DEFINICIJA I KONSTRUKCIJA PARABOLE Istorijski razvoj Apolonios Pergejski

DEFINICIJA I KONSTRUKCIJA PARABOLE

Istorijski razvoj Apolonios Pergejski ( 262 – 190 p. n. e ) Rođen je u Pergi u Pamfiliji, gradu na severozapadnom delu Male Azije. bio je jedan od Euklidovih učenika predavao je u Aleksandriji i Pergi postao jedan od najvećih matematičara tog doba grčkih astronom napisao je traktat ( delo od 8 knjiga) o paraboli, elipsi i hiperboli.

Definicija: Parabola je skup svih tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje ma koje tačke M tog skupa od jedne stalne tačke F te ravni (žiže) – jednako rastojanju te tačke M od jedne stalne prave d iste ravni (direktrise) koja ne prolazi kroz tačku M.

Jednačina parabole Koordinatni sistem određujemo na sledeći način: osu Ox postavimo kroz žižu F, normalno na direktrisu d. Osu Oy postavimo normalno na Ox. Neka je P parabola kod koje rastojanje između žiže F i direktrise d iznosi p. Tada, u ovako definisanom koordinatnom sistemu, jednačina direktrise glasi: a žiža F ima koordinate ( , 0). Neka je M = ( x, y ) proizvoljna tačka parabole P.

Teorema: Tačka M = ( x, y ) pripada paraboli P ako i samo ako njene koordinate zadovoljavaju jednačinu:

Napomena: Promena položaja koordinatnog sistema u odnosu na žižu i direktrisu parabole, menja se i njena jednačina. Na primer, paraboli odgovara jednačina: (p > 0)

(p>0)

Konstrukcija parabole Zadata je direktrisa d, žiža F i osa parabole. � d ⊥o, d⋂ o = {D} � konstruišemo središte duži |DF| = p (npr. tačka O), |DO|=|OF| = � konstruišemo paralelnu pravu sa direktrisom čije je rastojanje od direktrise najmanje � konstruišemo kružnicu k � paralelna prava dodiruje kružnicu u tački O, ta tačka se naziva teme parabole � Analogno, konstruišemo kružnice ( čiji su poluprečnici proizvoljni ali veći od ) i više paralelnih prava sa direktrisom( čija su rastojanja jednaka sa poluprečnicima) i tako dobijene presečne tačke određuju parabolu. � Konstrukcija parabole - Geo. Gebra

Zadaci: 1. 2. Odrediti parametar, žižu i jednačinu direktrise parabole ! Napisati jednačinu parabole čije je teme koordinatni početak, ako se zna da je osa simetrija jednaka x osi i žiža ima sledeće koordinate (0; 3)! Rešenje:

Parabola oko nas