Der Wahrscheinlichkeitsbegriff LAPLACE MISES KOLMOGOROFF 1 1 Grundbegriffe

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff (LAPLACE, MISES, KOLMOGOROFF) 1

1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Historie des Wahrscheinlichkeitsbegriffs Agenda 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit und der Multiplikationssatz 4. Satz von Bayes 2

1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Historie des Wahrscheinlichkeitsbegriffs Agenda 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit und der Multiplikationssatz 4. Satz von Bayes 3

Warum überhaupt Wahrscheinlichkeiten? A L L T A G P S Y C H O L O G I E 4

Grundbegriffe ● Subjektive Wahrscheinlichkeit ○ aufgrund von Vermutungen/ inneren Überzeugungen ● Zufallsexperiment ○ beliebig oft wiederholbar ○ Nach einer ganz bestimmten Vorschrift ausgeführt ○ mehrere mögliche Ergebnisse ○ Ergebnis nicht vorhersagbar —> vom Zufall abhängig ● Objektive Wahrscheinlichkeit ○ auf Basis statistischer Beobachtungen ● Ergebnis / Elementarereignis ○ Jede mögliche Ausprägung eines Zufallsexperiments —> Ergebnis eines Zufallsexperimentes 5

Grundbegriffe ● Elementarereignis ○ die kleinste Einheit eines Ereignisses ● Ergebnismenge / Stichprobenraum/ Ergebnisraum Ω ○ Menge aller möglichen Ergebnisse ● Menge der Elementarereignisse ○ Alle möglichen Ausprägungen eines Zufallsexperiments 6

Grundbegriffe ● Ereignis ● Gegenereignis ○ Eine Menge von Elementarereignissen ○ Gegenereignis zum Ereignis ○ Alle Ergebnisse, auf die man wetten könnte ○ tritt ein wenn das Ereignis nicht eintritt 7

Beispiel Zufallsexperiment ● Beispiel: Würfel ○ Zufallsexperiment: 1 x Würfeln ○ Ergebnis: Die möglichen Augenzahlen (Was kann alles gewürfelt werden? ) ● ω1=1, ω2=2, ω3=3, ω4=4, ω5=5, ω6=6 ○ Ergebnismenge ● Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} ○ Elementarereignis: alle einzelnen Ergebnisse ● Ω = {1}∪{2}∪{3}∪{4}∪{5}∪{6} ○ Menge der Elementarereignisse ○ Ereignis: Kombination von Ergebnissen ● “eine gerade Augenzahl” A= {2, 4, 6} ○ Gegenereignis: ● “ungerade Augenzahl” Ā= {1, 3, 5, } 8

Grundbegriffe ● Sicheres Ereignis ○ Das Ereignis das alle Elemente von Omega enthält p (A) = 1 ● Unmögliches Ereignis ○ Das Ereignis das keine Elemente enthält p (A) = 0 9

Beispiel sicheres und unmögliches Ereignis Beispiel: Glücksrad ○ Glücksrad mit 4 blauen, 1 rotem, 3 gelben und 8 weißen Feldern ● Sicheres Ereignis ○ Ein Feld mit der Farbe blau, rot, gelb oder weiß zu drehen ○ Kein grünes Feld zu drehen ● Unmögliches Ereignis ○ Ein grünes Feld zu drehen 10

1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Historie des Wahrscheinlichkeitsbegriffs Agenda 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit und der Multiplikationssatz 4. Satz von Bayes 11

Historie des Wahrscheinlichkeitsbegriffs La. Place (1749– 1827) Mises (1938 -1973) Kolmogoroff (1903 -1987) Der Wahrscheinlichkeitsbegriff: 12

Wahrscheinlichkeit nach La. Place Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) Grundannahme: Alle Ereignisse im Stichprobenraum Ω sind gleichmöglich “Günstige durch Mögliche” - m = Mächtigkeit der Menge an gleichmöglichen Ergebnissen aus Ω, die Teilereignis von E sind. - |Ω|= Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller Ergebnisse aus Ω) 13

Probleme bei La. Place - Die Definition von p(ω) ist zirkulär, da „Gleichmöglichkeit“ nur ein Synonym für Gleichwahrscheinlichkeit ist - Konzept der Gleichmöglichkeit schränkt Klasse der enthaltenen Zufallsprozesse ein- Bsp. : Kopf, Zahl und Seite 14

Wahrscheinlichkeit nach Mises Die statistische Methode zur Wahrscheinlichkeitsberechnung (Mises 1936): Berechnung der Wahrscheinlichkeiten anhand der relativen Häufigkeitsverteilungen statistischer Merkmale 15

