Derivadas Teoremas 2 Bachillerato Presentacin elaborada por la

Derivadas. Teoremas 2º Bachillerato Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

Esquema

Tasa de variación media en un intervalo Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x), mediante el cociente: Tm f[a, b] = f(b) – f(a) b–a La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una función, en un intervalo, por unidad de variable independiente. Pendiente positiva Pendiente negativa

Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en España entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, donde x representa el tiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el número de afiliados expresado en millones. El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999 f(19) – f(0) es: 19 = 0, 1241 Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000 personas por año.

Tasa de variación instantánea La tasa de variación instantánea TVI(x) o ti(x) , en un punto, es el límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez más pequeños: TVI (x) = ti(x) =

Derivada de una función en un punto Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite. Si el límite existe y es finito, la derivada de f(x) en x=p es

Interpretación geométrica de la derivada Al hacer que h 0, ocurrirá que • p + h tiende (se acerca) a p • Q recorre la curva acercándose a P • La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente • La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p.

Ecuación de la recta tangente Ecuación de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m: y – b = m (x – a) t at f(a) Entonces: • Pendiente de la tangente: mt = f '(a) at a • Ecuación de la recta tangente: t y – f(a) = f '(a) (x – a)

Ecuación de la recta normal Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m: y – f(p) = m (x – p) Como la tangente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Entonces: Pendiente de la tangente: mt = f '(p) Ecuación de la recta tangente: y – f(p) = f '(p) (x – a) Pendiente de la normal: mn = – 1/f '(p) Ecuación de la normal: y – f(p) = [– 1/f '(p)] (x – a)

Derivadas laterales La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe, dado por f '(a –) = La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe, dado por f '(a+ ) = Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y por la izquierda y las derivadas laterales coinciden. f '(a+) = tg α > 0 f '(a–) = tg β < 0 b a a Por ser f '(a+) f '(a–), f(x) no es derivable en el punto a.

Teorema Una función derivable en un punto es continua en dicho punto. Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto

Relación continuidad y derivabilidad Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto. y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto = tgα = tg β Puesto que las derivadas laterales en 0 son diferentes la función no es derivable en dicho punto.

Función derivada Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista. • Derivada de f(x) = x 2 en el punto 3: • Derivada de f(x) = x 2 en el punto 2: Para obtener la derivada en x Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x 2 es f '(x) = 2 x

Consecuencias de la definición de derivada • La función derivada no identifica totalmente a la función, pues funciones que se diferencian en una constante, tienen la misma función derivada. Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante f’(x) = g’(x) h(x)= g(x) + k’ siendo k’ una constante h’(x) = g’(x) Geométricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante una traslación de vector paralelo al eje Y y módulo k ó k’. Por ello las tangentes a las tres funciones son paralelas.

Derivadas de operaciones con funciones Sean f y g dos funciones derivables en un punto x R y sea c un número real. Entonces las funciones c·f, f + g, f·g y f/g (si g(x) 0) son también derivables en x. · Además se tiene: (cf)'(x) = cf '(x) (f + g) '(x) = f '(x) + g'(x) (f – g) '(x) = f '(x) – g'(x) (fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)

Demostración de la regla de derivación del cociente Enunciado: La derivada de un cociente

Derivada de una función compuesta: regla de la cadena Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)). Ejemplo: La función h(x) = (2 x – 1)2 es la composición de dos funciones: f(x) = 2 x– 1 y g(t) = t 2 R x f R g 2 x– 1 = t x R t 2 = (2 x– 1)2 h(x) = g(f(x)) = g(2 x– 1) = (2 x – 1)2 = (g o f)(x) Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es: (gºf)'(a) = g'(f(a)). f '(a) Ejemplo: Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2 x – 1)2 (gºf)'(x) = g'(f(x)). f '(x) = 2(2 x – 1)' = 2(2 x – 1). 2

Regla de la cadena: Demostración Enunciado: La derivada de la composición de funciones (fog)(x) es: f ‘(g(x)) · g’(x)

Derivada de la función inversa • Se denomina función inversa de una función f a una nueva función, denotada por f– 1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f– 1(f(x)) = x. • Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) Las gráficas de f y f– 1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. (f(x), x) • f – 1(x) • (x, f(x)) f(x) Sea f una función definida en un intervalo abierto D en el que admite función inversa siendo f derivable. Entonces se tiene que, para todo del dominio de f-1 en el que f-1 es deripunto x vable y en el que f '(f– 1(x)) 0 la derivada de f– 1 viene dada por:

