De Weibull verdeling Waloddi Weibull 1887 1979 A

De Weibull verdeling • Waloddi Weibull (1887 -1979) – A Statistical Distribution Function of Wide Applicability • Journal of Applied Mechanics (1951) • Weibull: – ''. . . may sometimes render good service'' – ''. . . test it empirically and stick to it as long as none better has been found'' weibull verdeling. ppt 1 jan prakken De Wilgen

Voorbeelden • Verdeling van: – Levensduren – De tijd tot. . . – Gebruiksduur consumentenproduct tot vervanging door nieuw – Temperatuur spoelwater – Veel andere variabelen ( >0 ) • Kansmodel bruikbaar: – In bovenstaande gevallen – Bij waarnemingen in de vorm 'is groter dan' – Als het model past weibull verdeling. ppt 2 jan prakken De Wilgen

Levensduur verdeling • x = tijd tot de 1 e fout • Uitvalkans F(t) = P(x t) • Overlevingskans R(t) = P(x>t) weibull verdeling. ppt 3 jan prakken De Wilgen

Weibull verdelingen -(t/ ) F(t)= 1 - e • 2 -parameters = karakterstieke levensduur = vormgetal • =1 : Negatief exponentiële verdeling • =2 : Rayleigh verdeling • 3 < < 3. 6 : lijkt op Normale verdeling • =3. 6 : gemiddelde is gelijk aan Mediaan weibull verdeling. ppt 4 jan prakken De Wilgen

Parameters schatten • 2 -parameter Weibull verdeling W( , ) • Grafische schattingen graf • Maximum Likelihood schattingen – de beste (statistische) eigenschappen – basis voor betrouwbaarheidsuitspraken – computerprogramma nodig: weibull-2 par. xls • Kleinste kwadraten schattingen ' – d. m. v. regressie van log t op loglog(1/F(t)) – minder goed dan bovenstaande weibull verdeling. ppt 5 jan prakken De Wilgen

Weibull verdeeld? • Probability plot • waarschijnlijkheidspapier • cumulatieve verdeling uitzetten tegen de variabele • voor elke kansverdeling mogelijk • meerdere mogelijkheden – Weibull verdeling – Normale verdeling weibull verdeling. ppt • rechte lijn? 6 jan prakken De Wilgen

n=9 trekkingen uit W( , ) (i-0. 3) x 100% F(ti) = (n+0. 4) i nr ti 1 nr t 517 1 2 182 2 9 244 18. 1 3 297 3 6 263 28. 7 4 519 4 3 297 39. 4 5 319 50. 0 6 263 6 8 418 60. 6 7 730 7 1 517 71. 3 8 418 8 4 519 81. 9 9 244 9 7 730 92. 6 weibull verdeling. ppt 7 7. 4% jan prakken De Wilgen

Weibull probability plot (1) • vertikaal: kans (i-0. 3) (n+0. 4) x 100% • horizontaal: variabele t 1 e punt: t=182, F(t)=7. 4% • rechte lijn? weibull verdeling. ppt 8 jan prakken De Wilgen

Weibull probability plot (2) t = tijd tot fout F(t) = P[ t < t ] F(t)= 1 - e -(t/ ) graf = 450 graf = 2. 4 Onder de 100: F(100) = 1 - exp[-(100/450)2. 4] = 0. 027 weibull verdeling. ppt 9 jan prakken De Wilgen

Voortgezette schorsingen (1) • n=8 units in levensduurtest r= - 5 uitvallers { 1059, 1093, 1531, 2415, 3042 } - 3 schorsingen { 763, 1161, 2269 } ( 1 + n – rangnummer vorige uitvaltijd ) ( 1 + aantal units na schorsing nog in test ) F(ti) = nr. j 1 2 3 4 5 6 7 8 tj 763 1059 1093 1161 1531 2269 2415 3042 */S S * * weibull verdeling. ppt r = toename rangnummer (1+8 -0) / (1+7) = 1. 125 (1+8 -2. 25) / (1+4) = 1. 35 (1+8 -3. 60) / (1+2) = 1. 80 10 ri = rangnr. uitvaltijd (ri-0. 3)/(n+0. 4) r 1 = 1. 125 r 2 = 1. 125 + 1. 125 = 2. 25 r 3 = 2. 25 + 1. 35 = 3. 60 r 4 = 3. 60 + 1. 80 = 5. 40 r 5 = 5. 40 + 1. 80 = 7. 20 0. 098 0. 232 0. 393 0. 607 0. 821 jan prakken De Wilgen

Voortgezette schorsingen (2) • n=8 – 5 uitvallers, – dus 5 punten graf = 2390 graf = weibull verdeling. ppt 2. 4 11 jan prakken De Wilgen

Plot van frequentieverdeling • temperatuur spoelwater label koud lauw handwarm heet t f cum 12 25 38 50 65 2 5 5 2 7 12 14 21 i = gem. rangnummer F(t) = i F(t) 1. 5 5. 0 10. 0 13. 5 18. 0 5. 6 22. 0 45. 3 61. 7 82. 7 (i-0. 3) x 100% (n+0. 4) weibull verdeling. ppt 12 jan prakken De Wilgen

Temperatuur Spoelwater (Weibull) -(t/ ) F(t)= 1 - e t = temperatuur spoelwater graf = 50 graf = 2. 0 Evt. normale verdeling: zie volgende blad weibull verdeling. ppt 13 jan prakken De Wilgen

Temperatuur spoelwater (normaal) • graf = 43 • graf = (64 -22)/2 = 21. 0 Uit frequentieverdeling: • f. t = 894 f. t 2 = 45208 • t = 42. 6 s = 18. 91 weibull verdeling. ppt 0 20 14 40 60 80 100 jan prakken De Wilgen