Departemen Teknik Industri FTIITB TI 2131 TEORI PROBABILITAS

Departemen Teknik Industri FTI-ITB TI 2131 TEORI PROBABILITAS Bagian 5 – DISTRIBUSI KONTINYU Laboratorium Sistem Produksi 2004 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3

Departemen Teknik Industri FTI-ITB 5 l l l Distribusi Probabilitas Kontinyu Variabel Random Kontinyu Distribusi Probabilitas Uniform Distribusi Probabilitas Eksponensial Distribusi Probabilitas Normal Distribusi Porbabilitas Gamma Distribusi Probabilitas Weibull TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 2

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Dari Diskrit Menjadi Kontinyu Interval waktu dapat dibagi menjadi: Interval 0. 5 menit Interval 0. 125 menit Interval 0. 25 menit Minutes to Complete Task: Fourths of a Minutes to Complete Task: By Half-Minutes to Complete Task: Eighths of a Minute P(x) 0. 10 P(x) 0. 15 0. 00 0. 0. 1. 0 1. 5 2. 0 2. 5 3. 0 3. 5 4. 0 4. 5 5. 0 5. 5 6. 0 6. 5 0 Minutes f(z) 1 2 3 Minutes 2 3 4 5 6 7 Minutes Interval kecil tak terbatas 0 1 4 5 6 7 0 1 2 3 4 Minutes 5 6 7 Jika sebuah variabel random diskrit dibagi menjadi interval kecil yang tidak terbatas, maka perhitungan probabilitasnya ditentukan oleh sebuah rentangnilai dan nilai probabilitas adalah luas area di bawah kurva dalam rentang tersebut. Untuk contoh di samping, dinyatakan dengan P(2<X<3). TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 3

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Variabel Random Kontinyu q Variabel Random Kontinyu adalah sebuah variabel random yang dapat berupa sembarang nilai pada suatu interval yang diamati. q Probabilitas dari variabel random kontinyu X ditentukan oleh sebuah fungsi densitas, dinotasikan dengan f(x), dan memiliki beberapa sifat berikut. f(x) > 0 untuk setiap nilai x. Probabilitas bahwa X berada diantara dua nilai a dan b adalah sama dengan luas area dibawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b. Total luas area di bawah kurva f(x) adalah 1. 00. TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 4

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Fungsi Densitas dan Kumulatif F(x) 1 Fungsi kumulatif F(b) } F(a) P(a £ X £ b)=F(b) - F(a) 0 a f(x) x b P(a < X < b) = Area di bawah f(x) yang dibatasi oleh a dan b = F(b) - F(a) Fungsi densitas 0 a b TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 x 5

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Uniform Kontinyu (1) Densitas uniform [0, 5] : f(x)= { E(X) = 2. 5 1/5 for 0 < X < 5 0 lainnya Distribusi Uniform 0. 5 Total luas area f(x) = 1/5 * 5 = 1. 00 0. 4 f(x) 0. 3 0. 2 0. 1. 0. 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 Luas area di bawah f(x) Interval 1 sampai 3 = P(1<X<3) = 2. (1/5) = 2/5 x TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 6

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Uniform Kontinyu (2) Definisi: Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) x mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas probabilitas: 1/( - ), untuk <x< f(x)= 0 untuk x lainnya. { Ekspektasi dan variansi: E(X)=( + )/2 dan V(X)= ( - )2/12 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 7

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Uniform Kontinyu (3) Contoh: • Dalam program komputer simulai terdapat subrutin pembangkit bilangan random uniform dalam interval [0, 10]. Sebuah proses simulasi akan berhenti (terminate) bila terjadi kemunculan sebuah bilangan random [3/2 , 7/2]. Jika dilakukan replikasi pembangkitan bilangan random, berapa kemungkinan proses tersebut akan berhenti (terminate)? • Persoalan tersebut mengikuti distribusi uniform kontinyu dengan fungsi f(x)=1/10 untuk [1, 10], dengan demikian probabilitas bahwa proses simulasi akan berhenti adalah P(3/2<x<7/2)=0, 2. TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 8

