DERET ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur

DERET ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah kadiah tertentu. Bilangan bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku. Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada “pola perubahan” bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya.

Deret hitung ialah deret yang perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda, yang tak lain merupakan selisih antara nilai dua suku yang berurutan. Contoh : 1) 7, 12, 17, 22, 27, 32 (pembeda = 5) 2) 93, 83, 73, 63, 53, 43(pembeda = 10) . .

Suku ke-n dari DH Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus. Untuk membentuk rumus yang dimaksud, perhatikan Contoh 1) di atas. Dalam contoh tersebut, nilai suku pertamanya (a) adalah 7 dan pembedanya (b) adalah 5. Sn = a + (n – 1) b --- a = suku pertama atau S; b = pembeda; n. = indek suku Contoh: nilai suku ke-10 dan ke-23 dari deret hitung ini masing adalah S 10 = a + (n – 1)b = 7 + (10 – 1)5 = 7 + 45 = 52 S 23 = a + (n – 1)b = 7 + (23 – 1)5 = 7 + 110 = 117

Jumlah n suku Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S 1, atau a) sampai dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan. n Jn = ∑ S = S 1 + S 2 +. . . . + Sn

Berdasarkan rumus Sn = a + (n – 1)b sebelumnya, maka masing-masing Si dapat diuraikan. Dengan menguraikan setiap Si maka J 4, dalam ilustrasi diatas akan menjadi sebagai berikut : J = a + (a + b) + (a+2 b) + (a + 3 b) 4 +6 b Jn = n/2 (2 a + (n – 1)b = na + n/2(n – 1)b = 4 a

DERET UKUR Deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku didepannya. Contoh : 1) 5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda = 2) 512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0, 5)

Suku ke-n dari DU Untuk dapat membentuk rumus perhitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur, perhatikan Contoh 1) diatas yang disajikan dalam bentuk lain dibawah ini. S = ap n-1 n a. = suku pertama; p = pengganda; n = indeks suku Berdasarkan rumus diatas, nilai suku ke 10 dari deret ukur dalam Contoh 1) dan Contoh 2) diatas masing adalah 1) S 10 = (5)(2)10 1 = (5)(2) 9 = (5)(512) = 2560 2) S 10 = (512)(0, 5) 10 1 = (512)(0, 5) 9 = (512)(1/512) = 1

Jumlah n suku Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke n yang bersangkutan. n J = ∑ S = S + S 2 +. . . . + Sn Berdasarkan Sn = apn+1, maka masing Si dapat dijabarkan sehingga : n 1 Jn = a + ap 2 + ap 3. . . + apn 2 + apn 1

Jn = a (1 –pn) atau Jn = a (pn + 1) 1–p p 1 Untuk kasus deret ukur dalam Contoh 1) diatas, dimana a = 5 dan p = 2, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah : Sedangkan untuk kasus dalam Contoh 2), dalam hal ini a = 512 dan = 0, 5 jumlah dari sepuluh suku pertamanya adalah : p

PENERAPAN EKONOMI Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyakut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan dan pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai suku sebuah deret, baik deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad ( relevant) diterapkan untuk menganalisisnya

Model Perkembangan Usaha Contoh : Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan mampu meningkatkan produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan berapa buah genteng yang dihasilkanya pada bulan kelima? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut? Diketehui a = 3000 , b = 500 n = 5 Jawab S 5 = 3000 + (5 – 1) 500 = 5000 J 5 = 5/2 (3000 + 5000) = 20. 000

Model Bunga Majemuk

Jika misalnya modal pokok sebesar P dibungakan secara majemuk dengan suku bunga per tahun setingkat i, maka jumlah akumulatif modal tersebut di masa datang setelah n tahun ( Fn) dapat dihitung sebagai berikut : setelah n tahun : Fn = (. . . ) + (. . . . )i = P(1 + i)n Fn = P ( 1 + i )n P = Jumlah sekarang, n = Jumlah tahun i = tingkat bunga per tahun

Fn = P ( 1 + i/m )mn m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun. Suku ( 1 + i ) dan ( 1 + i /m) dalam dunia bisnis dinamakan faktor bunga majemuk (compounding interest factor) yaitu bilangan lebih besar satu yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang.

Secara matematis dapat dihitung besarnya nilai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang (presen value) dari suatu jumlah uang tertentu dimasa datang : P = 1 F atau P= 1 F ( 1 + i )n ( 1 + i/m )mn Suku 1/ ( 1 + i ) dan 1/( 1 + i/m )mn dinamakan faktor diskonto (discount factor) yaitu suatu bilangan lebih kecil dari satu yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah di masa datang.

Contoh : 1 Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp 5 juta untuk jangka waktu 3 tahun dengan tingkat bunga 2 % per tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus dikembalikan pada saat pelunasan ? . Seandainya perhitungan pembayaran bunga bukan tiap tahun, melainkan setiap semester berapa jumlah yang harus dikembalikan ? P = 5000. 000 ; Jawab : n = 3; i = 2 % = 0, 02 Fn = P ( 1 + i ) n = 5000. 000 ( 1 + 0, 02)3 = 5000. 000 (1, 061208) = 5. 306. 040 Jadi pada saat pelunasan setelah 3 tahun, nasabah harus mengembalikan sebesar Rp. 5. 306. 030.

Jika bunga diperhitungkan dibayarkan setiap semester , m = 2 maka Fn = P ( 1 + i/m )mn = 5000. 000( 1 + 0, 02/2)6 = 5000. 000 (1, 06152) = 5. 307. 600

Contoh 2. Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar Rp. 532. 400 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat bunga bank yang berlaku 10 % per tahun berapa tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarng ini ? F = 532. 400; n = 3; i = 10 % = 0, 1 P = 1 F ( 1 + i )n = 1 532. 400 = 400. 000 ( 1 + 0, 1 )3 Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp. 400. 000