Derivacin numrica Condiciones 1 f definida en a

Derivación numérica Condiciones: 1) f definida en [a, b] y sus primeras (n+1) derivadas son continuas en el intervalo (a, b) 2) x contenido en el intervalo (a, b) (pero desconocido) Esta serie es el desarrollo de Taylor de la función f(x) en torno a una vecindad del punto x = a. Algunas aplicaciones de este teorema Sean (n+1) puntos igualmente espaciados Con sus respectivas imágenes

Derivación numérica Para el punto vamos a efectuar el desarrollo de Taylor en torno del punto y truncaremos la expansión en el segundo término más el resto, esto es Realizamos nuestra primera aproximación Nota: se supone que h es muy pequeño, menor que 1, y entonces h 2 será más pequeño todavía, y al dividirlo por 2, más pequeño aún. Pero claro, queda la duda si el valor de la segunda derivada no es muy grande relativamente , que en cualquier caso es un valor finito por las exigencias a la función f.

Derivación numérica

Derivación numérica Para el punto vamos a efectuar el desarrollo de Taylor en torno del punto y truncaremos la expansión en el tercer término más el resto, esto es Nota: se supone que h es muy pequeño, menor que 1, y entonces h 3 será más pequeño todavía, y al dividirlo por 6, más pequeño aún. Pero claro, queda la duda si el valor de la tercera derivada no es muy grande relativamente , que en cualquier caso es un valor finito por las exigencias a la función f.

Derivación numérica Restando y despejando, obtenemos una aproximación numérica para la primera derivada

Derivación numérica Aproximando Restando y despejando, obtenemos una aproximación numérica para la segunda derivada

Derivación numérica Y para obtener segundas derivadas utilizamos:

Derivación numérica: ejemplo