DERS 1 Taylor Serisi Alm ve Hata Analizi

DERS 1 Taylor Serisi Açılımı ve Hata Analizi Giriş Bu derste Taylor Serisi Açılımı (TSA) ile bir fonksiyonun yerine konmasıyla bir fonksiyonun değerini tahmin edilebilirliğini tanıtacağız. Daha sonra kesme hatasının önemli bir kavramını açıklamak için Taylor Seri Açılımını kullanacağız. Bunları yapmak için Excel ve Visual Basic Uygulamalarının (Visual Basic for Applications, VBA) nasıl kullanabileceğimize bakacağız.

Excel içinde bir pencere açtığımız zaman o sayfa çalışma sayfası olarak adlandırılır. Bu çalışma sayfaları tabanda üç sayfa olarak görülür. Daha yeni sayfalar da eklenebilir veya silinir. Istenirse sayfa isimleri değiştirilir. Bu noktada Excel sayfası ve VBA kullanarak bilgisayar programını kurmak için bazı temel araçları tanıtacağız. Bu derste Excel sayfalarının kullanımı içinde ve VBA fonksiyon kodlarını yazmanın bir temelini size vereceğiz öyle ki; sadece sayısal olarak analitik fonksiyonlarını TSA’da kullanmak için size öğretmeyeceğiz aynı zamanda diğer sayısal metodları geliştirmek için size yetenek kazandıracağız.

Sin fonksiyonunu dokuz veya daha fazla anlamlı sayı ile bilgisayarınızda nasıl bulabilirsiniz? Matematik el kitaplarında sin fonksiyonunun bir tablosu var mıdır? Hayır, bilgisayar sadece Taylor serisine dayalı bir sayısal algoritma kullanır. Bir fonksiyonun TSA, trigonometrik ve eksponensiyal fonksiyonlar gibi temel fonksiyonların değerlerini tahmin etmek için çok kuvvetli bir araçtır.

Ders 1. 1: Taylor Serisi Açılımı (TSA) ve Kesme Hatası Diyelim ki f(x) bütün derecelerdeki kesintisiz türevlerin kesintisiz bir fonksiyonu olsun o zaman a sayısıyla işaretlenmiş x ekseni üzerindeki bir noktada f (x)’ın Taylor Serisi Açılımı (TSA) aşağıdaki gibidir:

Burada x in değeri a’ya çok yakın, yani | x – a | < ε burada ε çok küçük, örneğin. ε <<1. Bir fonksiyon; a-ε ve a+ε, arasındaki bir noktada kendi Taylor Seri Açılımına çok yakın ise fonksiyon f(x) in [ x a, x + a ] kapalı aralığında bölgenin bütün x’leri için analitik olacağı söylenir. lim ( x – a )n = 0, n ∞ ça, Diğer bir deyimle bölgenin bütün x’leri için çok büyük olur ve daha fazla terim TSA’a eklenir. Sonradan eklenen terimler gittikçe küçük değerler olacağından belirlenen bir sayı kadar terimden sonrakiler kesme hatası olarak alınır.

TAYLOR SERİSİ AÇILIMININ ALTERNATİF FORMU x= b alınarak;

BİR TERİMLİ POLİNOM Şekil 1. 0

İKİ TERİMLİ POLİNOM Şekil 1. 1

ÜÇ TERİMLİ POLİNOM Şekil 1. 2

TSA REMANIDER (ARTA KALAN) TERİM, Rn Remainder terim, Rn; f (x) = P n (x) + R n = f(x) – Pn(x)

MAC LAURIN SERİ AÇILIMI (MSA) | xi+1 – xi | < ε < < 1, burada |xi+1 xi | adım boyutu diye adlandırılır.

h = |xi+1 xi|, burada i = 1, 2, … , n.

I. 1 Taylor Seri Açılımının Bir Örneği f(x) = sin(x) olsun f(x) = sin(x) f(0 ) = 0, f'(x) = cos(x) f'(0) = 1, f (2)(x) = sin(x) f(2)(0) = 0, f (3)(x) = cos(x) f(3)(0) = 1, (1. 13) f (4)(x) = sin(x) f(4)(0) = 0, f (5)(x) = cos(x) f(5)(0) = 1, f (6)(x) = sin(x) f(6)(0) = 0, f (7)(x) = cos(x) f(7)(0) = 1.

P 7(x) = f(0) + f'(0) (x 0)1/1! + f(2)(0)(x 0)2/2! + f(3)(0) 0)3/3! + f(4)(0)(x 0)4/4! +…+ f(7)(0)(x 0)7/7! = 0 + 1 x/1! + 0 x 2/2! + 1 x 3/3! + 0 x 4/4! + 1 x 5/5! + 0 x 6/6! 1 x 7/7!