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Eksponensial (1) Distribusi eksponensial memiliki kaitan erat dengan distribusi Poisson (dari proses poisson) jika persoalan didekati dari variabel interval antar kedatangan. TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 9

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Eksponensial (2) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 10

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Eksponensial (3) • Sebuah peralatan dilengkapi dengan komponen pengaman untuk melindungi peralatan dari kegagalan. Berdasarkan data dan pengamatan yang panjang, komponen pengaman tersebut memiliki daya tahan yang dinyatakan oleh variabel random satuan waktu (minggu) T yang berdistribusi eksponensial dengan parameter =1/5. Saat ini perusahaan memiliki 5 set peralatan terpisah (independent) dimana masing-masing dilengkapi dengan komponen pengaman yang diasumsikan identik. Dari perhitungan pesanan masuk yang harus dipenuhi, perusahaan menginkan peralatan tersebut tidak mengalami kegagalan total untuk memenuhi pesanan yang direncanakan dipenuhi dalam 8 minggu. Jika diinginkan paling sedikit dua peralatan dapat beroperasi untuk memenuhi pesanan tersebut, berapa besar kemungkinan tersebut terjadi? TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 11

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Eksponensial (4) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 12

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (1) Untuk p 0, 5 dan dengan meningkatnya n, distribusi binomial menjadi … n=6 n = 10 B ino m ial D istrib utio n: n=1 0 , p =. 5 B ino m ial D istrib utio n: n=1 4 , p =. 5 0. 3 0. 2 0. 1 P(x) 0. 3 P(x) 0. 1 0. 0 0 1 2 3 4 5 6 0. 0 0 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 x Distribusi yang berbentuk kurva seperti lonceng (bell) 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x Normal Distribution: = 0, = 1 0. 4 0. 3 f(x) P(x) B ino m ial D is trib ution: n=6, p =. 5 n = 14 0. 2 0. 1 0. 0 -5 0 x TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 5 13

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (2) • • Distribusi kemungkinan variabel random kontinyu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal, yang merupakan variabel random yang berasal dari proses random dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik pemusatan tersebut secara simetris. Dikenal sebagai distribusi Gauss, sebagai orang pertama yang mempublikasikannya pada tahun 1809 (bentuk matematika pertama kali diturunkan dari distribusi binomial oleh De. Moivre 1733 dan Laplace 1775) dan selanjutnya dipromosikan sebagai sebuah dalil probabilitas untuk setiap variabel random kontinyu. TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 14

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (3) Normal Distribution: = 0, = 1 Fungsi densitas probabilitas normal: 0. 4 f(x ) 0. 3 0. 2 0. 1 0. 0 -5 0 5 x TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 15

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (4) • Kurva normal membentuk: § Kurva lonceng dan berdistribusi simetris, sehingga setengah (. 50 or 50%) bagian akan berada di salah satu sisi dari rata-rata. § Setiap kurva dicirikan oleh pasangan rata-rata, , dan variansi, , dan dintayakan dengan: [X~N( )]. § Setiap kurva bersifat asymptotik. § Luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal dalam rantang k dari adalah sama untuk setiap distribusi, berapapun besarnya nilai rata-rata dan variansi. TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 16

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (5) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 17

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (6) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 18

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (7) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 19

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (8) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 20

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (9) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 21

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (10) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 22

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (11) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 23

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (12) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 24

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (13) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 25

