Deformationsanalyse Einleitung Strenge Deformationsanalyse in zwei Epochen Deformationsanalyse

Deformationsanalyse • Einleitung • Strenge Deformationsanalyse in zwei Epochen • Deformationsanalyse bei mehreren Epochen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Problemstellung • Vermutung: In einem Punkthaufen ändert sich die Position einiger Punkte mit der Zeit Deformation • Nachweis: Mehrfach gemessenem Netz – eine Messkampagne = Epoche • Anwendungen: Detektierung von Hangrutschungen, Überwachung von Bauwerken (Verformungen) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Unterscheidung in • Relative Modelle: Relative Bewegungen zwischen Punkten werden bestimmt (z. B. Verformung einer Staumauer) • Absolute Modelle: Zusätzlich Bewegung des Objektes bezüglich der Umgebung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Problemstellung umfasst • Signifikanz: Auswirkungen der zufälligen Fehler der Beobachtungen müssen kleiner sein als Deformationen • Ausreißer: Grobe Fehler müssen vor der Analyse gefunden werden • Festpunkte: Bei absoluten Modellen sind stabile Festpunkte nötig – außerhalb des Deformationsbereiches Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Strenge Deformationsanalyse • Innere Netzgeometrie für jede Epoche separat bestimmt • Datumsfestlegung durch Gesamtspurminimierung • Deformationsanalyse nach epochenweiser Ausgleichung • Änderungen der Netzkonfiguration können eingearbeitet werden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Strenge Deformationsanalyse bei 2 Epochen Teilaufgaben sind • Prüfung, ob signifikante Verschiebungen vorhanden (globaler Kongruenztest) • Lokalisierung der Verschiebungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Globaler Kongruenztest (1) • Ausgangsmodell mit • Also eigener Koordinatenvektor für jede Epoche • Keine funktionalen Zusammenhänge zwischen den Epochen, also A 12=A 21=0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Globaler Kongruenztest (2) • Keine signifikanten Änderungen, wenn gilt • Lineare Hypothese über bzw. • Frage: Ändert sich die Fehlerquadratsumme durch Hinzufügen dieser Bedingung signifikant? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Linearer Hypothesentest (1) • Neuer ausgeglichener Parametervektor • Forderung • Partielle Ableitungen nach und k: liefern • Einsetzen von ergibt Moore-Penrose Pseudoinverse Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Linearer Hypothesentest (2) • Eingesetzt in ergibt sich • Endgültige Form: • Nachteil: Unhandlich! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Linearer Hypothesentest (3) • Verbesserungsquadratsumme • Formale Erweiterung • Ergibt • Weiters gilt • Und es ergibt sich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Linearer Hypothesentest (4) • Zuschlag R zur ursprünglichen Verbesserungsquadratsumme ist eine quadratische Form für die Verteilung gilt • Rang der Formmatrix (Formel für R) bezeichnet mit • Für Nichtzentralitätsparameter von R gilt: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Linearer Hypothesentest (5) • Nichtzentralitätsparameter wird nur dann Null, wenn Hypothese H 0 gilt, also • Somit Verteilungsaussage für R: • Summe W folgt ebenfalls C 2 -Verteilung • Annahme: Nichtzentralität verschwindet, also ursprüngliches Modell korrekt • Annahme: W und R stochastisch unabh. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Linearer Hypothesentest (6) • Testgröße: Quotient der beiden Größen • Quotient folgt einer nicht-zentralen Fisher. Verteilung • Gültigkeit von H 0 Freiheitsgrade : FNicht-Zentralitäts-Parameter folgt zentraler Fisher. Verteilung Wahrscheinlichkeitsbeziehung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Linearer Hypothesentest (7) Praxis: empirischer Wert F Überschreitet F den Grenzwert der FVerteilung für ein gegebenes Signifikanzniveau: Verwerfen der Nullhypothese, also Es gibt signifikante Verschiebungen! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Globaler Kongruenztest (1) • Nullhypothese eingesetzt in • Gibt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Globaler Kongruenztest (2) • Ausmultiplizieren ergibt • Einführung von • Liefert • Rang von Qdd ist formal h=u-d=r • Testgröße somit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Globaler Kongruenztest (3) Wahrscheinlichkeitsbeziehung lautet Überschreitet Wert von F den Grenzwert irgendwo im Netz gibt es Verschiebungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Globaler Kongruenztest über implizite Hypothesenformulierung • Gleiche Nullhypothese selber Vektor x • Gesamtsumme WH aus • Einzelsummen aus Ausgleichung der Epochen Zuschlag R = WH – W 1 – W 2 • Vorteil: kein spezielles Rechenprogramm notwendig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Unterschiedliche Konfiguration Unterschiedliche Netzkonfiguration in beiden Epochen: auf gemeinsames Datum 1. Elimination nicht identer Punkte 2. Datumsbestimmung über Teilspurminimierung 3. Datumswechsel mit S-Transformation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Macht des Tests • Umso größer je kleiner die Gefahr eines Fehlers 2. Art (Annahme einer falschen Hypothese) • Bei den meisten Ausgleichungsaufgaben: Fehler 1. Art teurer als Fehler 2. Art (bedeutet zusätzliche Beobachtungen) • Fehler 2. Art bei Deformationsanalyse: Verschiebungen bleiben unentdeckt! • Macht des Tests sollte also bestimmt werden – wird in der Praxis meist nicht getan Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Lokalisierung verschobener Punkte • Gesucht: Betroffene Punkte, Richtung und Betrag der Verschiebung • Zuschlag R in Anteile für die einzelnen Punkte aufgespalten, Punkt mit maximalem Klaffungsanteil aus Datum eliminiert • Neuerlicher Kongruenztest bis keine Verschiebung mehr feststellbar • Methode der max. Klaffungsanteile (Pelzer 1974) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Bestimmung der Klaffungsanteile • Differenzvektor d und Inverse der Kofaktormatrix • i-ter Klaffungsanteil ist dann Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Mehr als 2 Epochen • Bisher nur Vergleich von 2 Epochen nicht eindeutig, weil 2 Möglichkeiten – Vergleich aufeinander folgender Epochen – Vergleich jeder Epoche mit 1. Epoche • Strenge Kongruenzprüfung (z. B. Pelzer) – Globaler Kongruenztest – Zeitliche Lokalisierung – Räumliche Lokalisierung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil