DECISIONES CON MULTIOBJETIVOS JUAN ANTONIO DEL VALLE FLORES

DECISIONES CON MULTIOBJETIVOS. JUAN ANTONIO DEL VALLE FLORES

Introducción. • Las personas en lo particular y cuando actúan • como responsables de la dirección de organizaciones, regularmente esperan tomar decisiones que cumplan con varios objetivos y tratan de evaluar sus alternativas tomando en cuenta estos diferentes criterios. No obstante, es un hecho que las técnicas cuantitativas más populares para selección de alternativas se basan en el objetivo de mejorar un aspecto específico, frecuentemente el económico, sin embargo en un afán de adecuar más los modelos de análisis a la realidad se debe contribuir a aumentar el interés por aquellas técnicas que consideran el efecto conjunto de varios objetivos durante el proceso de la toma de decisiones.

• El identificar los objetivos relevantes es un análisis importante para un tomador de decisiones. Pero este problema de identificación se complica cuando existen objetivos que interactúan entre si por la dificultad, aunque no imposibilidad, de obtener un peso relativo de estos objetivos.

Procedimiento • 1. - Identificar los objetivos a contemplar en una decisión. • 2. - Ponderar por su importancia a cada uno de los • • • objetivos. 3. - Identificar a las alternativas. 4. - Evaluar a las alternativas conforme a los objetivos establecidos. 5. - Elegir a la alternativa que mejor alcanza a cumplir con todos los objetivos deberá considerarse como la mejor. 6. - Examinar a la mejor decisión a fin de identificar posibles consecuencias futuras adversas. 7. - Los efectos de la decisión final se deberán controlar, tomando otras acciones para prevenir las consecuencias adversas del problema y tener seguridad que las acciones decididas se lleven a cabo.

• Es importante hacer notar que la consideración de los • • efectos negativos de las decisiones se suelen incorporar dentro de los objetivos, integrándose el concepto más generalista de multiatributos o multicriterios; los atributos serían entonces todos aquellos aspectos que se desean observar como consecuencias de una decisión. Los objetivos a visualizar en una decisión, se derivan básicamente de considerar los resultados esperados y los recursos disponibles para llevarla a cabo. Este tema no estará comprendido en estas notas y por lo tanto asumiremos que los objetivos pueden ser establecidos con precisión y que son de suma relevancia para la decisión. Sin embargo el determinar la relativa importancia de los objetivos múltiples, el medir los resultados de las alternativas en términos de estos atributos y obtener una medida común de efectividad para el conjunto de resultados, conforman la esencia del problema de objetivos múltiples que estudiaremos.

Ejemplo indicativo • Un ejemplo para observar los distintos elementos de un problema de • decisiones con multiobjetivos pudiera ser el relacionado con el reemplazo de equipo: Suponer para este ejemplo: – – A 1 = alternativa de conservar la maquinaria. A 2 = alternativa de reemplazar la maquinaria. G 1 : Minimizar el costo anual de mantenimiento. G 2 : Minimizar el número de trabajadores que deben volver a capacitarse. • Sean: • Rjk = El resultado de tomar el j-ésimo curso de acción alternativo en • • terminos del k-ésimo objetivo. V(Rjk) = El valor del resultado producido de seleccionar la j- ésima alternativa en terminos del k-ésimo objetivo. Los resultados de cada una de estas alternativas en terminos de los dos objetivos son : – – R 11 = Un costo anual de $80 millones de pesos. R 12 = Ninguna persona capacitada. R 21 = Un costo anual de $60 millones de pesos. R 22 = Veinte personas capacitadas.

• Con objeto de comparar las dos alternativas en • forma cuantitativa, deberán estimarse valores para cada resultado; posteriormente los valores deben ser ponderados de tal forma que reflejen la importancia de cada objetivo y finalmente una cifra numérica debera ser determinada para cada alternativa para posibilitar entonces una comparación y elección final. Para el ejemplo, la medida de efectividad de cada alternativa se calcularía como: V(A 1) = W 1 V(R 11) + W 2 V(R 12) ; V(A 2) = W 1 V(R 21) + W 2 V(R 22) • Los valores W 1 y W 2 son factores de ponderación identificando la importancia relativa de los objetivos al ser aplicados a los resultados de cada alternativa. Determinar los factores de ponderación de los objetivos es parte importante

• Sin embargo un problema se presenta ya que los • valores V(Rjk) pueden estar en diferentes dimensiones y por lo tanto, tener que ser transformados a una dimensión común. Por lo que habrá de determinarse la función de transformación (función de utilidad), siendo esta tarea otra parte del proceso de toma de decisiones con objetivos múltiples. Finalmente, es necesario advertir que se está suponiendo para el ejemplo que los valores de efectividad de cada alternativa V(Aj); son determinados por una función lineal, siendo necesario en general modelar la forma matemática funcional, siendo también este análisis otra parte de la cuantificación de objetivos múltiples.