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (14) Semua kurva di bawah ini mengikuti distribusi normal dengan nilai rata dan variansi yang berbeda Normal Distribution: =40, =1 Normal Distribution: =30, =5 0. 4 Normal Distribution: =50, =3 0. 2 f(y) f(x) f(w) 0. 3 0. 1 0. 0 35 40 45 w 0. 3 f(z) 20 30 40 Perhatikan bahwa: 0. 4 0. 2 0. 1 0. 0 0 10 50 60 x Normal Distribution: =0, =1 -5 0. 0 0 5 P(39 W 41) P(25 X 35) P(47 Y 53) P(-1 Z 1) 35 45 50 55 65 y Nilai probabilitas dari setiap interval adalah luas area di bawah kurva fungsi densitas probabilitas normal. z TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 26

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Normal (15) • • Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang satu deviasi standar dari rata-rata adalah 0. 6826, atau sekitar 0. 68. Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang dua deviasi standar dari rata-rata adalah 0. 9544, atau sekitar 0. 95. Probabilitas bahwa variabel random normal berada dalam rentang tiga deviasi standar dari rata-rata adalah 0. 9974. S tand ard No rm al D is trib utio n 0. 4 0. 3 f(z) • 0. 2 0. 1 0. 0 -5 -4 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Z 27

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Normal Standar (1) Variabel random normal standar, Z, adalah variabel random normal dengan rata-rata = 0 dan deviasi standar = 1: Z~N(0, 12). Standard Normal Distribution 0. 4 =1 { f( z) 0. 3 0. 2 0. 1 0. 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 =0 Z TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 28

