Definisi Jika n adalah sebuah bilangan bukat positif

Definisi Jika n adalah sebuah bilangan bukat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-ntuple) adalah sebuah urutan n bilangan real (a 1, a 2, a 3, . . . , an). Himpunan semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan Rn. Ruang vektor Rn dinamakan ruang berdimensi n Euclidis ( Euclidis n-space)

Operasi-operasi Baku pada Rn Misalkan u = (u 1, u 2, . . . , un) dan v = (v 1, v 2, . . . , vn) pada Rn, maka: • • • u dan v dikatakan sama jika u 1 = v 1, u 2 = v 2, . . . , un = vn. Penjumlahan u dan v didefinisikan oleh: u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2, . . . , un + vn) Perkalian skalar yakni perkalian u dengan sembarang skalar k didefinisikan oleh: ku = (ku 1, ku 2, . . . , kun)

Contoh: Misalkan u = ( 1, -2, 3, 5 ) dan v = ( 2, -1, 1, -4 ), vektor-vektor di R 4 yang memenuhi persamaan u + 2 v = w. Tentukan vektor w! Jawab: w = ( 1, -2, 3, 5 ) + 2( 2, -1, 1, -4 ) = ( 5, -4, 5, -3)

Sifat-sifat operasi vektor pada ruang berdimensi n n n n n Jika u = (u 1, u 2, . . . , un), v = (v 1, v 2, . . . , vn), dan w = (w 1, w 2, . . . , wn) adalah vektor-vektor pada Rn, k dan l adalah skalar, maka: u+v=v+u u + (v + w) = (u + v) + w u+0=0+u=u u + (-u) = 0, yaitu u – u = 0 k(lu) = (kl)u k(u + v) = ku + kv (k + l)u = ku + lu 1 u = u

Hasil Kali Euclidis (euclidis Inner Product) Jika u = (u 1, u 2, . . . , un), v = (v 1, v 2, . . . , vn), dan w = (w 1, w 2, . . . , wn) adalah sembarang vektor pada Rn, maka hasil kali dalam Euclidis u v didefinisikan sebagai: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 +. . . + unvn Contoh: Misalkan u = ( 1, 2, 3, 4, 5) dan v = (-2, 1, 3, 5, -4) vektor-vektor di R 5. Tentukan u v ! Jawab: u v = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(3) + (4)(5) + (5)(-4) =9

Sifat-sifat hasil kali dalam Euclidis 1. u v = v u 2. (u + v) w = u w + v w 3. (ku) v = k (u v) 4. v v 0, v v =0 v=0 Bukti: (sifat a) Misalkan u = (u 1, u 2, . . . , un) dan v = (v 1, v 2, . . . , vn), maka: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 +. . . + unvn = v 1 u 1 + v 2 u 2 +. . . + vnun =v u

Contoh: (u + 3 v) (2 u + v) = u (2 u + v) + (3 v) (2 u + v) (bagian b) = u 2 u + u v + (3 v) (2 u) + (3 v) v (bagian b) = 2 (u u) + u v + 6(v u) + 3(v v) (bagian c) = 2 (u u) + 7(u v) + 3(v v) (bagian a)

Panjang dan Jarak pada Rn § Panjang atau norma (Euclidean Norm atau Euclidean Length) dari vektor u = (u 1, u 2, . . . , un) pada Rn: § Jarak antara dua titik u = (u 1, u 2, . . . , un) dan v = (v 1, v 2, . . . , vn) pada Rn:

Contoh: § Misalkan u = ( 1, -3, 3, 0) dan v = (-2, 1, 1, 3, -3) vektor-vektor di R 5, maka: § Dan