DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Estructuras Algebraicas Prof Haroldo Cornejo

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Estructuras Algebraicas Prof: Haroldo Cornejo Olivarí

Leyes de composición • Se dice que en A se ha definido una ley de composición interna u operación cuando se define una Función del producto cartesiano A x A en A de tal forma que el par de elementos (a, b) genere otro elemento c, tal que c también pertenece al conjunto A. • Para representar el elemento imagen del par (a, b) se utiliza la notación c = a f b donde f es cualquier símbolo. • Por ejemplo , , ,

PROPIEDADES

Asociativa • Se dice que la ley de composición * es asociativa cuando para cualquier elementos a, b, c pertenecientes al conjunto A se verifica: • (a * b) * c = a * (b * c) a +( b + c )= (a + b) + c a ( b c )= (a b) c

Conmutativa • Se dice que la ley de composición * es conmutativa cuando para cualquier elementos a, b, c pertenecientes al conjunto A se verifica: • a*b=a*b a + b = b + a a b = b a

Elemento neutro • Se dice que la ley de composición * posee elemento neutro cuando existe un elemento e de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica: • a*e=a l! 0 / a + 0 = 0 + a = a El real 0 es llamado: elemento neutro aditivo. l! 1 / a 1 = 1 a = a El real 1 es llamado: elemento neutro multiplicativo.

Elemento Inverso • Se dice que la ley de composición, que posee elemento neutro, es simetrizable cuando para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento Inverso a 1 de A tal que: • a*a 1= e • Donde e es el elemento neutro

Elemento Inverso Para cada número real a, existe un real único llamado el inverso aditivo de a, y que se denota “–a” tal que: a + (-a) = 0 Para cada número real a 0, existe un real único llamado el recíproco de a, (inverso multiplicativo) y que se denota por a-1 ó tal que: a a-1 = a =1

Distributiva entre dos operaciones • Se dice que la ley de composición * es distributiva respecto de la operación ¤ cuando cualquiera que sean los elementos a, b, c pertenecientes al conjunto A se verifica: • a * (b ¤ c)= ( a * b ) ¤ ( a * c ) a, b, c, R , a (b+c) = a b + a c

Estructuras Op. Propiedad Cerrada Asociativa E. Neutro E. Inverso u opuesto Conmutativa Cerrada Asociativa Distributiva respecto a la operación O Estructura { A , } Grupo Abeliano { A , , } Anillo Conmutativa { A , , } Anillo Conmutativo E. Neutro { A , , } Anillo Conmutativo con unidad E. Inverso (para c/elem. Distinto del neutro de { A , , } Cuerpo

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