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Normal Standar (2) P(0 < Z < 1. 56) Probabilitas Normal Standard Normal Distribution 0. 4 f(z) 0. 3 0. 2 0. 1 { 1. 56 0. 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Z Lihat pada baris 1. 5 dan kolom. 06 untuk menemukan P(0<z<1. 56) = 0. 4406 z 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 1. 5 1. 6 1. 7 1. 8 1. 9 2. 0 2. 1 2. 2 2. 3 2. 4 2. 5 2. 6 2. 7 2. 8 2. 9 3. 0 . 00 0. 0000 0. 0398 0. 0793 0. 1179 0. 1554 0. 1915 0. 2257 0. 2580 0. 2881 0. 3159 0. 3413 0. 3643 0. 3849 0. 4032 0. 4192 0. 4332 0. 4452 0. 4554 0. 4641 0. 4713 0. 4772 0. 4821 0. 4861 0. 4893 0. 4918 0. 4938 0. 4953 0. 4965 0. 4974 0. 4981 0. 4987 . 01 0. 0040 0. 0438 0. 0832 0. 1217 0. 1591 0. 1950 0. 2291 0. 2611 0. 2910 0. 3186 0. 3438 0. 3665 0. 3869 0. 4049 0. 4207 0. 4345 0. 4463 0. 4564 0. 4649 0. 4719 0. 4778 0. 4826 0. 4864 0. 4896 0. 4920 0. 4940 0. 4955 0. 4966 0. 4975 0. 4982 0. 4987 . 02 0. 0080 0. 0478 0. 0871 0. 1255 0. 1628 0. 1985 0. 2324 0. 2642 0. 2939 0. 3212 0. 3461 0. 3686 0. 3888 0. 4066 0. 4222 0. 4357 0. 4474 0. 4573 0. 4656 0. 4726 0. 4783 0. 4830 0. 4868 0. 4898 0. 4922 0. 4941 0. 4956 0. 4967 0. 4976 0. 4982 0. 4987 . 03 0. 0120 0. 0517 0. 0910 0. 1293 0. 1664 0. 2019 0. 2357 0. 2673 0. 2967 0. 3238 0. 3485 0. 3708 0. 3907 0. 4082 0. 4236 0. 4370 0. 4484 0. 4582 0. 4664 0. 4732 0. 4788 0. 4834 0. 4871 0. 4901 0. 4925 0. 4943 0. 4957 0. 4968 0. 4977 0. 4983 0. 4988 . 04 0. 0160 0. 0557 0. 0948 0. 1331 0. 1700 0. 2054 0. 2389 0. 2704 0. 2995 0. 3264 0. 3508 0. 3729 0. 3925 0. 4099 0. 4251 0. 4382 0. 4495 0. 4591 0. 4671 0. 4738 0. 4793 0. 4838 0. 4875 0. 4904 0. 4927 0. 4945 0. 4959 0. 4969 0. 4977 0. 4984 0. 4988 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 . 05 0. 0199 0. 0596 0. 0987 0. 1368 0. 1736 0. 2088 0. 2422 0. 2734 0. 3023 0. 3289 0. 3531 0. 3749 0. 3944 0. 4115 0. 4265 0. 4394 0. 4505 0. 4599 0. 4678 0. 4744 0. 4798 0. 4842 0. 4878 0. 4906 0. 4929 0. 4946 0. 4960 0. 4978 0. 4984 0. 4989 . 06 0. 0239 0. 0636 0. 1026 0. 1406 0. 1772 0. 2123 0. 2454 0. 2764 0. 3051 0. 3315 0. 3554 0. 3770 0. 3962 0. 4131 0. 4279 0. 4406 0. 4515 0. 4608 0. 4686 0. 4750 0. 4803 0. 4846 0. 4881 0. 4909 0. 4931 0. 4948 0. 4961 0. 4979 0. 4985 0. 4989 . 07 0. 0279 0. 0675 0. 1064 0. 1443 0. 1808 0. 2157 0. 2486 0. 2794 0. 3078 0. 3340 0. 3577 0. 3790 0. 3980 0. 4147 0. 4292 0. 4418 0. 4525 0. 4616 0. 4693 0. 4756 0. 4808 0. 4850 0. 4884 0. 4911 0. 4932 0. 4949 0. 4962 0. 4979 0. 4985 0. 4989 . 08 0. 0319 0. 0714 0. 1103 0. 1480 0. 1844 0. 2190 0. 2517 0. 2823 0. 3106 0. 3365 0. 3599 0. 3810 0. 3997 0. 4162 0. 4306 0. 4429 0. 4535 0. 4625 0. 4699 0. 4761 0. 4812 0. 4854 0. 4887 0. 4913 0. 4934 0. 4951 0. 4963 0. 4973 0. 4980 0. 4986 0. 4990 . 09 0. 0359 0. 0753 0. 1141 0. 1517 0. 1879 0. 2224 0. 2549 0. 2852 0. 3133 0. 3389 0. 3621 0. 3830 0. 4015 0. 4177 0. 4319 0. 4441 0. 4545 0. 4633 0. 4706 0. 4767 0. 4817 0. 4857 0. 4890 0. 4916 0. 4936 0. 4952 0. 4964 0. 4974 0. 4981 0. 4986 0. 4990 29

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Normal Standar (3) P(Z < -2. 47) Untuk P(Z<-2. 47): z. . . 2. 3. . . 2. 4. . . 2. 5. . Lihat tabel untuk 2. 47 P(0 < Z < 2. 47) =. 4934 P(Z < -2. 47) =. 5 - P(0 < Z < 2. 47) =. 5 -. 4934 = 0. 0066 0. 4909 0. 4931 0. 4948 . 06. . . 0. 4911 0. 4932 0. 4949 . 07. . . 0. 4913 0. 4934 0. 4951 . 08. . . Standard Normal Distribution Area di sebelah kiri -2. 47 P(Z < -2. 47) =. 5 - 0. 4932 = 0. 0068 0. 4 Nilai tabel area 2. 47 P(0 < Z < 2. 47) = 0. 4934 f(z) 0. 3 0. 2 0. 1 0. 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Z TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 30