• Una función de utilidad del tomador de decisiones • deberá ser establecida para cada objetivo, en esa forma los valores de los resultados pueden ser convertidos a un valor de utilidad de la curva de utilidad del tomador de decisiones. Con estos valores de utilidad de cada objetivo, el modelo para calcular la efectividad de las decisiones será la siguiente: – U(A 1) = W 1 U(R 11) + W 2 U(R 12) – U(A 2) = W 1 U(R 21) + W 2 U(R 22) Entonces, el tomador de decisiones tratará de maximizar el valor ponderado de las utilidades. El hecho de que las funciones de utilidad conjunta puedan ser modeladas por el tomador de decisiones, constituye una de las ventajas de la teoría, al considerar que existe interacción entre los objetivos múltiples.

Independencia entre Objetivos. • Es conveniente introducir, en forma previa a la descripción de la metodología de multiobjetivos, los conceptos que indican el tipo de relación entre los objetivos: 1. 2. Independencia Preferencial. Independencia Utilitaria.

Independencia Preferencial Mutua. Un atributo X 1 es preferencialmente independiente de otro atributo X 2 si las preferencias para valores específicos de resultados de X 1 no dependen de los valores que tome X 2 • Es de particular importancia considerar la independencia preferencial entre los subconjuntos de atributos de X = (X 1 , . . . , Xn), ya que la independencia preferencial mutua se logra cuando la preferencia entre dos cualesquiera de sus atributos es independiente del nivel al que hallan sido fijados el resto de los atributos. En general un conjunto de atributos X es considerado mutuamente independiente en forma preferencial si cualquier subconjunto X es preferencialmente independiente de su complemento X'.

Ejemplo de Independencia Preferencial Mutua. • Considerar dos atributos, sea X 1 el tiempo para terminar la construcción de una obra y X 2 su costo. Si se prefiere un tiempo de terminación de 10 meses a uno de 20 meses, suponiendo que el costo en ambos casos sea 100 millones de pesos, y si además se prefiere una terminación en 10 meses a una de 20 meses, si el costo en ambos casos es de 200 millones de pesos, entonces X 1 es preferencialmente de X 2. Si por otra parte X 2 fuera también preferencialmente independiente de X 1, entonces se dice que entre estos dos atributos existe independencia preferencial mutua.

• Independencia Mutua de Utilidades. • Un atributo X 1 es considerado utilitariamente independiente de X 2 si las preferencias para inciertos escenarios que implican diferentes niveles de X 1 son independientes de los niveles a que se fije X 2. Si el equivalente bajo certeza de una loteria con premios del mejor y el peor valor de X 1 con iguales posibilidades, es calculado para algún nivel fijo de X 2 y se encuentra que este equivalente es el mismo para cualquier otro nivel de X 2 , entonces X 1 es utilitariamente independiente de X 2. Si X 2 fuera también utilitariamente independiente de X 1 entonces existiría independencia mutua de utilidades. • En general se considera que en un conjunto de atributos X existe independencia utilitaria mutua si existe independencia utilitaria entre un subconjunto X cualquiera y su complemento X'. • Este concepto tiene un significado análogo a la independencia preferencial, solo que en un contexto de riesgo; para el ejemplo planteado antes, si se requiere demostrar que el tiempo de terminación de la obra sea utilitariamente independiente de su costo, entonces se necesita asegurar que el equivalente bajo certeza para una loteria con 50% de posibilidades tanto para X 1 = 10 meses como para X 2 = 20 meses, no depende si el costo sea 100 ó 200 millones de pesos.

Funciones de Utilidad Multilineales. • Idealmente sería deseable generalizar la teoría de la • • • utilidad esperada al problema de multiatributos, sin embargo habrá que estar conciente que en la práctica esto no será factible y que además no será fácil para todos los casos modelar una función de utilidad para multiatributos de la forma U(X 1, . . , Xn). No obstante, en muchas circunstancias de toma de decisiones, ciertas condiciones podrían ser satisfechas para hacer factible la descomposición de la funciónde utilidad conjunta, en una función f de funciones U de utilidad de un solo atributo: U(X 1, X 2 , . . . . , Xn) = f [U 1 (X 1), U 2 (X 2), . . . . , Un (Xn)] Una condición suficiente a satisfacer para considerar por separado a las funciones de utilidad de cada atributo dentro de una función de utilidad conjunta general, es la independencia mutua de utilidades.

