Definicin Una matriz es un arreglo rectangular de

• Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas, encerrados entre corchetes o paréntesis. • Orden de una Matriz: 3 x 4 Siendo A una matriz de 3 filas (horizontales) y 4 columnas (verticales). • Matriz Cuadrada: Se llama así a la matriz que tiene el mismo número de filas y columnas. Así, • 3 x 3 Es una matriz cuadrada de orden 3 x 3 o simplemente diremos que tiene orden 3.

• Elementos de una Matriz: • los subíndices i, j indica la fila y la columna donde está ubicado el elemento en cuestión. ¿Cuál será el elemento ubicado en la fila 3 y columna 2 de la matriz A? a 3 x 2 = ? ? ? • Forma General de una Matriz: matriz A de orden mxn será: Abreviar así:

• Igualdad de Matrices: Tienen el mismo orden y los elementos correspondientes iguales. Por ejemplo, • Son de igual orden iguales: y sus elementos correspondientes son Ejercicio: ¿Es A=B? Explique su respuesta. Solución: Las matrices no son iguales, pues aunque tienen el mismo orden no todos sus elementos correspondientes son iguales, por ejemplo: .

• • Tipos de Matrices A. Matriz Transpuesta: Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por. Ejemplo: Sea a) entonces b) , entonces B. Matriz Nula: Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por. Por ejemplo, la matriz sería la matriz:

• C. Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se le denomina matriz unidad y normalmente se le representa por la letra I, así tenemos que la matriz identidad de orden 3 x 3 se escribe de la siguiente forma: • D. Matriz Escalar: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos Excepto los de la diagonal principal que son iguales. Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz escalar:

OPERACIONES CON MATRICES 1. - Adición de matrices: . Ejemplo 1: Calcular la matriz C=A+B, si: Solución: Nota: La suma de dos matrices es posible sólo si ambas matrices tienen el mismo orden. Por ejemplo, no es posible sumar las matrices • ya que no tienen el mismo orden.

• Ejemplo 2: Sea; A= y B= Calcular A + B y A - B. Solución: A+B= + A–B= -

– Ejemplo 3: – Si A = y. B= ¿Qué valor toma x+y; si la matriz, A + B es una matriz nula? – Solución: A + B = + = = = 0. De donde: – Luego: se obtiene: x = 2, y = 5; por lo que: x + y = 7.

Ejemplo Práctico: (Matriz de Costos de Suministros): Un contratista calcula que los Costos en dólares) de adquirir y transportar unidades determinadas de concreto, madera y acero desde tres diferentes localidades están dados por las siguientes Tablas. – Tabla 01. • Localidad A Concreto Costos de material 20 Costos de transporte 22 – Tabla 02. • Localidad B Concreto Costos de material 22 Costos de transporte 9 – Tabla 03. • Localidad C Concreto Costos de material 18 Costos de transporte 11 a. b. Solución: a. Matriz de Costos de Suministros de la localidad A. A= Madera 35 10 Acero 25 6 Matriz de Costos de Suministros de la localidad B. B= Madera 36 9 Acero 24 8 – Matriz de Costos de Suministros de la localidad C. C= Madera 32 8 Acero 2 5 Determinar las matrices de Costos de Suministros de las localidades A, B y C. Escriba la matriz que representa los Costos Totales de material y de transporte por unidades de concreto, madera y acero desde cada una de las tres localidades. b. La matriz que representa los Costos Totales es la matriz suma A + B + C. A+B+C=

• Propiedades de la suma de matrices. • Teorema 1 • Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces: 1. A, B Mmxn, (A+B) Mmxn 2. A + B = B + A 3. A + (B + C)= (A + B) + C 4. A Mmxn, 0 mxn /A+0 = 0+A = A Clausura Conmutatividad Asociatividad Elemento neutro aditivo 5. A Mmxn, (-A) Mmxn / A+(-A)=(-A)+A = 0 Elemento inverso aditivo

Producto de dos matrices: Ejemplo: Sean, hallar la matriz producto C = A. B si: Solución: • y nuestra matriz producto va quedando así: • entonces los demás elementos son:

Ejemplo 1: Si Calcular: A x B Solución: Verificamos que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, luego, las matrices son conformes para la multiplicación, entonces Ejemplo 2. Si hallar: a) Ax. B, b) Bx. A Solución: Empleando el método del producto escalar se tiene: a) AXB Ahora hallar Bx. A