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Normal Standar (4) P(1< Z < 2) Temukan P(1 < Z < 2): 1. Temukan nilai tabel 2. 00 < 2. 00) =. 5 +. 4772 =. 9772 F(2) = P(Z 2. Temukan nilai tabel 1. 00 F(1) = P(Z < 1. 00) =. 5 +. 3413 =. 8413 3. P(1 < Z < 2. 00) = P(Z < 2. 00) - P(Z < 1. 00) =. 9772 -. 8413 =. 1359 z. . . 0. 9 1. 0 1. 1. 9 2. 0 2. 1. . 00. . . 0. 3159 0. 3413 0. 3643. . . 0. 4713 0. 4772 0. 4821. . . Standard Normal Distribution 0. 4 Luas area diantara 1 dan 2 P(1 < Z < 2) =. 4772 -. 8413 = 0. 1359 f(z) 0. 3 0. 2 0. 1 0. 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Z TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 31

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Normal Standar (5) P(0 < Z < z) = 0. 40 Temukan z sehingga P(0 < �Z < �z) =. 40: Temukan nilai probabilitas sedekat mungkin dengan. 40 dari tabel kemungkinan normal standar. • Tentukan nilai z pada baris dan kolom yang sesuai. z 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1. 0 1. 1 1. 2 1. 3. . 00 0. 0000 0. 0398 0. 0793 0. 1179 0. 1554 0. 1915 0. 2257 0. 2580 0. 2881 0. 3159 0. 3413 0. 3643 0. 3849 0. 4032. . 01 0. 0040 0. 0438 0. 0832 0. 1217 0. 1591 0. 1950 0. 2291 0. 2611 0. 2910 0. 3186 0. 3438 0. 3665 0. 3869 0. 4049. . 02 0. 0080 0. 0478 0. 0871 0. 1255 0. 1628 0. 1985 0. 2324 0. 2642 0. 2939 0. 3212 0. 3461 0. 3686 0. 3888 0. 4066. . . P(0<z<1. 28) 0. 40 . 03 0. 0120 0. 0517 0. 0910 0. 1293 0. 1664 0. 2019 0. 2357 0. 2673 0. 2967 0. 3238 0. 3485 0. 3708 0. 3907 0. 4082. . 04 0. 0160 0. 0557 0. 0948 0. 1331 0. 1700 0. 2054 0. 2389 0. 2704 0. 2995 0. 3264 0. 3508 0. 3729 0. 3925 0. 4099. . 05 0. 0199 0. 0596 0. 0987 0. 1368 0. 1736 0. 2088 0. 2422 0. 2734 0. 3023 0. 3289 0. 3531 0. 3749 0. 3944 0. 4115. . 06 0. 0239 0. 0636 0. 1026 0. 1406 0. 1772 0. 2123 0. 2454 0. 2764 0. 3051 0. 3315 0. 3554 0. 3770 0. 3962 0. 4131. . 07 0. 0279 0. 0675 0. 1064 0. 1443 0. 1808 0. 2157 0. 2486 0. 2794 0. 3078 0. 3340 0. 3577 0. 3790 0. 3980 0. 4147. . 08 0. 0319 0. 0714 0. 1103 0. 1480 0. 1844 0. 2190 0. 2517 0. 2823 0. 3106 0. 3365 0. 3599 0. 3810 0. 3997 0. 4162. . 09 0. 0359 0. 0753 0. 1141 0. 1517 0. 1879 0. 2224 0. 2549 0. 2852 0. 3133 0. 3389 0. 3621 0. 3830 0. 4015 0. 4177. . . Standard Normal Distribution 0. 4 Luas area di kiri 0 =. 50 P(z 0) =. 50 P(Z <1. 28) . 90 f(z) Karena P(Z < 0) =. 50 Area =. 40 (. 3997) 0. 3 0. 2 0. 1 0. 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 Z TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 1 2 3 4 5 Z = 1. 28 32

