Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Centro de

Departamento de Engenharia Civil e Ambiental Centro de Tecnologia Universidade Federal da Paraíba Capítulo 10: Tensões e Deformações Curso: Engenharia Civil Disciplina: Mecânica dos Solos I Professor: Dr. Celso Augusto Guimarães Santos

Tensoes Principais 2/17

Tensões Principais São de particular interesse em Mecânica dos Solos as chamadas tensões principais. Definida como a tensão normal sobre um plano onde não há tensão de cisalhamento. Estado plano de tensão Muitos problemas que envolvem maciços terrosos permitem considerar apenas s 3 e s 1, reduzindo-os, assim, a problemas planos. 3/17

4/17 A figura representa um ponto O dentro de uma massa sujeita a esforcos, com OA o traço do plano principal maior e OB o do menor. Vejamos como determinar as tensões s e t sobre qualquer plano normal à figura e definido por sua inclinação a em relação ao plano principal maior.

5/17 sds s 1 d 2 a s o sc sa s co s 1 d ds c 2 a a sen s 1 s 3 ds n e ds s os a c a os c a en s s s 3 d a s 3 ds s a A ds s -a 90 tds en a B ds osa O a en a

5/17 2 a 2 acosa t ds =ssds ds = sen s ds a cos a + – s ds sena 1 1 33

As equações de equilíbrio das forças 6/17

Variação dos s e t para vários a 7/17

Círculo de Mohr Num sistema (s, t) traçando 3 semicírculos, demonstra-se que o ponto representativo do estado de tensão sobre qualquer seção inclinada em relação aos planos principais, situa-se na área hachurada limitada pelos 3 semicírculos. 8/17

Figura 10 -13. Ciclo de Mohr 9/17

Figuras 10 -16. Quando s 3 = 0 10/17

Figuras 10 -17. Quando s 1 = s 3 11/17

Critério de Ruptura Vários são os critérios, mas trataremos apenas dos critérios de Mohr-Coulomb. Critério de Mohr Supõe que a tensão de cisalhamento t = tr, correspondente à ruptura do material, ou seja, ao início do seu comportamento inelástico, é função unicamente de s sobre o plano de ruptura: tr = f(s) 12/17

13/17 Esta equação é graficamente representada pela curva intrínseca de ruptura AB, obtida traçando-se a envoltória dos círculos de Mohr correspondente a pares de tensões principais, s 1 e s 3, causadoras da ruptura.

Para que o corpo resista, é suficiente que o círculo de Mohr (C’), correspondente às tensões principais atuantes, fique no interior da curva intrínseca. Se o círculo (C’) é tangente em T, à curva (AB), há possibilidade de ruptura, por deslizamento, ao longo do plano que forma um ângulo a com o plano principal maior pois, nesse caso, a tensão de cisalhamento atingiu a resistência ao cisalhamento (t = tr) 14/17

Equação de Coulomb t = tr = c + s tg j t = resistência ao cisalhamento s = tensão normal ao plano de cisalhamento c = coesão do solo j = ângulo de atrito interno do solo 15/17

Critério Mohr-Coulomb 16/17

Critério Mohr-Coulomb 2 a = 90º + j ∴ a = 45º + j/2 17/17

17/17 ND = NC + CD NB = NC – BC Notando que BC = CD = CT, CT dividindose membro a membro tem-se: ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT)

17/17 ND/NB = (NC + TC)/(NC – CT) Dividindo ambos os termos da fração do segundo membro por NC, NC vem: ND/NB = (1 + CT/NC)/(1 – CT/NC) uma vez que: CT/NC = senj si = c/tgj Também: ND = si + s 1 NB = si + s 3 Nj = ND/NB

Equação de Ruptura de Mohr Nj = (1 + senj)/(1 – senj) = tg 2(45 + j/2) s 1 = s 3 Nj + 2 c √Nf 17/17