Wahrscheinlichkeit nach Kolmogoroff Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903 -1987) Berücksichtigt Konzept der unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten (Beispiel Münzwurf) Die axiomatische Wahrscheinlichkeitsdefinition 1. Axiom p(E)≥ 0 2. Axiom p(Ω)= 1 3. Axiom p(E)= p(A +B)= p(A)+ p(B) Schlussfolgerungen aus den Axiomen: • Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignissen • Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses 16

Additionssatz und Disjunktheit Einfacher Additionssatz: Erweiterter Additionssatz: ● drittes Axiom nach Kolmogoroff ● Folgerung aus dem dritten Axiom bei zwei disjunkten Teilereignissen ● nicht nur 2, sondern beliebig viele disjunkte Teilereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten sind aufsummierbar ● Beispiel Würfelwurf: Wette: 3 oder 5 ● Beispiel Würfelwurf: Wette: gerade Augenzahl p= 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 p= 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 17

Problem ● was, wenn die Teilereignisse eine Schnittmenge haben? Additionssatz nicht anwendbar Die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge ginge doppelt ein ● Beispiel Würfelwurf: Wette: Eine gerade Zahl oder die eine Zahl, die mit R endet p= (1/6 + 1/6) = 4/6 Eins 1/6 Zwei 1/6 Drei 1/6 Vier 1/6 Fünf 1/6 Sechs 1/6 18

Lösung ● die Schnittmenge muss einmal abgezogen werden ● Beispiel Würfelwurf: Wette: gerade Zahl oder eine Zahl, die mit R endet p= (1/6 + 1/6 – 1/6)= 3/6 = 1/2 Verbundwahrscheinlichkeit Gesprochen: A geschnitten B Wahrscheinlichkeit, der Schnittmenge zweier Ereignisse (UND) statt ODER in beide Richtungen das Gleiche! 19

Übung Einfache Wahrscheinlichkeiten 20

1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Historie des Wahrscheinlichkeitsbegriffs AGENDA 3. Bedingte Wahrscheinlichkeit und der Multiplikationssatz 4. Satz von Bayes 21

Weitergedacht: Bedingte Wahrscheinlichkeiten ● Silvester! Zeit der guten Vorsätze! ● 2 verschiedene Ereignisse: a) Guter Vorsatz Abnehmen b) Besonders viel gegessen beim Weihnachtsschmaus ● Wenn ich etwas über das eine Ereignis weiß, kann ich damit das andere vorhersagen? ● 2 Schritte: 1. Beide Grundwahrscheinlichkeiten beobachten p(A), p(B) 2. Wahrscheinlichkeit für gemeinsames Auftreten beobachten 22

Weitergedacht: Bedingte Wahrscheinlichkeiten ● Berechnung: Verbundwahrscheinlichkeit durch Grundwahrscheinlichkeit hinterm Strich kommt unter den Strich ● Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B, gegeben, dass das Ereignis A bereits eingetreten ist gesprochen: p von B gegeben A Beispiel: Wahrscheinlichkeit im neuen Jahr abnehmen zu wollen, gegeben, dass man beim Weihnachtsschmaus besonders viel gegessen hat 23

Weitergedacht: Bedingte Wahrscheinlichkeit ● Wichtig! Nicht in beider Richtungen das Gleiche! Unser Beispiel: p(A / zu viel gegessen)=0, 7 p(B / Guter Vorsatz abnehmen) =0, 3 p(An. B)= 0, 15 ● Berechnung: 1. p(BIA)=0, 15/0, 7 = 0, 21 2. p(AIB)=0, 15/0, 3 = 0, 5 ● 2 unterschiedliche Aussagen! 1. Wahrscheinlichkeit, dass man abnehmen will, gegeben, dass man zu viel gegessen hat 2. Wahrscheinlichkeit, dass man zu viel gegessen hat, gegeben, dass man abnehmen will 24

Weitergedacht: Bedingte Wahrscheinlichkeit ● im Venn-Diagramm p(BIA): Anteil der Fläche nicht mehr am gesamten Stichprobenraum an der Fläche p(A) ● Dafür ein viertes Axiom bei Kolmogoroff: ! Die bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich nicht beweisen ! 25

Mögliche Umformungen - Multiplikationssatz ● Bedingte Wahrscheinlichkeit : ● Mögliche Umformungen: Und genauso Multiplikationssatz ● So theoretisch wenig Aussagekraft, aber führt zu einem weiteren Konzept. . . 26