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Normal Standar (6) P(-z. 005< Z < z. 005) = 0. 99 Untuk memperoleh probabilitas 0. 99 di tengah distribusi, akan ada (1/2)(1 -. 99) = (1/2)(. 01) =. 005 di ekor (tail) distribusi, dan (1/2)(. 99) =. 495 setengah dari interval. 99, atau : P(0<Z<�z. 005) =. 495 z. . . 2. 4. . . 2. 5. . . 2. 6. . . . 04. . . 0. 4927 0. 4945 0. 4959. . 05. . . 0. 4929 0. 4946 0. 4960. . 06. . . 0. 4931 0. 4948 0. 4961. . 07. . . 0. 4932 0. 4949 0. 4962. . 08. . . 0. 4934 0. 4951 0. 4963. . 09. . . 0. 4936 0. 4952 0. 4964. . . Area di tengah =. 99 Area di kiri =. 495 0. 4 Area di kanan =. 495 Dari tabel probabilitas normal standar: f(z) 2, 57 < �z. 005 < � 2, 58 z. 005 � 2, 575 0. 3 Area di ekor kiri =. 005 P(-. 2575 < �Z < 2, 575) =. 99 0. 2 Area di ekor kanan =. 005 0. 1 0. 0 -5 -4 -3 -2 -z. 005 -2. 575 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 -1 0 Z 1 2 3 4 5 z. 005 2. 575 33

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal Luas area dalam interval k dari rata-rata untuk variabel random normal adalah sama. Jadi area di bawah kurva normal ekuivalan dengan area di bawah kurna normal standar. Contoh: P(40 X P(-1 Z untuk 5 dan Transformasi X menjadi Z: Normal Distribution: =50, =10 0. 07 0. 06 Transformasi pada f(x) (1) Pengurangan: (X - x) 0. 05 0. 04 0. 03 =10 { 0. 02 Standard Normal Distribution 0. 01 0. 00 0. 4 0 10 30 40 50 60 70 80 90 100 X 0. 3 (2) Pembagian dengan x) 0. 2 { f(z) 20 1. 0 0. 1 0. 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Transformasi sebaliknya Z menjadi X: 5 Z TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 34

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal Contoh: X~N(160, 302) Contoh X~N(127, 222) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 35

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal (Minitab) MTB > cdf 100; SUBC> normal 160, 30. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 160. 000 and standard deviation = 30. 0000 MTB > cdf 150; SUBC> normal 127, 22. Cumulative Distribution Function Normal with = 127. 000 and = 22. 0000 x P( X <= x) 100. 0000 0. 0228 MTB > cdf 180; SUBC> normal 160, 30. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 160. 000 and standard deviation = 30. 0000 x P( X <= x) 150. 0000 0. 8521 x P( X <= x) 180. 0000 0. 7475 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 36

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal (Minitab) Normal Distribution: = 383, = 12 Contoh X~N(383, 122) 0. 05 f(X) 0. 04 0. 03 0. 02 0. 01 Standard Normal Distribution 0. 00 340 0. 4 t len a v i Equ f(z) 0. 3 0. 2 s area 390 440 X 0. 1 0. 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Z MTB > cdf 394; SUBC> normal 383, 12. MTB > cdf 399; SUBC> normal 383, 12. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 383. 000 and standard deviation = 12. 0000 x P( X <= x) 394. 0000 0. 8203 x P( X <= x) 399. 0000 0. 9088 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 37

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal (Excel) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 38

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal Transformasi X menjadi Z: Transformasi kebalikan Z menjadi X: Transformasi X menjadi Z, dengan nilai a dan b: TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 39

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal Untuk menemukan nilai probabilitas dengan interval tertentu untuk sembarang variabel random normal adalah dengan mengekspresikan interval tersebut dalam satuan deviasi standar dari rata-ratanya. Jika X~N(50, 102), P(X >70) dapat diperoleh karena 70 adalah 2 deviasi standar di atas rata-rata X: 70= +2. P(X > 70) ekuivalen dengan P(Z > 2), luas area di bawah kurva normal standar. Contoh: X~N(124, 122) P(X > x) = 0. 10 dan P(Z > 1. 28) �� 0. 10 x = + z = 124 + (1. 28)(12) = 139. 36 z. . . 1. 1 1. 2 1. 3. . . . TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 . 07. . . 0. 3790 0. 3980 0. 4147. . 08. . . 0. 3810 0. 3997 0. 4162. . 09. . . 0. 3830 0. 4015 0. 4177. . . 40

