DERIVADAS U D 10 1 BCS Angel Prieto

DERIVADAS U. D. 10 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

CÁLCULO DE DERIVADAS Tema 10. 5 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2

DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. • • • • • Sea f(x) = k Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) k -k 0 f ‘ (x) = lím ---------- = ------- = 0 h h h Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) x+h-x h f ‘ (x) = lím ---------- = ------ = 1 h 0 h h h 2 Sea f(x) = x Aplicando la definición de derivada de una función: 2 2 2 f (x + h) - f(x) (x + h) - x x + 2. x. h + h - x f ‘ (x) = lím ----------- = ------------------- = h 0 h h h = 2. x + 0 = 2. x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3

DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. • • 3 2 Sea f(x) = x De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3. x • • Resumiendo: f (x) = x f ‘ (x) = 1 2 f (x) = x f ‘ (x) = 2. x 3 2 f (x) = x f ‘ (x) = 3. x • Como se ve para hallar la función derivada de una expresión polinómica, el exponente de la x pasa multiplicando y el nuevo exponente presenta unidad menos. n Generalizando: @ Angel Prieto Benito f (x) = x n-1 f ‘ (x) = n. x Matemáticas Aplicadas CS I 4

PARA APRENDER (1) • • DERIVADA DE UNA CONSTANTE f(x) = k f’(x) = 0 • • Ejemplos y=4 y = -√ 3 y = (e – 2) / π • • • DERIVADAS POLINÓMICAS n n-1 f (x) = x f ‘ (x) = n. x • • Ejemplos y = x 4 y = -x 7 y = x 42 @ Angel Prieto Benito y’=0 y’= 4. x 3 y’= -7. x 6 y’= 42. x 41 Matemáticas Aplicadas CS I 5

PARA APRENDER (2) • DERIVADA DE LA INVERSA • f(x) = 1/x f’(x) = -1/ x 2 • DERIVADA DE LA RAIZ • • f (x) = √x f ‘ (x) = 1 / 2. √x • DERIVADA DE LA EXPONENCIAL • f(x) = ex f’(x) = ex • f(x) = ax f’(x) = ax. ln a • DERIVADA DEL LOGARITMO • f(x) = ln x f’(x) = 1 / x • f(x) = log x f’(x) = 1 / x. ln 10 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6

PARA APRENDER ( y 3) • • • g(x) Sea y = f(x) Tomando logaritmos: Ln y = g(x). Ln f(x) ; y derivamos. . . y ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )] • y‘=y. […] • y ‘ = f(x) g(x) . […] • DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS • • • y = sen x y ‘ = cos x y = cos x y ‘ = - sen x y = tg x = sen x / cos x y’ = [cos x – sen x. (-sen x)] / cos 2 x y’ = [cos 2 x + sen 2 x] / cos 2 x = 1 / cos 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7

DERIVADAS DE LA SUMA • • Sea y = f(x)+g(x) y’ = f ’(x) + g ‘(x) • Ejemplos: • y = x 3 + x y’ = 3. x 2 + 1 • y = x 5 – x 3 y’ = 5. x 4 – 3. x 2 • y = ex + x 4 y’ = ex + 4. x 3 • y = x 3 + 1/x y’ = 3. x 2 – 1/x 2 • y = x + √x – 3 y’ = 1 + 1/(2. √x) • y = x 2 + lnx y’ = 2. x + 1/x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8

DERIVADAS DE LA SUMA • • Sea y = f(x)+g(x) y’ = f ’(x) + g ‘(x) • Ejemplos: • y = x 2 + lnx y’ = 2. x + 1/x • y = ex – ln x + √e y’ = ex – 1/x • y = x + sen x y’ = 1 + cos x • y = x 3 – cos x y’ = 3. x 2 + sen x • y = arctg x + tg x y’ = 1 / (1 + x 2) + 1+tg 2 x • y = √x – arc sen x y’ = 1/(2√x) – 1/√(1 – x 2 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 9

DERIVADAS DEL PRODUCTO • • Sea y = f(x). g(x) y ’ = f ‘(x). g(x) + f(x). g ’(x) • Ejemplos: • y = ex. x 4 y’ = ex x 4 + ex 4 x 3 • y = x 3. 1/x y’ = 3. x 2. 1/x + x 3. (-1/x 2 ) = 3 x – x = 2 x • y = x. √x y’ = √x + x /(2. √x) • y = x 2. lnx y’ = 2. x. lnx + x 2 1/x = 2. x. lnx + x • y = sen x. √x y’ = cos x. √x + sen x. 1/(2. √x) • y = cos x. lnx y’ = - sen x. lnx + cos x. 1/x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 10

DERIVADAS DE CONSTANTE POR FUNCIÓN • • Sea y = k. f(x) y ' = k. f ‘(x) • Ejemplos: • y = 4 x 3 y’ = 12. x 2 • y = – 5 x 7 y’ = – 35. x 6 • y = 5. ex + 2. x 4 y’ = 5. ex + 8. x 3 • y = 7. x 3 + 5/x y’ = 21. x 2 – 5/x 2 • y = 3 x + 7√x – e y’ = 3 + 7/(2. √x) • y = - 3. x 2 + 5. lnx y’ = - 6. x + 5/x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 11

DERIVADAS DE CONSTANTE POR FUNCIÓN • • Sea y = k. f(x) y ' = k. f ‘(x) • Ejemplos: • y = 9 x 2 + 4 lnx • y = 3 ex – a. ln x + √e y’ = 3 ex – a/x • y = 7 x – 2 sen x y’ = 7 – 2 cos x • y = 8. x 3 – e. cos x y’ = 24. x 2 + e. sen x • y = 3. arctg x + 5. tg x y’ = 3 / (1 + x 2) + 5. (1+tg 2 x) • y = 21. √x – 4. arc sen x @ Angel Prieto Benito y’ = 18. x + 4/x y’ = 21/(2√x) – 4/√(1 – x 2 ) Matemáticas Aplicadas CS I 12

DERIVADAS DEL COCIENTE • Sea y = g(x) / f(x) • • • g ‘(x). f (x) – g (x). f ‘(x) y ‘ = -----------------f 2 (x) • Ejemplos: • y = 2 ex / x 4 y’ = (2 ex x 4 – 2 ex 4 x 3 ) / x 8 • y = x 3 / (x – 1) y’ = (3. x 2 (x – 1) – x 3. 1) / (x – 1)2 • y = (x + 3) / √x y’ = (1. √x – (x + 3). 1/(2. √x)) / x • y = x 2 / (ex + x) y’ = (2. x. (ex + x) – x 2. (ex + 1)) / (ex + x)2 • y = (x + sen x) / cos x y’ =((1+ cos x). cos x – (x + sen x). (- sen x)) / cos 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13

REGLA DE LA CADENA Derivada de una función compuesta • Ejemplo 1 • Ejemplo 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 14

REGLA DE LA CADENA Derivada de una función compuesta • Ejemplo 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 15

REGLA DE LA CADENA • Ejemplo 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 16