De wiskundige knoop LIOproject Gesubsidieerd door NWO Uitvoerder
De wiskundige knoop LIO-project Gesubsidieerd door NWO Uitvoerder: Ab van der Roest Begeleider: Arjeh Cohen Plaats: Technische Universiteit Eindhoven
Knoop op Hoog Catharijne te Utrecht
Gemaakt door Shinkichi Tajiri
Borromean ringen op Iso la Bella
n Mastworp (voor de zeilers)
n Achtknoop (voor de bergbeklimmers)
n Decoratieve knoop
knopentruck
wiskundige knoop n Een knoop is een gesloten kromme in de drie dimensionale ruimte die geen zelfdoorsnijdingen heeft
wiskundige knoop n Andere benadering om knopen te bestuderen: q q α: S 1 → S 3 is een inbedding van een knoop bestudeer nu de topologie van de complementaire ruimte S 3 -α(S 1)
wiskundige knoop of onderzoek hoe gekromd de gesloten kromme is stelling van Fary-Milnor: n n als de totale kromming ∫κ ≤ 4π dan is de knoop de triviale knoop als de totale kromming ∫κ > 4π dan is de knoop echt geknoopt
Van knoop naar diagram n n Projecteer de knoop op een plat vlak Geef duidelijk aan of je een boven- of onderkruising hebt
wiskundige knoop n Eén van de hoofdvragen: welke knopen zijn er en wanneer zijn knopen echt verschillend knopentabel
wiskundige knoop 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 1 2 3 7 21 49 165 552 2176 9988 ?
wiskundige knoop n Twee voorbeelden van knopen die er ingewikkeld uit zien, maar eenvoudige knopen blijken te zijn
Hoe onderscheiden we knopen die gelijk zijn? n n Kurt Reidemeister beschreef drie bewegingen op een knoopdiagram: R 1
n R 2
n R 3
n n Reidemeister stelde: als knoop K en L isotoop zijn, bestaat er een eindige rij Reidemeisterbewegingen die het diagram van knoop K overzet in het diagram van knoop L. Opmerking: als dit niet lukt weet je nog niets; misschien ben je gewoon niet handig genoeg!
invarianten n n Een invariant is een eigenschap van een knoop die niet veranderd als we de knoop “vervormen”. Een invariant blijft dus behouden onder de Reidemeistebewegingen.
invarianten n n Aantal kruisingen: nee Verstrengelingsgetal: nee Schakelgetal: ja Aantal driekleurigen: ja Veeltermen: ja
verstrengelingsgetal n Een kruising in een diagram krijgt de waarde +1 of -1 met de volgende systematiek n Het verstrengelingsgetal is de som van die waardes van de kruisingen.
verstrengelingsgetal n Verstrengelingsgetal w(T) = -3
verstrengelingsgetal n Geen invariant: voeg een extra kruising toe met behulp van R 1; de totale som zal veranderen.
driekleuringen n Een diagram wordt gekleurd met drie kleuren volgens de regels: q q Bij een kruising komen precies drie kleuren Bij een kruising komt precies één kleur
driekleuring n Invariant na te gaan met de Reidemeisterbewegingen
driekleuring
Kauffman-haakje n Een veelterm die uitgerekend wordt voor een niet-georiënteerd diagram q Het vlak wordt door een kruising in “vieren” gedeeld en volgens de onderstaande systematiek benoemd:
Kauffman-haakje n Vervolgens splitsen we de kruising:
Kauffman-haakje n We doen dit voor elke kruising en zo kunnen we voor een diagram met n kruisingen 2 n nieuwe diagrammen maken, die toestanden noemen.
Kauffman-haakje n Definitie: q q Zij K een knoop en S een toestand van het knoopdiagram; c(S) is het aantal componenten; a(S) het aantal A-splistsingen en b(S) het aantal B -splitsingen Kauffman-haakje wordt berekend met de formule:
Kauffman-haakje
Kauffman-haakje n Berekening van Kauffman-haakje voor de klaverbladknoop: zie werklblad
Kauffman-haakje n <T> = A 3 d 2 + 3 A 2 Bd + 3 AB 2 + B 3 d n Op grond van de invariantie onder de Reidemeisterbewegingen moet er voor A, B en d de volgende relaties gelden: q q B = A-1 d = -(A 2+A-2) gevolg: <T> = A 7 − A 3 − A-5
Kauffmanveelterm n Kauffmanveelterm voor een georiënteerd knoopdiagram: w(K) is het verstrengelingsgetal van knoop K en <K> is de Kauffmanhaakje dan is de Kauffamanveelterm: f. K(A)=(−A)-3 w(K)<K>
Kauffmanveelterm n In ons voorbeeld: q w(T) = -3 n f. K(T) = (-A)9(A 7 − A 3 − A-5) = -A 16 + A 12 + A 4 Merk op dat wanneer je elke bovenkruising verandert in een onderkruising de veelterm verandert in f. L = -A-16 + A-12 + A-4 en op grond daarvan kunnen we zien dat K en L verschillend zijn.
Jonesveelterm n Weefrelatie
Jonesveelterm n De Jonesveelterm VK is gedefinieerd voor een georiënteerd diagram en maakt gebruik van de weefrelatie: q voor een diagram dat op één kruising verandert geldt de volgende bewering:
Jonesveelterm n Gevolg van deze definitie is: bevat een knoop K niet geschakelde componenten dan is de Jonesveelterm:
Jonesveelterm
Jonesveelterm n Voorbeeld:
Jonesveelterm
vlechten
vlechten
vlechten
vlechten n Elke vlecht is een knoop n Elke knoop is een vlecht q Algoritme van Yamada-Vogel q knoop
literatuur boeken: n The Knot Book Colin C. Adams n Knots and Physics Louis H. Kauffman n Knots Alexei Sossinsky
internet n n Homepage van Dror Bar-Natan, met onder andere de knopenatlas http: //www. math. toronto. edu/~drorbn/ Een webpage gemaakt door Stuart Rankin; hiermee kun je mooie plaatjes maken van elke knoop die je maar wilt hebben. http: //srankin. math. uwo. ca/index. php Een webpage gemaakt door Robert Scharein. Deze page bevat veel links; je kunt er ook het programma Knot. Plot downloaden. http: //knotplot. com/ Een page gemaakt door Bryson R. Payne. Veel informatie over de knopentheorie. http: //www. freelearning. com/knots/index. htm
- Slides: 52