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal Contoh: X~N(2450, 4002) P(a<X<b)=0. 95 dan P(-1. 96<Z<1. 96) 0. 95 x = z = 2450 ± (1. 96)(400) = 2450 ± 784=(1666, 3234) P(1666 < X < 3234) = 0. 95 Contoh: X~N(5. 7, 0. 52) P(X > x)=0. 01 dan P(Z > 2. 33) 0. 01 x = + z = 5. 7 + (2. 33)(0. 5) = 6. 865 z. . . 2. 2 2. 3 2. 4. . 02. . . 0. 4868 0. 4898 0. 4922. . . . . 03. . . 0. 4871 0. 4901 0. 4925. . 04. . . 0. 4875 0. 4904 0. 4927. . . z. . . 1. 8 1. 9 2. 0. . Normal Distribution: = 5. 7 = 0. 5 0. 8 . 07. . . 0. 4693 0. 4756 0. 4808. . 0. 0015 0. 6 . 4750 0. 0010 f(x) 0. 5 f(x) . 06. . . 0. 4686 0. 4750 0. 4803. . Normal Distribution: = 2450 = 400 Area = 0. 49 0. 7 . 05. . . 0. 4678 0. 4744 0. 4798. . . . 0. 4 X. 01 = +z = 5. 7 + (2. 33)(0. 5) = 6. 865 0. 3 0. 0005 0. 2 . 0250 Area = 0. 01 0. 0000 3. 2 4. 2 5. 2 6. 2 7. 2 1000 8. 2 2000 -5 -4 -3 -2 -1 0 z 3000 4000 X X 1 2 3 4 5 Z. 01 = 2. 33 -5 -4 -3 -2 -1. 96 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 -1 0 Z 1 2 1. 96 3 4 5 41

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal 0. 0012. 0. 0010. 0. 0008. f(x) 1. Gambarkan distribusi normal yang ingin diteliti dan distribusi normal standar. No rm al Distribution: = 24 50, = 400 0. 0006. 0. 0004. 0. 0002. 0. 0000 1000 2. Arsir daerah probabilitas yang diteliti. 3000 4000 X S ta nd a rd N o rm al D is trib utio n 0. 4 0. 3 f(z) 3. Dari tabel distribusi normal standar, temukan nilai z. 2000 0. 2 0. 1 4. Transformasikan nilai z menjadi x (nilai variabel random asal). 0. 0 -5 -4 -3 -2 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 -1 0 1 2 3 4 5 Z 42

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal No 50, == 400 Norrm al al Distribution: == 24 2450, 40 1. Distribusi normal dan normal standar. 3. Temukan nilai z dari tabel normal standar z=-1, 96 dan z=1. 96 0. 0012. . 4750 0. 0010. . 4750 f(x) 0. 0008. 2. Arsir daerah 0. 95 (masing-masing 0. 475 di kiri dan kanan. 0. 0006. 0. 0004. . 9500 0. 0002. 0. 0000 100 200 300 400 X 4. Transformasi nilai z ke nilai x S ta nd a rd N o rm al D is trib utio n 0. 4 . 4750. . . . 05. . . 0. 4678 0. 4744 0. 4798. . . 06. . . 0. 4686 0. 4750 0. 4803. . . 07. . . 0. 4693 0. 4756 0. 4808. . f(z) z. . . 1. 8 1. 9 2. 0. . . 4750 0. 3 0. 2 0. 1 . 9500 0. 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Z -1. 96 x = z = 2450 ± (1. 96)(400) = 2450 ± 784 =(1666, 3234) 1. 96 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 43

