Definizione di Flusso Il flusso la quantit di

Definizione di Flusso • Il flusso è la quantità di materia che, nell’unità di tempo, passa attraverso una superficie. • Nel caso di campo elettrico uniforme si potrà dire numero di linee per unità di superficie • Il flusso aumenta se il campo elettrico aumenta. • Il flusso attraverso una superficie perpendicolare al campo è massimo • Il flusso attraverso una superficie parallela al campo è zero L’algoritmo che soddisfa queste condizioni è il prodotto scalare fra il vettore campo elettrico E e il vettore DA normale alla superficie

Flusso di un campo • Infatti il flusso misura la densità delle linee di campo attraverso una superficie DFE = E DA cosq • Il flusso attraverso una superficie chiusa è sempre nullo. a meno che all’ interno della superficie non vi sia una sorgente o un pozzo di campo: • Si deve prestare attenzione alla direzione delle linee del campo che incidono sulla superficie chiusa. • Il flusso è una densità di campo, quindi verificarsi che le linee si addensino o si diradino. • Per le linee entranti il flusso è negativo mentre per le linee uscenti il flusso è positivo; il risultato netto è 0.

Teorema di Gauss Caso di una carica puntiforme: Il flusso Campo Elettrico attraverso una superficie infinitesima vale d. FE= E d. A cosq. Se la superficie è perpendicolare alle linee di campo cosq = 1 d. FE= E d. A Se la superficie è una sfera di raggio r il flusso sarà FE= E 4 p r 2 e se il campo vale E = k. Q/r 2 FE = k. Q/r 2 x 4 p r 2 = 4 p k. Q ponendo e 0 = 1/4 p k (permettività) avremo FE = Q/e 0 le cariche situate fuori dalla sfera non contribuiscono al valore del flusso perché la superficie è chiusa.

Sfera di Gauss Dalla legge di Coulomb si trova che il campo creato a distanza r da una carica puntiforme Q è: E = Q / 4 p e 0 r 2 Per il teorema di Gauss il flusso del campo di un campo elettrico generato dalla carica q, interna ad una superficie chiusa, è dato dalla formula Se la carica è puntiforme, ragioni di simmetria ci suggeriscono di usare come superficie Gaussiana una superficie sferica. Infatti essendo il campo radiale il vettore E ed il vettore DA sono paralleli

Teorema di Gauss: caso di un filo • Supponiamo di voler conoscere il campo elettrico generato da un filo carico infinito (densità di carica l). • In questo caso costruire una sfera attorno al filo non darebbe nessun vantaggi, perché la simmetria del campo prodotto da un filo è cilindrico, quindi conviene costruire una superficie di Gauss cilindrica attorno al filo. • Il flusso di campo E attraverso le basi è nullo poiché le linee di campo E ed il vettore superficie sono perpendicolari; mentre il flusso attraverso la superficie laterale vale: F = Eacosq = E(2 prh)cosq. • E la carica racchiusa all’interno della superficie è lh. Quindi per il teorema di Gauss E(2 prh)= lh/e 0 • ovvero

Teorema di Gauss: campo generato da una lastra isolante • Dal teorema di Gauss, il campo prodotto da una lastra carica infinita è dato da: • Costruiamo una superficie chiusa cilindrica con le basi parallele alla distribuzione piana e la superficie laterale che attraversi la lamina (vedi figura). • Per ragioni di simmetria si nota che il campo attraversa solo le basi del cilindro, le superfici laterali sono parallele al campo, quindi il flusso FE = (EA + EA) = 2 EA • Se la densità di carica è s allora si avrà: • Si noti che il campo generato da una lastra uniformemente carica, per distanze finite, non dipende da r.

Campo elettrico di una superficie metallica carica • Se volessimo calcolare il campo nei pressi di una superficie metallica molto grande, con densità di carica s, per il teorema di Gauss possiamo usare una superficie cilindrica come in figura. • Essendo un metallo tutte le cariche sono addensate sul lato esterno della lastra. • Le linee di campo attraversano una sola superficie di base e non attraversano la superficie laterale. • Il flusso sarà FE = EA e il Teorema di Gauss sarà • La differenza con il campo della lamina isolante è dovuta al fatto che all’interno del conduttore il campo elettrico E è 0.