Wichtige Annahme: Stochastische Unabhängigkeit ● Auftreten des Ereignisses B hängt nicht vom Auftreten von A ab -> Bedingte Wahrscheinlichkeit ● Beispiel stochastisch unabhängig: Wahrscheinlichkeit für Regenwetter, gegeben, dass ich meinen Autoschlüssel vergessen habe ● Beispiel nicht unabhängig: Lotto (ohne zurücklegen) jedes Ziehen verändert die Grundwahrscheinlichkeit beim nächsten Zug 27

Stochastische Unabhängigkeit ● Einsetzen in den Multiplikationssatz: ● wenn stochastisch unabhängig, darf man einfach multiplizieren (beliebig viele) ● Stochastische Unabhängigkeit ≠ Disjunktheit! gilt in beide Richtungen 1. Zwei disjunkte Ereignisse im gleichen Stichprobenraum z. B. Männer und Frauen bei einer Befragung, wenn A eingetreten ist, ist p(B) ≠ p(BIA) (disjunkt, aber nicht stochastisch unabhängig) 2. Ziehen mit Zurücklegen (stochastisch unabhängig, aber nicht disjunkt) 28

Stochastische Unabhängigkeit Muss theoretisch begründet werden, nicht praktisch bewiesen Gilt wechselseitig: 29

Darstellungsform Additions- und Multiplikationssatz Wahrscheinlichkeitsbäume 30

Beispiel: Wahrscheinlichkeitsbäume Grundwarscheinlich keiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten • Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf Ergebnisse: 6 oder keine 6 ! Baum muss immer vollständig sein ! 31

Pfadregeln 1. Pfadregel Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Versuchsausgang -> Wahrscheinlichkeiten entlang des jeweiligen Pfades multiplizieren. 2. Pfadregel Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das mehrere Versuchsausgänge umfasst -> Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Versuchsausgänge addieren. 32

Beispiel: Wahrscheinlichkeitsbäume Grundwahrscheinlich keiten Bedingte Wahrscheinlichkeit Verbundwahr scheinlichkeit en p(A 1 n. B 1) Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf 1. Wahrscheinlichkeit 2 x eine 6 zu würfeln p= (1/6 * 1/6)= 1/36 Verbundwahrscheinlichkeit = Multiplikationssatz p(A 1 n. B 2) 1. Wahrscheinlichkeit, als zweites eine 6 zu würfeln p(A 2 n. B 1) p= (1/36 + 5/36)= 6/36 = 1/6 Satz der totalen Wahrscheinlichkeit p(A 2 n. B 2) 33

Übung Wahrscheinlichkeitsbäume Excel 34

1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Historie des Wahrscheinlichkeitsbegriffs Agenda 3. Additions- und Multiplikationssätze 4. Satz von Bayes 35

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Was, wenn man eine Grundwahrscheinlichkeit gar nicht kennt? Wahrscheinlichkeit als zweites eine 6 zu Würfeln p= (1/36 + 5/36)= 6/36 = 1/6 ● Addition von Verbundwahrscheinlichkeiten: wenn die Ergebnisse B 1 bis Bk paarweise disjunkt sind und das Ereignis A immer mit einem der Bk auftritt, gilt: ● mit dem Multiplikationssatz wird daraus: -> Satz der totalen Wahrscheinlichkeit 36

Weitergedacht: kleines Gedankenspiel • Beispiel Schwangerschaftstest: P(Test positiv I schwanger) =0, 97 (vom Hersteller angegeben) • Wenn ich jetzt aber auf einen Schwangerschaftstest pinkel? ? Bin ich dann zu 97% schwanger? NEIN!! • Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind nicht gleich groß! 37

Satz von Bayes Zusammenhang der Bedingten Wahrscheinlichkeiten dadurch gilt: • und Die Grundwahrscheinlichkeiten sind entscheidend 38

Rechenbeispiel Satz von Bayes p(Test positiv I schwanger) = 0, 97 wir wollen aber p(schwanger I Test positiv) = ? ? ? wir brauchen: p(schwanger)= 0, 08 p(Test positiv)=0, 15 p(schwanger I Test positiv) = (0, 97*0, 08) / 0, 15 = 0, 517 setzt voraus, dass man Grundwahrscheinlichkeit im Nenner kennt, tut man oft aber nicht 39

Verallgemeinerung Bayes-Formel • Einsatz Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: • Sieht schrecklich aus, ist aber einfach nur eine Umschreibung für p(A) Das wird mit einer Übung viel deutlicher 40

Übung Satz von Bayes Excel 41

Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit Noch Fragen? Anregungen? Feedback? 42

Quellen ● https: //iversity. org/de/my/courses/einfuehrung-in-die-wahrscheinlichkeitsrechnung--17/lesson_units ● https: //www. crashkurs-statistik. de/was-ist-eine-wahrscheinlichkeit/ ● https: //matheguru. com/stochastik/wahrscheinlichkeit. html 43