Descomposición de las Funciones de Utilidad. • Se puede demostrar que para un conjunto X=(X 1, . . . , Xn) • • que el hecho de que X 1 sea utilitariamente independiente y que el par (X 1, Xi) sea preferencialmente independiente para i=2, . . . , n , para n>=3, es equivalente al hecho de que el conjunto X de atributos sea utilitariamente independiente en forma mutua. Esta condición simplifica los cálculos, ya que solo se requiere enfocar la en uno de los atributos y mostrar que es utilitariamente independiente de su complemento X 1' y posteriormente mostrar que los n-1 pares (X 1, Xi) son preferencialmente independientes de sus complementos. En esta forma existe la necesidad de efectuar sólo n pruebas, casi todas de independencia preferencial, de otra manera serían necesarias 2 n-2 de independencia utilitaria que serían necesarias si se siguen los principios

• La independencia mutua de utilidades permite suponer que descomposición de la función es de la forma multiplicativa y que todo lo que se requiere es calcular las constantes de escala ki. • U(X 1, . . . , Xn) = ¶n i =1 [ 1+K ki U(Xi) ] -1 / K • Si la suma de las ki suman 1, entonces la descomposición cae dentro de la forma aditiva: • U(X 1, . . . , Xn) = S i=1 n ki U(Xi). • Es conveniente probar anticipadamente la aditividad debido a que el conocimiento de forma aditiva puede ayudar a la tarea del calculo en el momento que n-1 constantes escalares necesitan ser estimadas. Para la descomposición aditiva será apropiado que la siguiente condición de separabilidad de independencia aditiva se cumpla.

Independencia Aditiva. • La independencia aditiva ocurre si las • • • preferencias en loterias sobre X dependen sólo de las distribuciones de probabilidad marginal de las x y no sobre la distribución de probabilidad conjunta de X. No obstante esta marginalización es a veces dificil de observar en la práctica. Un conjunto de condiciones necesarias y suficientes para indicarla existencia de una forma aditiva pueden ser las siguientes: 1) X es independiente preferencialmente en forma mutua. 2) Seleccionando dos atributos cualquiera X 1 y X 2, con el mejor y peor resultado de ellos, probar que existe indiferencia de preferencias entre las loterias A y B siguientes:

• Con todos los otros n-2 atributos conservandose constantes. Si las • opciones A y B son igualmente preferibles, entonces la independencia aditiva se cumple. Nótese que la forma aditiva requiere probar la indiferencia para todos los diferentes pares de atributos posibles.

Método para el Cálculo de las Constantes. • El cálculo de las constantes de escala es relativamente fácil en principio. Considerar la opción Z siguiente:

• y encontrar el valor de p para el cual el equivalente bajo • • • certeza de Z es igual al resultado (X 1 o, . . . , Xi*, . . . , Xno) con seguridad. Notese que todos los objetivos están al mejor valor excepto Xi, aquel que coincide con la constante que se desea evaluar. Cuando se cuantifica el valor esperado de la función Z: U(Z) = p U(X 1*, . . . Xn*) + (1 -p) U(X 1 o, . . . , Xno) = p lo cual es equivalente a (X 1 o, . . . , Xi*, . . . , Xno) y por lo tanto a ki. Esos cálculos pueden ser repetidos para todas las otras ki que sean necesarias. La regla básica para el cálculo de las constantes se basa en el hecho de que la utilidad esperada , según Newman y Morgenstern, es convertida a una transformación lineal. Así si una función de utilidad es calculada como U(x), puede ser reescalada como U(x) sin afectar la utilidad esperada teorica, puesto que U = a + b U(X), lo cual se conoce como funciones estrategicamente equivalentes.

Procedimiento para Función de Utilidad de N Objetivos. • Para observar el procedimiento para la descomposición de una función de utilidad conjunta para n objetivos, se mostrará un ejemplo. Suponer que se consideran sitios alternativos para ubicar un nuevo aeropuerto para la ciudad y son 4 los atributos identificados como importantes: – X 1 costo – X 2 ruido sobre los residentes aledaños – X 3 acceso desde el centro de la ciudad – X 4 capacidad del aeropuerto

• Las preferencias sobre los resultados se efectuarán a través de una función de U(X 1, X 2, X 3, X 4) y con objeto simplificar el probar la separabilidad de esta función de utilidad conjunta, se utilizará el teorema para la condición de mutua independencia de utilidad. • Antes de todo se deberá enfocar la • • independencia de utilidad de un solo objetivo, seleccionado arbitrariamente, sea este X 1; si el equivalente bajo certeza de esta lotería es independiente de algún nivel fijo de (X 2, X 3, X 4), entonces podemos decir que X 1 es independiente utilitariamente (i. u. ). Se debe probar también la independencia preferencial de todos los pares (X 1, Xi).