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Transformasi Variabel Random Normal Using EXCEL TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 44

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Pendekatan untuk Binomial (1) Distribusi normal dengan = 3. 5 dan = 1. 323 mendekati distribusi binomial dengan n = 7 dan p = 0. 50. Normal Distribution: P(x<4. 5) = 0. 7749 = 3. 5, = 1. 323 Binomial Distribution: n = 7, p = 0. 50 0. 3 P( x 4) = 0. 7734 0. 2 f(x) P(x) 0. 2 0. 1 0. 0 0 5 10 0 1 X MTB > cdf 4. 5; SUBC> normal 3. 5 1. 323. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 3. 50000 and standard deviation = 1. 32300 x P( X <= x) 4. 5000 0. 7751 2 3 4 5 6 7 X MTB > cdf 4; SUBC> binomial 7, . 5. Cumulative Distribution Function Binomial with n = 7 and p = 0. 500000 =0. 0017 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 x P( X <= x) 4. 00 0. 7734 45

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Pendekatan untuk Binomial (2) Distribusi normal dengan = 5. 5 dan = 1. 6583 pendekatan yang lebih baik untuk distribusi binomial dengan n = 11 dan p = 0. 50. Normal Distribution: = 5. 5, = 1. 6583 Binomial Distribution: n = 11, p = 0. 50 P(x 4) = 0. 2744 0. 3 P(x<4. 5) = 0. 2732 0. 2 f(x) P(x) 0. 2 0. 1 0. 0 0 5 0 10 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 X X MTB > cdf 4. 5; SUBC> normal 5. 5 1. 6583. Cumulative Distribution Function Normal with mean = 5. 50000 and standard deviation = 1. 65830 x P( X <= x) 4. 5000 0. 2732 3 =0. 0012 MTB > cdf 4; SUBC> binomial 11, . 5. Cumulative Distribution Function Binomial with n = 11 and p = 0. 500000 x P( X <= x) 4. 00 0. 2744 TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 46

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Pendekatan untuk Binomial (3) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 47

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Pendekatan untuk Binomial (4) Untuk n besar (n>50) dan p tidak mendekati 0 atau 1. 00 Atau: Untuk n sedang (20<n<50) Jika p kecil (mendekati 0) atau besar (mendekati 1), gunakan pendekatan dengan distribusi Poisson. TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 48

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Pendekatan untuk Binomial (5) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 49

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Perhitungan dengan Excel (1) • • Dalam EXCEL, perintah NORMSDIST(number) akan memberikan nilai probabilitas kumulatif dari variabel random normal standar. Perintah NORMDIST(number, mean, standard deviation) akan memberikan nilai probabilitas dari variabel random normal secara umum. TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 50

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Perhitungan dengan Excel (2) Contoh: • NORMSDIST(1. 0) = 0. 8413. • NORMDIST(10. 0, 5, 2) = 0. 9938. • Perintah inversinya NORMSINV(number) dan NORMINV(number, mean, standard deviation). • NORMSINV(0. 975) = 1. 96. • NORMINV(0. 975, 20, 10) = 39. 6. TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 51

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Normal Multivariat (1) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 52

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Normal Multivariat (2) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 53

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Normal Multivariat (3) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 54

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Gamma (1) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 55

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Gamma (2) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 56

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Gamma (3) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 57

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Gamma (4) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 58

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Weibull (1) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 59

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Weibull (2) TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 60

Departemen Teknik Industri FTI-ITB Distribusi Probabilitas Weibull (3) Distribusi Weibull digunakan secara luas dalam analisis keandalan yang mengeneralisasi aplikasi distribusi tersebut dengan menyertakan hazard rate yang tidak konstan, meningkat atau menurun, dan mencakup initial failure serta wear-out failures. t TI 2131 Teori Probabilitas - Bagian 3 61