Lavoro elettrico

Energia potenziale • Il lavoro meccanico fatto per spostare una carica q, in un campo elettrico E 0 è pari, ed opposto, al lavoro che fa il campo elettrico wmecc = - wele. • Quindi, il lavoro elettrico, come il lavoro meccanico, dipende solo dalle posizioni iniziali e finale della carica q (funzione di stato). • Una carica q, immersa in un campo elettrico E 0 , avrà una energia potenziale elettrica U(p), che dipenderà dalla posizione della carica. • La differenza delle energie potenziali è il lavoro elettrico e dipenderà dalle relative posizioni e dal segno della carica U(A) – U(B) = wele • Se una carica è posta all’infinito avremo una energia potenziale pari a zero U(∞) = 0. • L’energia potenziale U(A) è il lavoro che una forza elettrica Fe = q 0 E deve fare per portare una carica da ∞ al punto A.

Potenziale • L’energia potenziale, posseduta da una carica unitaria q 0 posta nel punto p è U(p). • Questa energia potenziale di pende dalla posizione e dalle cariche. • Il potenziale elettrico V(p) = U(p)/q 0 e naturalmente DV(p) = DU(p)/q 0 dipende solo dalla posizione. • Si definisce potenziale elettrico V, il potenziale generato da una carica Q e varia al variare della distanza dalla sorgente del campo, V(p). • La differenza di potenziale DV sarà anch’essa funzione posizione Vf – Vi = DV =- w/q • La d. d. p. DV è il lavoro necessario per spostare una carica unitaria fra due punti, e può essere positiva o negativa.

Calcolo del Potenziale Definizione di Lavoro di un campo elettrico Calcolo integrale Relazione fra Lavoro e d. d. p. Se il campo è uniforme V=Es

Superfici equipotenziali • Una superficie equipotenziale è il luogo geometrico dove il potenziale è uguale. • La superficie può essere una reale o immaginaria. • Spostare una particella carica su una superficie equipotenziale non costa lavoro. • Una superficie equipotenziale è perpendicolare alle linee di forza

Potenziale di una carica puntiforme • Si voglia spostare una carica q 0 dal punto p (distante r dalla carica q) all’infinito radialmente rispetto a q. La definizione di potenziale richiede di fare l’integrale del prodotto scalare elementare • E ds = E cosq ds Vf – Vi = - ∫E dr (fra 0 e ∞) Il potenziale è positivo quando la carica che lo determina è positiva

Potenziale di un dipolo elettrico • Anche il potenziale V soddisfa il principio di sovrapposizione • Nel punto p il potenziale sarà la somma dei potenziali dovuti alla carica (+) e alla carica (-) per r >> d r(-) – r(+) ~ d cos q e r(-) r(+) ~ r 2 p = qd

Energia potenziale di più cariche fisse • Per portare la prima carica dall’infinito alla posizione x non si compie nessun lavoro. • Ma per spostare una seconda carica q 2 dall’infinito alla posiziona a (x-d) si farà un lavoro (si deve vincere la repulsione) che sarà q 2 V dove V = q 1/4 pe 0 r è il potenziale generato da q 1 quindi Per cariche uguali il Lavoro sarà positivo, per cariche diverse sarà negativo

Potenziale per un conduttore carico • In un conduttore, l’eccesso di carica si distribuisce in modo che il potenziale all’interno e sulla superficie sia costante. • Si è già visto che • Siccome il campo elettrico all’interno deve essere 0 allora Vf = Vi • In figura sono mostrati anche gli andamenti del campo e del potenziale interni ed esterni al conduttore. • La curva del campo elettrico si ottiene derivando quella del potenziale. • Se il corpo non è una sfera può succedere che ci sia una addensamento di carica (come succede in prossimità di cuspidi) dove le cariche si possono addensare fino a formare l’”effetto corona” + E=0