• si el equivalente bajo certeza de esta lotería es independiente de algún nivel fijo de (X 2, X 3, X 4), entonces podemos decir que X 1 es independiente utilitariamente (i. u. ). Se debe probar también la independencia preferencial de todos los pares (X 1, Xi). • Así para (X 1, X 2) si el máximo que podríamos pagar por una reducción unitaria de ruido es independiente de algún nivel fijo de (X 3, X 4), entonces (X 1, X 2) es preferencialmente independiente. En otras palabras, la tasa de negociación de X 1 por X 2 es independiente de los otros atributos. En esta forma si (X 1, X 3) es independiente preferencialmente y (X 1, X 4) es también independiente preferencialmente, entonces las condiciones mínimas para independencia utilitaria mutua de (X 1, X 2, X 3, X 4). Han sido satisfechas. Ahora se sabe que U(X 1, X 2, X 3, X 4) puede ser separada en una forma multiplicativa o aditiva.

• Con objeto de probar si se cumple la independencia aditiva, se deberán tomar un par de atributos, por ejemplo X 1 y X 2, entonces para X 3 y X 4 fijos a un nivel, probar la indiferencia entre las loterías siguientes: •

• si ellas son igualmente preferidas, entonces el conjunto de atributos pueden ser descompuestos como • U(X 1, X 2, X 3, X 4)=S i=1 4 kiui(Xi) • y entonces S ki=1 ; • esto significa que solo k 1, k 2, k 3 necesitan ser calculadas.

• En el caso que la independencia aditiva no se cumpla, entonces la forma multiplicativa: – U(X 1, X 2, X 3, X 4)= ¶ 14 [1 + K ki. Ui(Xi)] - 1 / K • requiere que todas las ki sean calculadas; estos valores pueden ser encontrados exactamente, estimando que valores de pi hacen que el equivalente bajo certeza para •

• igual a la certeza de Xi a su mejor nivel y todos los otros a su peor. Con los escalamientos usuales • U(X 1°, X 2°, X 3°, X 4°)= 0 ; U(X 1*, X 2*, X 3*, X 4*)= 1 ; U(Xi*)= 1 ; U(Xi°)= 0 • entonces pi es igual a ki. • Suponga que las Ui(Xi) han sido obtenidas de las gráficas que contienen las funciónes de utilidad para cada atributo: • k 1 = 0. 3 ; k 2 = 0. 2 ; k 3 = 0. 1 ; k 4 = 0. 1

• • así del escalamiento: U(X 1*, X 2*, X 3*, X 4*) = ¶ [ 1 + K ki Ui (Xi) ] - 1 / K esto es: K = (1+0. 3 K) (1+0. 2 K) (1+0. 1 K) – 1 • En general resolver la ecuación para K es el aspecto • matemático más difícil al diseñar la forma multiplicativa, siendo usual utilizar un procedimiento iterativo; se puede llegar a mostrar que si S ki > 1 entonces la solución existe con -1 < K < 0 y si S ki < 1 entonces la solución para K debe ser > 0; además será la única solución para K en cada caso, siendo apropiado un procedimiento iterativo. En el ejemplo la ecuación puede ser encontrada sustituyendo algún valor razonable en el lado derecho de la ecuación, calculando luego el lado izquierdo, sustituyendo esto en el lado derecho para un nuevo valor a la izquierda y repitiendo hasta que la diferencia sea lo suficientemente pequeña. Un punto a recordar en la práctica es que K=0 siempre será una solución, siendo claro que el procedimiento converge a K=0, significando

• En nuestro ejemplo, supongamos que K=1, recalculando K da un valor más pequeño; al suponer K=1. 2 resulta K=1. 11 el cual es todavía menor a 1. 2, supongamos K=1. 5 y encontramos K=1. 49 que es bastante exacta para los propósitos; entonces la función de utilidad es descompuesta como : • U(X 1, X 2, X 3, X 4) = [1+0. 45 U 1 (X 1) ] [1+0. 3 U 2 (X 2)] [1+0. 15 U 3 (X 3)] [1+0. 15 U 4 (X 4)] - 1 /1. 5 • Finalmente es conveniente recordar que los resultados de probar la función multiobjetivo también ayuda a clarificar las ideas del tomador de decisiones, pudiendo éste cambiar algunos de los supuestos preliminares a la luz de los resultados parciales del procedimiento.