Tabla de derivadas de las funciones elementales Función Derivada f(x) = c (constante) f '(x) = 0 Función f(x) = sen x Derivada f '(x) = cos x f(x) = x n f '(x) = n x n – 1 f(x) = cos x f '(x) =– sen x f(x) = e x f '(x) = e x f(x) = tan x f '(x) = f(x) = ax (a > 0) f '(x) = ax ln a f(x) = arcsen x f(x) = ln x 1 f '(x) = x f(x) = arccos x f(x) = logax, (a > 0) f '(x) = 1 x ln a f(x) = arctan x 1 Cos 2 x 1 f '(x) = 2 1–x – 1 f '(x) = 1–x 2 1 f '(x) = 1+x 2

Obtención de la derivada de la función logaritmo neperiano Vamos a calcular la derivada de a partir de la función exponencial Sean } La derivada de es

Demostración de la derivada de la función seno Vamos a calcular la derivada de Usando la definición de derivada: La derivada de sen (x) es Cos (x)

Obtención de la derivada de la función arcoseno Vamos a calcular la derivada de Sean } La derivada es: Como:

Obtención de la derivada de la función arco tangente Vamos a calcular la derivada de Sean } La derivada es: Como:

Diferencial de una función El diferencial de una función en un punto x = a es el incremento de la tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + h Tangente a la curva en (a, f(a)): su pendiente es mt = f '(a) = tg at f(a + h) f(a) • at f '(a). dx • x = dx Para valores de h = x = dx pequeños y f '(a). x Por tanto: y dy = f '(a). dx h = x a y = f(a + h) – f(a) a+h Y para un x cualquiera: dy = f '(x). dx

Una aproximación geométrica al concepto de diferencial • Supongamos un cuadrado de lado x, al que incrementamos el lado en una cierta cantidad h. Su superficie se incrementará en: f = (x + h)2 – x 2 = 2 xh + h 2 • Si h es muy pequeño, h 2 es mucho más pequeño. • Entonces: 2 xh = 2 x dx es el diferencial de la función f(x) = x 2 y se ve que f 2 x dx = f '(x) dx El error que se comete al aproximar el incremento por la diferencial es h 2.

Máximos y mínimos relativos Una función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe un intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo x perteneciente al intervalo. • La función y = x 2 – 6 x + 8 tiene un mínimo relativo en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos. • La función y = x 2 – 6 x + 8 tiene un mínimo absoluto en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene máximo absoluto en su dominio. 1 • m(3, -1) 5 • La función y = x 2 – 6 x + 8 tiene un mínimo absoluto en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el punto (1, 3). • La función y = x 2 – 6 x + 8 no tiene máximos ni mínimos en el intervalo (4, 5).

Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica) Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o mínimo en un punto c (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0 Si la función es constante entonces f '(c) = 0 Si A es máximo, la tangente en x = c es horizontal. Su pendiente es 0 Si A es mínimo, la tangente en x = c es horizontal. Su pendiente es 0

Teorema de Rolle. Interpretación geométrica Si una función y = f(x) cumple que: • Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. • Es derivable en su interior (a, b). • f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f '(c) = 0. Geométricamente este teorema expresa que una función que cumpla las hipótesis anteriores va a tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la tangente es horizontal. f '(c) = 0 f(a) = f(b) a c b

Teorema de Rolle: Demostración Si una función y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es derivable en su interior (a, b), y f(a) = f(b). Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f '(c) = 0. • • • Demostración: f es continua en [a, b] => por Teor. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a, b]. x [a, b] m f(x) M. x 1 [a, b] f(x 1)=M. x 2 [a, b] f(x 2)=m. • Si m = M => x [a, b] f(x) = M (la función es constante) => f'(x) = 0 • Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x 1 o x 2, corresponde al interior del intervalo, a (a, b), por ejemplo m= f(x 2) => (a, b) se comporta como un entorno de x 2. Se cumple que x (a, b) f(x 2) f(x) por lo que f presenta un mínimo relativo en x 2. (1) • • f es derivable por hipótesis. (2) De 1) y 2), por la condición necesaria para la existencia de mínimos relativos f'(x 2)=0 como queríamos demostrar

Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretación geométrica Si una función y = f(x) cumple que: • Es continua [a, b]. • Es derivable (a, b). Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que: f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c). Es decir: f’( c) = • Geométricamente: si una función que cumple las hipótesis anteriores va a a tener al menos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). • Analíticamente: si una función cumple las hipótesis anteriores, en algún punto c (a, b) la razón incremental o tasa de variación media (f(b) – f(a)) / (b – a), es igual a la derivada en dicho punto. f(b) – f(a) Pendiente de AB: • f(b) – f(a) • c b–a c' f '(c) = f '(c') = b–a c y c' son los puntos que verifican el teorema

Teorema del valor medio o de Lagrange: Demostración Si una función y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b). Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f(b) – f(a) = (b – a) · f '(c). • Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + h·x, h R. • g es continua en [a, b] por ser suma de funciones continuas. g es derivable en (a, b) por ser suma de funciones derivables. • Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle => f(a) + h·a = f(b) + h·b => f(a) - f(b) = h·b – h·a = h·(b - a) => por el teorema de Rolle, existe c (a, b) tal g'(c) = 0 • • Por definición de g(x); g’(x) = f ‘(x) +h, g’(c) =f ‘(c) +h =0 luego f ‘(c ) = – h y por tanto:

Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado Enunciado: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que: Demostración: Sea h(x) = f(x) + kg(x) • 1. h es continua en [a, b] por ser suma de funciones continuas en [a, b]. • 2. h es derivable en (a, b) por ser suma de funciones derivables en (a, b). • 3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle. f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b), k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a) De 1), 2) y 3) por el teorema de Rolle c (a, b) tal que h'(c) = 0. • h'(x)=f'(x)+kg'(x) h'(c)=f'(c)+kg'(c)=0 f'(c)/g'(c) = -k

Consecuencias del teorema del valor medio (I) Expresión del valor de una función en el entorno de x = a Si f(x) es continua en [a – h, a + h] y derivable en su interior entonces: f(a + h) = f(a) + h · f '(a + h) con (0, 1). • Si f(x) cumple las hipótesis del teorema de Lagrange en [a, b]: • f(a) = f(b) + (b – a). f '(c) con c (a, b). • Si b = a + h, entonces c = a + h con (0, 1). c a + h a+h

Consecuencias del teorema del valor medio (II) Caracterización de las funciones constantes Si una función f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es constante en dicho intervalo. • f(x) es derivable en (a, b). • f(x) tiene derivada nula en (a, b). En consecuencia: f(x) = k en (a, b). • Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos de (a, b) en los que es derivable (en c no es derivable). • No es constante en (a, b).

Consecuencias del teorema del valor medio (III) Relación entre funciones con igual derivada Si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervalo abierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo. • En el intervalo (0, 2 ) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada. • Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene de la otra trasladándola paralelamente al eje OY.

Regla de L'Hôpital (I) Indeterminación del tipo 0 0 Supongamos que lim f(x) = lim g(x) = 0 y que g(x) 0 en un entorno de u. x u Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito). se verifica que: = Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, + , – }. Una aproximación geométrica al teorema: f(C) CA CA' f '(a) = = g(C) CB CB' g '(a)

Regla de L'Hôpital (II) Indeterminación del tipo: Supongamos que lim f(x) = lim g(x) = x u Entonces, si existe se verifica que: y que g(x) 0 en un entorno de u. También existe (puede ser finito o infinito). = Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, + , – }

Regla de L'Hôpital (III) Salvando indeterminaciones del tipo. Supongamos que hemos de calcular: 0 ·¥ lim [f (x). g(x)] x u Indeterminación del tipo 0 ·∞ Podemos convertir esa expresión en una 0/0 o en una ∞/∞ Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, + , – }

Regla de L'Hôpital (IV) Supongamos que hemos de calcular: lim [f(x)g(x)] x® u Y que este límite es indeterminado de cualquiera de los tipos 1 ¥ ó ¥ 0 ó 0 0. A = lim [f(x)g(x)] Tomando neperianos: L A = L( lim [f(x)g(x)]). x u De donde: L A = lim L [f (x)g(x)], por ser la función logaritmo continua x u Y por las propiedades de los logaritmos L A =lim [g(x). L f(x)] x u Este límite es indeterminado 0. ¥ y se puede calcular por L'Hôpital. Sea M su valor Tendremos: L A = M A = e. M. Este procedimiento es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, + , – }

Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I) L'Hôpital

Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (II) 1 A L'Hôpital Si LA = 1 A = e 1 = e A 0 L'Hôpital Si LA = 0 A = e 0 = 1 L'Hôpital

Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo f(x+h) f(x) [ a h x ] x+h b [ a h x x+h ] b Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b] f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0 f(x) > f(x+h), (x, x+h) y h >0 f ’(x) >0 f ‘ (x) < 0

Derivadas y curvatura: concavidad a 1 a 2 a 1 [ a x 1 ] x 2 b [ a x 1 x 2 ] b tg α 1 < tg α 2 f '(x 1) < f '(x 2) Las pendientes de las tangentes aumentan f ' es creciente su derivada que es f “ debe ser f”(x) > 0 función concava

Derivadas y curvatura: convexidad a 2 a 1 [ a x 1 x 2 ] b tg a 1 > tg a 2 f '(x 1) > f '(x 2) Las pendientes de las tangentes disminuyen f ' es decreciente su derivada que es f " debe ser negativa f” (x) < 0 función cónvexa

Puntos de inflexión Son los puntos en los que la función cambia de curvatura f" < 0 P(a, f(a)) f" > 0 f"(a) = 0