DERS 1. 2 KESME HATA ANALİSİ VE DOĞRUNUN ANLAMLI BASAMAĞI te(true value) = [doğru değer hesaplanan tahmin]. (1. 17) nte = [ doğru değer hesaplanan tahmin] / doğru değer = [te] / doğru değer. sft = 1 log 10( |nte| ). (1. 18) (1. 19) sft (significant figures) normalleştirilmiş doğru değer (nte) için doğru sayının anlamlı basamağı

te = f(x) P n (x) (1. 24) nte = ( f(x) P n (x) ) / f(x) = te/ f(x) sft =1 log 10( (abs(nte) ). (1. 25) (1. 26) ce(computational error ) = (P n (x) P n 1(x)) (1. nce = (P n (x) P n 1(x))/ (P n (x)) = ce / P n (x) (1 sfc =1 log 10( |nce| ) (1. 29)

1 X 0 2 3 X 4 5 Xf -3. 14159 del_x 3. 141593 sin(x) 0. 314159 Sf -3. 14159 -2. 82743 -1. 2 E-16 -0. 30902 TSE_sin_sf Iterations 6 -3. 32806 E-16 19 6 -0. 309016997 10 6 7 8 9 10 11 12 13 -2. 51327 -2. 19911 -1. 88496 -1. 5708 -1. 25664 -0. 94248 -0. 62832 -0. 31416 -0. 58779 -0. 80902 -0. 95106 -1 -0. 95106 -0. 80902 -0. 58779 -0. 30902 6 6 6 6 14 0 0 6 15 0. 314159 0. 309017 6 0. 309016994 5 16 0. 628319 0. 587785 6 0. 587785252 6 17 0. 942478 0. 809017 6 0. 809016994 7 18 19 1. 256637 1. 570796 0. 951057 1 6 6 0. 951056513 1. 00001 7 8 -0. 587785253 -0. 809016993 -0. 951056526 -1. 00001 -0. 951056513 -0. 809016994 -0. 587785252 -0. 309016994 #VALUE! 10 9 8 8 7 7 6 5 #VALUE!

Function Sum_Tn_Sin(x, n) (1. 34) i=1 Sum = 0 While i < n + 1 Sum = Sum + Tn_sin(x, i) 'Msg. Box ("for i = " & i & " Sum = " & Sum) i=i+1 Wend Sum_Tn_Sin = Sum End Function

Function sum_2_Tn_sin(x, n) (1. 35) ' This function computes the sum of the first 'n' terms ' of the TSE of sin(x). i=1 Sum = 0 For i = 1 To n Sum = Sum + Tn_sin(x, i) Next i sum_2_Tn_sin = Sum End Function

Function TSE_sin_sf(x, sf) (1. 36) Dim ans(1 To 2) i=1 nce = 1 Sum = 0 While (Abs(nce)) > 10 ^ (1 sf) new_Tn = Tn_sin(x, i) Sum = Sum + new_Tn i=i+1 nce = new_Tn / Sum Wend ans(1) = Sum ans(2) = i TSE_sin_sf = ans End Function

FIGURE 1. 5 1 ‘TSE’ of sin(x) and Error Analysis Sin(x), 0. 8414709 Exact 85 n Tn_Sin(x, Sum_Tn_ n) Sin True Normilized Error, te te, nte 1. 0000 E+0 0 -1. 6667 E 01 1. 0000 E+0 0 8. 3333 E 01 -1. 5853 E 01 8. 1377 E 03 -1. 8840 E 01 9. 6707 E 03 4 8. 3333 E 03 -1. 9841 E 04 8. 4167 E 01 8. 4147 E 01 -1. 9568 E 04 2. 7308 E 06 -2. 3255 E 04 3. 2453 E 06 5 2. 7557 E 06 8. 4147 E 01 -2. 4892 E 08 -2. 9582 E 08 6 -2. 5052 E 08 8. 4147 E 01 1. 5983 E 10 1. 8994 E 10 7 1. 6059 E 10 8. 4147 E 01 -7. 6195 E 13 -9. 0549 E 13 8 -7. 6472 E 13 8. 4147 E 01 2. 7756 E 15 3. 2985 E 15 9 2. 8115 E 15 8. 4147 E 01 10 -8. 2206 E 18 8. 4147 E 01 1 2 3 sft Computa Normalized tion Error ce, nce Ce sfc 0. 7 -1. 6667 E 01 -2. 0000 E 01 5. 5 8. 3333 E 03 -1. 9841 E 04 9. 9010 E 03 -2. 3579 E 04 7. 5 2. 7557 E 06 3. 2749 E 06 6. 5 9. 7 -2. 5052 E 08 -2. 9772 E 08 8. 5 12. 0 1. 6059 E 10 1. 9084 E 10 10. 7 14. 5 -7. 6472 E 13 -9. 0879 E 13 13. 0 0. 0000 E+0 0 0 #NUM! 2. 7756 E 15 3. 2985 E 15 15. 5 0. 0000 E+0 0 0 #NUM! 2. 0 3. 6 1. 7 3. 0 4. 6