole: 1 er chiffre significatif 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0 1 105 données 2 3 4 5 6 7 8 9

2ème chiffre significatif des comptes d’une école neuchâteloise en 2011 35% Benford généralisé Ecole: 2ème chiffre significatif 30% 25% 20% 15% 10% 5% 5% 0% 0% 0 0 1 1 105 données 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9

3ème chiffre significatif des comptes d’une école neuchâteloise en 2011 35% Benford généralisé Ecole: 3ème chiffre significatif 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 0 1 105 données 2 3 4 5 6 7 8 9

Formation continue…

Pour les statisticiens…

Test d’hypothèse Les écarts entre les données comptables et la loi de Benford sont-ils significatifs? Hypothèse nulle H 0: « Les données suivent la loi de Benford. » Degré de fiabilité: • (= 0, 01 ou 0, 02 ou 0, 05 ou 0, 10) est le risque d’erreur de première espèce • qui quantifie le risque de rejeter l’hypothèse H 0 alors qu’elle est vraie.

données xi Effectifs réels – effectifs théoriques loi théorique effectif ni probabilité théorique (Benford) Pi Effectif théorique Npi 1 32 0, 301 31, 608 0, 392 0, 154 0, 005 2 20 0, 176 18, 490 1, 510 2, 281 0, 123 3 15 0, 125 13, 119 1, 881 3, 540 0, 270 4 10 0, 097 10, 176 -0, 176 0, 031 0, 003 5 0, 079 6 7 16 9 0, 067 8, 314 15, 343 7, 029 0, 657 0, 431 0, 028 7 4 0, 058 6, 089 8 12 2 0, 051 5, 371 16, 265 -4, 265 18, 188 1, 118 9 6 0, 046 4, 805 Somme N = 105 1, 547

Tabulation de la distribution du khi-carré 2 Aire = 1 – Aire =

Conclusion: Nous n’avons pas de raison de rejeter l’hypothèse nulle H 0 qui dit que les données suivent la loi de Benford. A méditer… Attention, cette conclusion est moins forte que de dire: les données suivent la loi de Benford…

Contre-exemples

• Série de nombres construite avec un générateur de nombres aléatoires • Numéros gagnants à une loterie • Vos tailles • Numéros de téléphone dans votre répertoire • Numéros des maisons d’une rue • …

Exemples « mathématiques »

n 2 n 1 er chiffre sign. de 2 n 1ère apparition de ce chiffre comme 1 er C. S. 1 2 2 4 4 4 3 8 8 8 4 16 1 1 5 32 3 3 6 64 6 6 7 128 1 8 256 2 9 512 5 10 1024 1 5

n 2 n 1 er chiffre sign. de 2 n 11 2048 2 12 4096 4 13 8192 8 14 16384 1 15 32768 3 16 65536 6 17 131072 1 18 262144 2 19 524288 5 20 1048576 1 1ère apparition de ce chiffre comme 1 er C. S.

n 2 n 1 er chiffre sign. de 2 n 21 2097152 2 22 4194304 4 23 8388608 8 24 16777216 1 25 33554432 3 26 67108864 6 27 134217728 1 28 268435456 2 29 536870912 5 30 1073741824 1 1ère apparition de ce chiffre comme 1 er C. S.

n 2 n 1 er chiffre sign. de 2 n 31 2147483648 2 32 4294967296 4 33 8589934592 8 34 17179869184 1 35 34359738368 3 36 68719476736 6 37 1. 37439 E+11 1 38 2. 74878 E+11 2 39 5. 49756 E+11 5 40 1. 09951 E+12 1 1ère apparition de ce chiffre comme 1 er C. S.

n 2 n 1 er chiffre sign. de 2 n 41 2. 19902 E+12 2 42 4. 39805 E+12 4 43 8. 79609 E+12 8 44 1. 75922 E+13 1 45 3. 51844 E+13 3 46 7. 03687 E+13 7 47 1. 40737 E+14 1 48 2. 81475 E+14 2 49 5. 6295 E+14 5 50 1. 1259 E+15 1 1ère apparition de ce chiffre comme 1 er C. S. 7

n 2 n 1 er chiffre sign. de 2 n 51 2. 2518 E+15 2 52 4. 5036 E+15 4 53 9. 0072 E+15 9 54 1. 80144 E+16 1 55 3. 60288 E+16 3 56 7. 20576 E+16 7 57 1. 44115 E+17 1 58 2. 8823 E+17 2 59 5. 76461 E+17 5 60 1. 15292 E+18 1 1ère apparition de ce chiffre comme 1 er C. S. 9

On constate qu’au plus l’exposant n grandit, au plus les fréquences d’apparitions des chiffres 1 à 9 comme 1 ers chiffres significatifs se rapprochent des fréquences de la loi de Benford. Vladimir Arnold et André Avez ont démontré qu’asymptotiquement la suite 2 n satisfait la loi de Benford.

1 er chiffre significatif des n 1 ers nombres de la suite 2 n 35% n = 100 n = 110 n = 120 n = 130 n = 140 n = 150 n = 160 n = 170 n = 180 n = 190 n = 200 n = 10 n = 20 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 70 n = 80 n = 90 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 er chiffre significatif des n 1 ers nombres de la suite 2 n 35% Benford n = 200 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Le mathématicien suisse Paul Jolissaint a démontré que la célèbre suite de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 34 … déjà connue pour plein de propriétés sympathiques ou amusantes, suit elle aussi asymptotiquement la loi de Benford !

Pourquoi des suites numériques issues du monde réel se conforment-elles raisonnablement à la loi de Benford ? Quelques tentatives d’explications… Ainsi des suites de nombres s’étalant sur plusieurs ordres de grandeur et de manière assez régulière s’approcheraient relativement bien de la loi de Benford.

Peut-être qu’un jour, quelque principe général qui nous échappe encore aujourd’hui, amènera une explication. Jean-Paul Delahaye